Желе - Jellium - Wikipedia

Желе, также известный как однородный электронный газ (UEG) или же однородный электронный газ (HEG), это квантово-механический модель взаимодействия электроны в твердом, где положительные обвинения (т.е. атомные ядра) предполагается равномерно распределенными в пространстве; то электронная плотность - единообразная величина и в космосе. Эта модель позволяет сосредоточиться на эффектах в твердых телах, которые возникают из-за квантовой природы электронов и их взаимного отталкивающего взаимодействия (из-за одинакового заряда) без явного введения атомная решетка и структура, составляющая настоящий материал. Джеллиум часто используют в физика твердого тела как простая модель делокализованных электронов в металле, где она может качественно воспроизводить особенности реальных металлов, таких как скрининг, плазмоны, Вигнеровская кристаллизация и Колебания Фриделя.

В нулевая температура, свойства желе зависят только от постоянной электронная плотность. Это дает возможность лечения в теория функционала плотности; сам формализм дает основу для приближение локальной плотности к обменно-корреляционному функционалу плотности энергии.

Период, термин желе был придуман Коньерс Херринг, ссылаясь на «позитивный желеобразный» фон и типичное металлическое поведение, которое он демонстрирует.^[1]

Гамильтониан

Модель желе строго рассматривает электрон-электронное взаимодействие. Искусственный бесструктурный фоновый заряд электростатически взаимодействует с собой и с электронами. Желе Гамильтониан за N электроны, заключенные в объеме пространства Ω, и с электронная плотность ρ(р) и (постоянной) фоновой плотности заряда п(р) = N/ Ω есть^[2][3]

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{\mathrm {el} }+{\hat {H}}_{\mathrm {back} }+{\hat {H}}_{\mathrm {el-back} },\,}$

куда

• ЧАС_эль - электронный гамильтониан, состоящий из членов кинетики и электрон-электронного отталкивания:

${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathrm {el} }=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+\sum _{i<j}^{N}{\frac {e^{2}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}}$

• ЧАС_назад - гамильтониан положительного фонового заряда, взаимодействующего электростатически с собой:

${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathrm {back} }={\frac {e^{2}}{2}}\int _{\Omega }\mathrm {d} \mathbf {R} \int _{\Omega }\mathrm {d} \mathbf {R} '\ {\frac {n(\mathbf {R} )n(\mathbf {R} ')}{|\mathbf {R} -\mathbf {R} '|}}={\frac {e^{2}}{2}}\left({\frac {N}{\Omega }}\right)^{2}\int _{\Omega }\mathrm {d} \mathbf {R} \int _{\Omega }\mathrm {d} \mathbf {R} '\ {\frac {1}{|\mathbf {R} -\mathbf {R} '|}}}$

• ЧАС_{Эль-Бэк} - гамильтониан электрон-фонового взаимодействия, опять же электростатическое взаимодействие:

${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathrm {el-back} }=\int _{\Omega }\mathrm {d} \mathbf {r} \int _{\Omega }\mathrm {d} \mathbf {R} \ {\frac {\rho (\mathbf {r} )n(\mathbf {R} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {R} |}}=-e^{2}{\frac {N}{\Omega }}\sum _{i=1}^{N}\int _{\Omega }\mathrm {d} \mathbf {R} \ {\frac {1}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} |}}}$

ЧАС_назад - константа и в пределе бесконечного объема расходится вместе с ЧАС_{Эль-Бэк}. Расхождение компенсируется членом от электрон-электронного взаимодействия: фоновые взаимодействия сокращаются, и в системе преобладают кинетическая энергия и взаимодействие электронов. Такой анализ проводится в пространстве Фурье; оставшиеся члены взаимодействия гамильтониана соответствуют разложению Фурье электронной связи, для которого q ≠ 0.

Вклады в общую энергию

Традиционный способ изучения электронного газа - начать с невзаимодействующих электронов, которые регулируются только кинетической энергетической частью гамильтониана, также называемой Ферми газ. Кинетическая энергия на электрон определяется выражением

${\displaystyle KE={\frac {3}{5}}E_{F}={\frac {3}{5}}{\frac {\hbar ^{2}k_{F}^{2}}{2m_{e}}}={\frac {3}{5}}{\biggl (}{\frac {9\pi }{4}}{\biggr )}^{\frac {2}{3}}{\frac {1}{(r_{s}/a_{0})^{2}}}{\textrm {Ry}}\approx {\frac {2.21}{(r_{s}/a_{0})^{2}}}{\textrm {Ry}}}$

куда ${\displaystyle E_{F}}$ - энергия Ферми, ${\displaystyle k_{F}}$ - волновой вектор Ферми, а последнее выражение показывает зависимость от Радиус Вигнера – Зейтца ${\displaystyle r_{s}}$ где энергия измеряется в Rydbergs.

Не проделывая большой работы, можно предположить, что электрон-электронные взаимодействия будут масштабироваться как обратная величина среднего межэлектронного расстояния и, следовательно, как ${\displaystyle 1/r_{12}}$ (поскольку кулоновское взаимодействие происходит как одно на расстоянии между зарядами), так что если мы рассматриваем взаимодействия как небольшую поправку к кинетической энергии, мы описываем предел малых ${\displaystyle r_{s}}$ (т.е. ${\displaystyle 1/r_{s}^{2}}$ быть больше, чем ${\displaystyle 1/r_{s}}$) и, следовательно, высокая концентрация электронов. К сожалению, настоящие металлы обычно имеют ${\displaystyle r_{s}}$ между 2-5, что означает, что эта картина нуждается в серьезной доработке.

Первая поправка к модель свободных электронов для желе из Обмен фока вклад в электрон-электронные взаимодействия. Добавив это, мы получим общую энергию

${\displaystyle E={\frac {2.21}{r_{s}^{2}}}-{\frac {0.916}{r_{s}}}}$

где отрицательный член обусловлен обменом: обменные взаимодействия понижают полную энергию. Поправки более высокого порядка к полной энергии обусловлены электронная корреляция и если кто-то решает работать серией за небольшие ${\displaystyle r_{s}}$, можно найти

${\displaystyle E={\frac {2.21}{r_{s}^{2}}}-{\frac {0.916}{r_{s}}}+0.0622\ln(r_{s})-0.096+O(r_{s})}$

Серия довольно точная для небольших ${\displaystyle r_{s}}$ но имеет сомнительную ценность для ${\displaystyle r_{s}}$ значения найдены в реальных металлах.

Для всего спектра ${\displaystyle r_{s}}$, Плотность корреляционной энергии Чачиё может использоваться в качестве поправки более высокого порядка. В этом случае,

${\displaystyle E={\frac {2.21}{r_{s}^{2}}}-{\frac {0.916}{r_{s}}}+a\ln \left(1+{\frac {b}{r_{s}}}+{\frac {b}{r_{s}^{2}}}\right)}$, ^[4] что довольно хорошо (порядка милли-Хартри) согласуется с квантовым моделированием Монте-Карло.

Фазовая диаграмма при нулевой температуре желе в трех и двух измерениях

Физика фазового поведения желе при нулевой температуре обусловлена ​​конкуренцией между кинетической энергией электронов и энергией электрон-электронного взаимодействия. Оператор кинетической энергии в гамильтоновых масштабах как ${\displaystyle 1/r_{s}^{2}}$, куда ${\displaystyle r_{s}}$ это Радиус Вигнера – Зейтца, тогда как оператор энергии взаимодействия масштабируется как ${\displaystyle 1/r_{s}}$. Следовательно, кинетическая энергия преобладает при высокой плотности (небольшой ${\displaystyle r_{s}}$), тогда как энергия взаимодействия доминирует при малой плотности (большой ${\displaystyle r_{s}}$).

Предел высокой плотности - это то место, где желе больше всего напоминает невзаимодействующий свободный электронный газ. Чтобы минимизировать кинетическую энергию, одноэлектронные состояния делокализованы в состоянии, очень близком к определителю Слейтера (невзаимодействующее состояние), построенному из плоских волн. Здесь состояния плоской волны с наименьшим импульсом дважды заняты электронами со спином вверх и со спином вниз, что дает парамагнитный Ферми жидкость.

При более низких плотностях, когда энергия взаимодействия более важна, для электронного газа энергетически выгодно поляризоваться по спину (т.е. иметь дисбаланс в количестве электронов со вращением вверх и вниз), что приводит к ферромагнитный Ферми жидкость. Это явление известно как странствующий ферромагнетизм. При достаточно низкой плотности потери кинетической энергии, возникающие из-за необходимости занимать состояния плоских волн с более высоким импульсом, более чем компенсируются уменьшением энергии взаимодействия из-за того, что эффекты обмена удерживают неразличимые электроны друг от друга.

Дальнейшее снижение энергии взаимодействия (за счет кинетической энергии) может быть достигнуто за счет локализации электронных орбиталей. В результате желе при нулевой температуре и достаточно низкой плотности образует так называемый Кристалл вигнера, в котором одночастичные орбитали имеют приблизительно гауссову форму с центрами в узлах кристаллической решетки. После того, как кристалл Вигнера сформирован, в принципе могут происходить дальнейшие фазовые переходы между различными кристаллическими структурами и между различными магнитными состояниями кристаллов Вигнера (например, из антиферромагнитных в ферромагнитные спиновые конфигурации) по мере снижения плотности. Когда происходит вигнеровская кристаллизация, желе приобретает запрещенная зона.

В Хартри – Фок Согласно теории ферромагнитная жидкость резко становится более стабильной, чем парамагнитная жидкость при параметре плотности ${\displaystyle r_{s}=5.45}$ в трех измерениях (3D) и ${\displaystyle 2.01}$ в двух измерениях (2D).^[5] Однако согласно теории Хартри – Фока кристаллизация Вигнера происходит при ${\displaystyle r_{s}=4.5}$ в 3D и ${\displaystyle 1.44}$ в 2D, чтобы гелий кристаллизовался до того, как возникнет странствующий ферромагнетизм.^[6] Кроме того, теория Хартри-Фока предсказывает экзотическое магнитное поведение, при котором парамагнитная жидкость нестабильна по отношению к образованию спиральной волны спиновой плотности.^[7][8] К сожалению, теория Хартри-Фока не включает в себя никакого описания корреляционных эффектов, которые вообще энергетически важны, кроме очень высоких плотностей, и поэтому требуется более точный уровень теории, чтобы делать количественные заключения о фазовой диаграмме желе.

Квантовый Монте-Карло Методы (QMC), которые обеспечивают явную обработку эффектов электронной корреляции, по общему мнению, обеспечивают наиболее точный количественный подход для определения фазовой диаграммы гелия при нулевой температуре. Первое применение диффузия Монте-Карло Метод был знаменитым расчетом Чеперли и Олдером в 1980 году фазовой диаграммы трехмерного гелия при нулевой температуре.^[9] Они рассчитали, что переход парамагнитно-ферромагнитной жидкости произойдет при ${\displaystyle r_{s}=75(5)}$ и кристаллизация Вигнера (до объемно-центрированного кубического кристалла) происходит при ${\displaystyle r_{s}=100(20)}$. Последующие расчеты QMC^[10][11] уточнили свою фазовую диаграмму: существует переход второго рода из состояния парамагнитной жидкости в частично спин-поляризованную жидкость от ${\displaystyle r_{s}=50(2)}$ до ${\displaystyle 100}$; а кристаллизация Вигнера происходит при ${\displaystyle r_{s}=106(1)}$.

В 2D расчеты QMC показывают, что переход парамагнитной жидкости в ферромагнитную жидкость и кристаллизация Вигнера происходят при одинаковых параметрах плотности в диапазоне ${\displaystyle 30<r_{s}<40}$.^[12][13] Самые последние расчеты QMC показывают, что у ферромагнитной жидкости нет области устойчивости.^[14] Вместо этого происходит переход от парамагнитной жидкости к гексагональному кристаллу Вигнера при ${\displaystyle r_{s}=31(1)}$. Возможно, существует небольшая область стабильности для (фрустрированного) антиферромагнитного кристалла Вигнера перед дальнейшим переходом к ферромагнитному кристаллу. Кристаллизационный переход в 2D не является первым порядком, поэтому должна быть непрерывная серия переходов от жидкости к кристаллу, возможно, с участием полосатых фаз кристалл / жидкость.^[15] Экспериментальные результаты для двумерного дырочного газа в гетероструктуре GaAs / AlGaAs (которая, несмотря на свою чистоту, может не точно соответствовать идеализированной модели желе), указывают на то, что плотность кристаллизации Вигнера составляет ${\displaystyle r_{s}=35.1(9)}$.^[16]

Приложения

Jellium - простейшая модель взаимодействующих электронов. Он используется при расчете свойств металлов, где основные электроны а ядра моделируются как однородный положительный фон и валентные электроны относятся с полной строгостью. Полубесконечные плиты из желе используются для исследования свойств поверхности, таких как рабочая функция и поверхностные эффекты, такие как адсорбция; вблизи поверхностей электронная плотность колеблется, уменьшаясь до постоянного значения в объеме.^[17][18][19]

В теория функционала плотности, желе используется в строительстве приближение локальной плотности, который, в свою очередь, является составной частью более сложных функционалов обменно-корреляционной энергии. Из квантовый Монте-Карло расчетами желе, получены точные значения плотности корреляционной энергии для нескольких значений электронной плотности,^[9] которые использовались для построения полуэмпирических корреляционных функционалов.^[20]

Модель желе была применена к суператомы, и используется в ядерная физика.

Смотрите также

• Модель свободных электронов - модельный электронный газ, в котором электроны ни с чем не взаимодействуют.
• Модель почти свободных электронов - модельный электронный газ, в котором электроны не взаимодействуют друг с другом, но чувствуют (слабый) потенциал атомной решетки.

Рекомендации

1. Хьюз, Р. И. (2006). «Теоретическая практика: квартет Бома-Пайнса» (PDF). Перспективы науки. 14 (4): 457–524. Дои:10.1162 / posc.2006.14.4.457.
2. Гросс, Э. К. У .; Runge, E .; Хейнонен, О. (1991). Теория многих частиц. Бристоль: Verlag Adam Hilger. С. 79–80. ISBN  978-0-7503-0155-8.
3. Джулиани, Габриэле; Vignale; Джованни (2005). Квантовая теория электронной жидкости.. Издательство Кембриджского университета. стр.13–16. ISBN  978-0-521-82112-4.
4. Типанис Чачиё (2016). «Простая и точная однородная корреляционная энергия электронного газа для всего диапазона плотностей». J. Chem. Phys. 145 (2): 021101. Bibcode:2016ЖЧФ.145б1101С. Дои:10.1063/1.4958669. PMID  27421388.
5. Джулиани, Габриэле; Vignale; Джованни (2005). Квантовая теория электронной жидкости.. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-82112-4.
6. Дж. Р. Трейл; М. Д. Таулер; Р. Дж. Нидс (2003). "Неограниченная теория Хартри-Фока кристаллов Вигнера". Phys. Ред. B. 68 (4): 045107. arXiv:0909.5498. Bibcode:2003ПхРвБ..68д5107Т. Дои:10.1103 / PhysRevB.68.045107.
7. А. В. Оверхаузер (1960). «Гигантские волны спиновой плотности». Phys. Rev. Lett. 4 (9): 462–465. Bibcode:1960PhRvL ... 4..462O. Дои:10.1103 / PhysRevLett.4.462.
8. А. В. Оверхаузер (1962). «Волны спиновой плотности в электронном газе». Phys. Rev. 128 (3): 1437–1452. Bibcode:1962ПхРв..128.1437О. Дои:10.1103 / PhysRev.128.1437.
9. Д. М. Сеперли; Б. Дж. Алдер (1980). «Основное состояние электронного газа стохастическим методом». Phys. Rev. Lett. (Представлена ​​рукопись). 45 (7): 566–569. Bibcode:1980PhRvL..45..566C. Дои:10.1103 / PhysRevLett.45.566.
10. Ф. Х. Цзун; C. Lin; Д. М. Сеперли (2002). «Спиновая поляризация трехмерного электронного газа низкой плотности». Phys. Ред. E. 66 (3): 1–7. arXiv:cond-mat / 0205339. Bibcode:2002PhRvE..66c6703Z. Дои:10.1103 / PhysRevE.66.036703. PMID  12366294.
11. Н. Д. Драммонд; З. Раднаи; Дж. Р. Трейл; М. Д. Таулер; Р. Дж. Нидс (2004). "Диффузионное квантовое исследование трехмерных кристаллов Вигнера методом Монте-Карло". Phys. Ред. B. 69 (8): 085116. arXiv:0801.0377. Bibcode:2004ПхРвБ..69х5116Д. Дои:10.1103 / PhysRevB.69.085116.
12. Б. Танатар; Д. М. Сеперли (1989). «Основное состояние двумерного электронного газа». Phys. Ред. B. 39 (8): 5005. Bibcode:1989ПхРвБ..39.5005Т. Дои:10.1103 / PhysRevB.39.5005. PMID  9948889.
13. Ф. Раписарда; Г. Сенаторе (1996). "Исследование электронов в двумерных слоях методом диффузионного Монте-Карло". Aust. J. Phys. 49: 161. Bibcode:1996AuJPh..49..161R. Дои:10.1071 / PH960161.
14. Н. Д. Драммонд; Р. Дж. Нидс (2009). "Фазовая диаграмма двумерного однородного электронного газа низкой плотности". Phys. Rev. Lett. 102 (12): 126402. arXiv:1002.2101. Bibcode:2009PhRvL.102l6402D. Дои:10.1103 / PhysRevLett.102.126402. PMID  19392300.
15. Б. Спивак; С. А. Кивельсон (2004). «Промежуточные фазы между двумерной электронной жидкостью и кристаллом Вигнера». Phys. Ред. B. 70 (15): 155114. Bibcode:2004PhRvB..70o5114S. Дои:10.1103 / PhysRevB.70.155114.
16. Дж. Юн; К. С. Ли; Д. Шахар; Д. К. Цуй; М. Шаеган (1999). «Вигнеровская кристаллизация и переход металл-диэлектрик двумерных дырок в GaAs при ${\displaystyle B=0}$". Phys. Rev. Lett. 82 (8): 1744. arXiv:cond-mat / 9807235. Bibcode:1999PhRvL..82.1744Y. Дои:10.1103 / PhysRevLett.82.1744.
17. Ланг, Н. Д. (1969). «Самосогласованные свойства распределения электронов на поверхности металла». Твердотельная Коммуна. 7 (15): 1047–1050. Bibcode:1969SSCom ... 7.1047L. Дои:10.1016/0038-1098(69)90467-0.
18. Lang, N.D .; Кон, В. (1970). «Теория металлических поверхностей: работа выхода». Phys. Ред. B. 3 (4): 1215–223. Bibcode:1971ПхРвБ ... 3.1215Л. Дои:10.1103 / PhysRevB.3.1215.
19. Lang, N.D .; Кон, В. (1973). «Поверхностно-дипольные барьеры в простых металлах». Phys. Ред. B. 8 (12): 6010–6012. Bibcode:1973ПхРвБ ... 8.6010Л. Дои:10.1103 / PhysRevB.8.6010.
20. Perdew, J. P .; McMullen, E. R .; Зунгер, Алекс (1981). «Плотно-функциональная теория корреляционной энергии в атомах и ионах: простая аналитическая модель и задача». Phys. Ред. А. 23 (6): 2785–2789. Bibcode:1981ПхРвА..23.2785П. Дои:10.1103 / PhysRevA.23.2785.