Неравенство Джексона - Jacksons inequality - Wikipedia

В теория приближения, Неравенство Джексона - неравенство, ограничивающее значение наилучшего приближения функции соотношением алгебраический или же тригонометрические полиномы с точки зрения модуль непрерывности или же модуль гладкости функции или ее производных.^[1] Неформально говоря, чем плавнее функция, тем лучше ее можно аппроксимировать полиномами.

Утверждение: тригонометрические полиномы

Для тригонометрических полиномов следующее доказано Данэм Джексон:

Теорема 1.: Если ${\displaystyle f:[0,2\pi ]\to \mathbb {C} }$ является ${\displaystyle r}$ раз дифференцируемый периодическая функция такой, что

${\displaystyle \left|f^{(r)}(x)\right|\leq 1,\qquad x\in [0,2\pi ],}$

тогда для каждого положительного целого числа ${\displaystyle n}$, существует тригонометрический полином ${\displaystyle T_{n-1}}$ степени не более ${\displaystyle n-1}$ такой, что

${\displaystyle \left|f(x)-T_{n-1}(x)\right|\leq {\frac {C(r)}{n^{r}}},\qquad x\in [0,2\pi ],}$

куда ${\displaystyle C(r)}$ зависит только от ${\displaystyle r}$.

В Ахиезер –Крейн –Фавард теорема дает резкое значение ${\displaystyle C(r)}$ (называется Константа Ахиезера – Крейна – Фавара ):

${\displaystyle C(r)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k(r+1)}}{(2k+1)^{r+1}}}~.}$

Джексон также доказал следующее обобщение теоремы 1:

Теорема 2.: Можно найти тригонометрический полином ${\displaystyle T_{n}}$ степени ${\displaystyle \leq n}$ такой, что

${\displaystyle |f(x)-T_{n}(x)|\leq {\frac {C(r)\omega \left({\frac {1}{n}},f^{(r)}\right)}{n^{r}}},\qquad x\in [0,2\pi ],}$

куда ${\displaystyle \omega (\delta ,g)}$ обозначает модуль непрерывности функции ${\displaystyle g}$ с шагом ${\displaystyle \delta .}$

Еще более общий результат четырех авторов можно сформулировать в виде следующей теоремы Джексона.

Теорема 3.: Для каждого натурального числа ${\displaystyle n}$, если ${\displaystyle f}$ является ${\displaystyle 2\pi }$-периодической непрерывной функции существует тригонометрический полином ${\displaystyle T_{n}}$ степени ${\displaystyle \leq n}$ такой, что

${\displaystyle |f(x)-T_{n}(x)|\leq c(k)\omega _{k}\left({\tfrac {1}{n}},f\right),\qquad x\in [0,2\pi ],}$

где постоянная ${\displaystyle c(k)}$ зависит от ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}$ и ${\displaystyle \omega _{k}}$ это ${\displaystyle k}$-й порядок модуль гладкости.

За ${\displaystyle k=1}$ этот результат был доказан Данхэмом Джексоном. Антони Зигмунд доказал неравенство в случае, когда ${\displaystyle k=2,\omega _{2}(t,f)\leq ct,t>0}$ в 1945 г. Наум Ахиезер доказал теорему в случае ${\displaystyle k=2}$ в 1956 г. ${\displaystyle k>2}$ этот результат был установлен Сергей Стечкин в 1967 г.

Дальнейшие замечания

Обобщения и расширения называются теоремами типа Джексона. Обратное неравенству Джексона дает Теорема Бернштейна. Смотрите также теория конструктивных функций.

Рекомендации

1. Ахизер, Н. (1956). Теория приближения. Нью-Йорк: Frederick Ungar Publishing Co.

внешняя ссылка

• Корнейчук, Н.П .; Моторный, В. (2001) [1994], "Неравенство Джексона", Энциклопедия математики, EMS Press
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Джексона». MathWorld.