Обратный поток средней кривизны - Inverse mean curvature flow

В математических областях дифференциальная геометрия и геометрический анализ, обратная средняя кривизна потока (IMCF) это геометрический поток из подмногообразия из Риманов или же псевдориманово многообразие. Он был использован для доказательства определенного случая Риманово неравенство Пенроуза, что представляет интерес общая теория относительности.

Формально для псевдориманова многообразия $(M, грамм)$ и гладкое многообразие $S$ , поток обратной средней кривизны состоит из открытого интервала $я$ и гладкая карта $F$ из $я \times S$ в $M$ такой, что

{ displaystyle { frac { partial F} { partial t}} = { frac {-H} {| H | ^ {2}}},}

куда $ЧАС$ это вектор средней кривизны погружения $F (т, \cdot)$ .

Если $грамм$ риманова, если $S$ является закрыто с $тусклый (M) = тусклый (S) + 1$ , а если заданное плавное погружение $ж$ из $S$ в $M$ имеет среднюю кривизну, которая нигде не равна нулю, то существует единственный поток обратной средней кривизны, "начальные данные" которого $ж$ .^[1]

Теорема сходимости Герхардта

Простой пример потока с обратной средней кривизной дается семейством концентрических круглых гиперсферы в Евклидово пространство. Если размер такой сферы равен $п$ и его радиус $р$ , то его средняя кривизна равна $п / р$ . Таким образом, такое семейство концентрических сфер образует поток обратной средней кривизны тогда и только тогда, когда

{ displaystyle r '(t) = { frac {r (t)} {n}}.}

Таким образом, семейство концентрических круглых гиперсфер образует поток обратной средней кривизны, когда радиусы растут экспоненциально.

В 1990 году Клаус Герхард показал, что такая ситуация характерна для более общего случая средневыпуклых звездообразных гладких гиперповерхностей евклидова пространства. В частности, для любых таких начальных данных поток обратной средней кривизны существует в течение всего положительного времени и состоит только из средневыпуклых и звездообразных гладких гиперповерхностей. Более того, площадь поверхности растет экспоненциально, и после изменения масштаба, фиксирующего площадь поверхности, поверхности плавно сходятся в круглую сферу. Геометрические оценки в работе Герхардта следуют из принцип максимума; тогда асимптотическая округлость становится следствием теоремы Крылова-Сафонова. Кроме того, методы Герхардта применяются одновременно к более общим гиперповерхностным потокам, основанным на кривизне.

Как типично для геометрических потоков, решения IMCF в более общих ситуациях часто имеют особенности за конечное время, что означает, что $я$ часто нельзя принять за форму $(а, \infty)$ .^[2]

Слабые решения Хьюскена и Ильманена

Следуя основополагающим работам Юн Ган Чена, Ёсиказу Гига, и Шуньити Гото, и Лоуренс Эванс и Джоэл Спрук на средняя кривизна потока, Герхард Хёйскен и Том Ильманен заменил уравнение IMCF для гиперповерхностей в римановом многообразии $(M, грамм)$ , посредством эллиптическое уравнение в частных производных

{ displaystyle operatorname {div} _ {g} { frac {du} {| du | _ {g}}} = | du | _ {g}}

для действительной функции $ты$ на $M$ . Слабые решения этого уравнения может быть задано вариационный принцип. Хьюскен и Ильманен доказали, что для любого полного и связного гладкого риманова многообразия $(M, грамм)$ которое является асимптотически плоским или асимптотически коническим, и для любого предкомпактного и открытого подмножества $U$ из $M$ граница которого является гладкой вложенное подмногообразие, существует собственная и локально липшицева функция $ты$ на $M$ которое является положительным слабым решением в дополнении к $U$ и который не является положительным на $U$ ; причем такая функция однозначно определяется на дополнении $U$ .

Идея в том, что как $т$ увеличивается, граница ${Икс : ты (Икс) < т$ } движется через гиперповерхности, возникающие в потоке обратной средней кривизны, с начальным условием, заданным границей $U$ . Однако эллиптическая и слабая настройка дает более широкий контекст, поскольку такие границы могут иметь неровности и могут скачкообразно прыгать, что невозможно в обычном потоке с обратной средней кривизной.

В частном случае, когда $M$ является трехмерным и $грамм$ имеет неотрицательный скалярная кривизна, Huisken и Ilmanen показали, что определенная геометрическая величина, известная как Масса Хокинга можно определить для границы ${Икс : ты (Икс) < т$ }, и монотонно не убывает при $т$ увеличивается. В более простом случае гладкого потока обратной средней кривизны, это составляет локальный расчет, и в 1970-х годах физик показал Роберт Герох. В условиях Хуискена и Ильманена это более нетривиально из-за возможных неровностей и разрывов задействованных поверхностей.

В результате расширения монотонности Героха Хьюскеном и Ильманеном они смогли использовать массу Хокинга для интерполяции между площадью поверхности «самой внешней» минимальной поверхности и массой ADM асимптотически плоского трехмерного риманова многообразия неотрицательной скалярной кривизны. . Это разрешило определенный случай Риманово неравенство Пенроуза.

Обратный поток средней кривизны - Inverse mean curvature flow

Теорема сходимости Герхардта

Слабые решения Хьюскена и Ильманена

Рекомендации