Лемма Джорданса - Jordans lemma - Wikipedia

В комплексный анализ, Лемма Джордана результат, часто используемый в сочетании с теорема о вычетах оценить контурные интегралы и несобственные интегралы. Он назван в честь французского математика. Камилла Джордан.

Заявление

Рассмотрим сложный -значен, непрерывная функция ж, определенная по полукруглому контуру

${\displaystyle C_{R}=\{Re^{i\theta }\mid \theta \in [0,\pi ]\}}$

положительного радиуса р лежащий в верхняя полуплоскость с центром в начале координат. Если функция ж имеет форму

${\displaystyle f(z)=e^{iaz}g(z),\quad z\in C_{R},}$

с положительным параметром а, то лемма Жордана устанавливает следующую верхнюю оценку контурного интеграла:

${\displaystyle \left|\int _{C_{R}}f(z)\,dz\right|\leq {\frac {\pi }{a}}M_{R}\quad {\text{where}}\quad M_{R}:=\max _{\theta \in [0,\pi ]}\left|g\left(Re^{i\theta }\right)\right|.}$

с равенством, когда грамм обращается в нуль всюду, и в этом случае обе стороны тождественно равны нулю. Аналогичное утверждение для полукруглого контура в нижней полуплоскости справедливо при а < 0.

Замечания

• Если ж непрерывна по полукруглому контуру C_р для всех больших р и

${\displaystyle \lim _{R\to \infty }M_{R}=0}$

(*)

то по лемме Джордана

${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{C_{R}}f(z)\,dz=0.}$

• По делу а = 0см. лемма об оценке.
• По сравнению с леммой об оценке верхняя оценка в лемме Жордана не зависит явно от длины контура C_р.

Применение леммы Джордана

Тропинка C это конкатенация путей C₁ и C₂.

Лемма Жордана дает простой способ вычисления интеграла по действительной оси функций ж(z) = е^{я а я} грамм(z) голоморфный на верхней полуплоскости и непрерывный на замкнутой верхней полуплоскости, за исключением, возможно, конечного числа нереальных точек z₁, z₂, …, z_п. Рассмотрим замкнутый контур C, который представляет собой конкатенацию путей C₁ и C₂ показано на картинке. По определению,

${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\int _{C_{1}}f(z)\,dz+\int _{C_{2}}f(z)\,dz\,.}$

Поскольку на C₂ переменная z действительный, второй интеграл действительный:

${\displaystyle \int _{C_{2}}f(z)\,dz=\int _{-R}^{R}f(x)\,dx\,.}$

Левая часть может быть вычислена с использованием теорема о вычетах получить, для всех р больше, чем максимум |z₁|, |z₂|, …, |z_п|,

${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,z_{k})\,,}$

куда Res (ж, z_k) обозначает остаток из ж в особенности z_k. Следовательно, если ж удовлетворяет условию (*), затем переходя к пределу р стремится к бесконечности, контурный интеграл по C₁ обращается в нуль по лемме Жордана, и мы получаем значение несобственного интеграла

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,z_{k})\,.}$

Пример

Функция

${\displaystyle f(z)={\frac {e^{iz}}{1+z^{2}}},\qquad z\in {\mathbb {C} }\setminus \{i,-i\},}$

удовлетворяет условию леммы Жордана с а = 1 для всех р > 0 с р ≠ 1. Обратите внимание, что для р > 1,

${\displaystyle M_{R}=\max _{\theta \in [0,\pi ]}{\frac {1}{|1+R^{2}e^{2i\theta }|}}={\frac {1}{R^{2}-1}}\,,}$

следовательно (*) имеет место. Поскольку единственная особенность ж в верхней полуплоскости находится на z = я, указанное выше приложение дает

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}}\,dx=2\pi i\,\operatorname {Res} (f,i)\,.}$

С z = я это простой полюс из ж и 1 + z² = (z + я)(z − я), мы получаем

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,i)=\lim _{z\to i}(z-i)f(z)=\lim _{z\to i}{\frac {e^{iz}}{z+i}}={\frac {e^{-1}}{2i}}}$

так что

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\cos x}{1+x^{2}}}\,dx=\operatorname {Re} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{e}}\,.}$

Этот результат демонстрирует, как некоторые интегралы, которые трудно вычислить классическими методами, легко вычисляются с помощью комплексного анализа.

Доказательство леммы Жордана.

По определению комплексный линейный интеграл,

${\displaystyle \int _{C_{R}}f(z)\,dz=\int _{0}^{\pi }g(Re^{i\theta })\,e^{iaR(\cos \theta +i\sin \theta )}\,iRe^{i\theta }\,d\theta =R\int _{0}^{\pi }g(Re^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }\,d\theta \,.}$

Теперь неравенство

${\displaystyle {\biggl |}\int _{a}^{b}f(x)\,dx{\biggr |}\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,dx}$

дает

${\displaystyle I_{R}:={\biggl |}\int _{C_{R}}f(z)\,dz{\biggr |}\leq R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(Re^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }{\bigr |}\,d\theta =R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(Re^{i\theta }){\bigr |}\,e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,.}$

С помощью M_р как определено в (*) и симметрия грех θ = грех (π – θ), мы получаем

${\displaystyle I_{R}\leq RM_{R}\int _{0}^{\pi }e^{-aR\sin \theta }\,d\theta =2RM_{R}\int _{0}^{\pi /2}e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,.}$

Поскольку график грех θ является вогнутый на интервале θ ∈ [0, π ⁄ 2], график грех θ лежит выше прямой, соединяющей ее концы, следовательно,

${\displaystyle \sin \theta \geq {\frac {2\theta }{\pi }}\quad }$

для всех θ ∈ [0, π ⁄ 2], что в дальнейшем подразумевает

${\displaystyle I_{R}\leq 2RM_{R}\int _{0}^{\pi /2}e^{-2aR\theta /\pi }\,d\theta ={\frac {\pi }{a}}(1-e^{-aR})M_{R}\leq {\frac {\pi }{a}}M_{R}\,.}$

Смотрите также

• Лемма об оценке

Рекомендации

• Браун, Джеймс У .; Черчилль, Руэль В. (2004). Комплексные переменные и приложения (7-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу Хилл. С. 262–265. ISBN  0-07-287252-7.