Изоклинизм групп - Isoclinism of groups - Wikipedia

В математике, в частности теория групп, изоклинизм является отношение эквивалентности на группы который обобщает изоморфизм. Изоклинизм был введен Холл (1940) чтобы помочь классифицировать и понять p-группы, хотя это применимо ко всем группам. Изоклинизм также имеет последствия для Множитель Шура и связанные с этим аспекты теория характера, как описано в Сузуки (1982 г., п. 256) и Conway et al. (1985 г., п. xxiii, гл. 6.7). Слово «изоклинизм» происходит от греческого ισοκλινης, что означает равный наклон.

Некоторые учебники, обсуждающие изоклинизм, включают: Беркович (2008 г., §29) и Блэкберн, Нойман и Венкатараман (2007), §21.2) и Suzuki (1986 г. С. 92–95).

Определение

Класс изоклинизма группы грамм определяется группами грамм/Z(грамм) ( группа внутренних автоморфизмов ) и грамм′ ( коммутаторная подгруппа ) и коммутаторное отображение из грамм/Z(грамм) × грамм/Z(грамм) к грамм′ (Принимая а, б к аба−1б−1).

Другими словами, две группы грамм1 и грамм2 являются изоклиническими, если существуют изоморфизмы из грамм1/Z(грамм1) к грамм2/Z(грамм2) и из грамм1' к грамм2′ Коммутируют с коммутаторным отображением.

Примеры

Все Абелевы группы являются изоклиническими, поскольку они равны своим центрам, а их коммутаторные подгруппы всегда являются единичной подгруппой. В самом деле, группа изоклиническа абелевой группе тогда и только тогда, когда она сама абелева и грамм изоклинически с грамм×А если и только если А абелева. В двугранный, квазидиэдральный, и группы кватернионов порядка 2п изоклинически для п≥3, Беркович (2008 г., п. 285) более подробно.

Изоклинизм разделяет п-группы в семьи, и самые маленькие члены каждой семьи называются стволовые группы. Группа является основной тогда и только тогда, когда Z (грамм) ≤ [грамм,грамм], то есть тогда и только тогда, когда каждый элемент центра группы содержится в производная подгруппа (также называемая коммутаторной подгруппой), Беркович (2008 г., п. 287). Некоторые результаты перечисления семейств изоклинизма приведены в Блэкберн, Нойман и Венкатараман (2007), п. 226).

Изоклинизм используется в теории проективные представления из конечные группы, это все Покрытие Schur группы группы изоклинически, факт, на который уже намекал Холл согласно Сузуки (1982 г., п. 256). Это используется при описании таблиц символов конечные простые группы (Conway et al. 1985 г., п. xxiii, гл. 6.7).

Рекомендации