Бесконечность плюс один - Infinity plus one

В математика, бесконечность плюс один имеет значение для гиперреалы, а также как число ω + 1 (омега плюс один) в порядковые номера и сюрреалистические числа.

Математика

Есть несколько математических теорий, которые включают как бесконечные значения, так и сложение.

• Количественные числительные представляют собой размеры (мощности) абстрактных множеств, которые могут быть бесконечный. Сложение количественных чисел определяется как мощность несвязный союз наборов заданных мощностей. Легко показать, что κ + 1 = κ для любого бесконечного кардинала κ, как показано Парадокс Гильберта в Гранд Отеле. Более того, если предположить аксиома выбора, то κ + λ = max {κ, λ}, если хотя бы одно из κ или λ бесконечно.
• Порядковые номера представлять типы заказов из хорошо организованный наборы. Порядковое сложение определяется как тип заказа конкатенация заказов. Эта операция не коммутативный: ω + 1 - строго больший ординал, чем ω, но 1 + ω = ω.
• Гиперреальные числа являются продолжением настоящий номер система, содержащая бесконечные и бесконечно малые числа. Полученная система представляет собой упорядоченное поле благодаря принцип передачи, в котором говорится, что любой первый заказ предложение, которое верно для действительных чисел, справедливо и для гиперреальных чисел. Поскольку ∀Икс: Икс < Икс + 1 - это предложение первого порядка для вещественных чисел (как это следует из аксиом упорядоченного поля), добавление единицы к бесконечному гиперреальному дает бесконечность. То же самое будет с любым неархимедово упорядоченное поле.
• Сюрреалистические числа также распространить действительные числа на систему, удовлетворяющую аксиомам упорядоченное поле, поэтому сложение ведет себя аналогично гиперреалам в том смысле, что Икс < Икс +1 ко всем сюрреалам Икс. В этой системе можно найти элементы, соответствующие бесконечным ординалам; однако сюрреалистическое сложение и умножение соответствуют не обычным порядковым операциям, а натуральная сумма и натуральный продукт.

Рекомендации

• Монаган, Джон (2001). «Молодежные представления о бесконечности». Образовательные исследования по математике. 48 (2): 239–257. Дои:10.1023 / А: 1016090925967.
• Шульман, Полли (декабрь 1995 г.). «Бесконечность плюс один и другие сюрреалистические числа». Обнаружить. 16 (12).
• Высокий, Дэвид (2001). «Ребенок, думающий о бесконечности» (PDF). Журнал математического поведения. 20 (1): 7–19. Дои:10.1016 / S0732-3123 (01) 00058-X.