Проблема Гурвица - Hurwitz problem

В математике Проблема Гурвица, названный в честь Адольф Гурвиц, проблема нахождения мультипликативных соотношений между квадратичные формы которые обобщают известные суммы квадратов от определенного числа переменных.

Известны известные мультипликативные отношения между суммами квадратов двух переменных.

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(u^{2}+v^{2})=(xu-yv)^{2}+(xv+yu)^{2}\ ,}$

(известный как Тождество Брахмагупты – Фибоначчи ), а также Тождество Эйлера с четырьмя квадратами и Восьмиугольная личность Дегена. Их можно интерпретировать как мультипликативность норм на сложные числа, кватернионы и октонионы соответственно.^[1]:1–3[2]

Проблема Гурвица для поля K найти общие соотношения вида

${\displaystyle (x_{1}^{2}+\cdots +x_{r}^{2})\cdot (y_{1}^{2}+\cdots +y_{s}^{2})=(z_{1}^{2}+\cdots +z_{n}^{2})\ ,}$

с z будучи билинейными формами в Икс и у: то есть каждый z это K-линейное сочетание терминов формы Икс_яу_j.^[3]:127 Назовем тройку (р, s, п) допустимый за K если такая личность существует.^[1]:125 Тривиальные случаи допустимых троек включают (р, s, RS). Проблема неинтересна для K характеристики 2, так как над такими полями каждая сумма квадратов является квадратом, и мы исключаем этот случай. Считается, что в противном случае приемлемость не зависит от области определения.^[1]:137

Гурвиц поставил задачу в 1898 г. в частном случае р = s = п и показал, что при учете коэффициентов C, единственные допустимые значения (п, п, п) мы п = 1, 2, 4, 8:^[3]:130 его доказательство распространяется на любое поле характеристики не 2.^[1]:3

Проблема «Гурвица – Радона» состоит в нахождении допустимых троек вида (р, п, п). Очевидно (1,п, п) допустимо. В Теорема Гурвица – Радона утверждает, что (ρ (п), п, п) допустима над любым полем, где ρ (п) - функция, определенная для п = 2^тыv, v странный, ты = 4а + б, 0 ≤ б ≤ 3, так как ρ(п) = 8а + 2^б.^{[1]:137[3]:130}

Другие допустимые тройки включают (3,5,7)^[1]:138 и (10, 10, 16).^[1]:137

Смотрите также

• Составная алгебра
• Теорема Гурвица (нормированные алгебры с делением)
• Число Радона – Гурвица

Рекомендации

1. Раджваде, А. Р. (1993). Квадраты. Серия лекций Лондонского математического общества. 171. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-42668-5. Zbl  0785.11022.
2. Чарльз В. Кертис (1963) "Проблема четырех и восьми квадратов и алгебры с делением" в Исследования по современной алгебре под редакцией А.А. Альберт, страницы 100–125, Математическая ассоциация Америки, Решение проблемы Гурвица на стр. 115
3. Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями. Аспирантура по математике. 67. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1095-2. МИСТЕР  2104929. Zbl  1068.11023.