Уравнение Кардара – Паризи – Чжана. - Kardar–Parisi–Zhang equation

В математика, то Уравнение Кардара – Паризи – Жанга (КПЗ) нелинейный стохастическое уравнение в частных производных, представлен Мехран Кардар, Джорджио Паризи, и И-Чэн Чжан в 1986 году.^[1][2][3] Он описывает временное изменение поля высоты ${\displaystyle h({\vec {x}},t)}$ с пространственной координатой ${\displaystyle {\vec {x}}}$ и координата времени ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle {\frac {\partial h({\vec {x}},t)}{\partial t}}=\nu \nabla ^{2}h+{\frac {\lambda }{2}}\left(\nabla h\right)^{2}+\eta ({\vec {x}},t)\;,}$

Здесь ${\displaystyle \eta ({\vec {x}},t)}$ является белый Гауссов шум со средним

${\displaystyle \langle \eta ({\vec {x}},t)\rangle =0}$

и второй момент

${\displaystyle \langle \eta ({\vec {x}},t)\eta ({\vec {x}}',t')\rangle =2D\delta ^{d}({\vec {x}}-{\vec {x}}')\delta (t-t').}$

${\displaystyle \nu }$, ${\displaystyle \lambda }$, и ${\displaystyle D}$ параметры модели и ${\displaystyle d}$ это измерение.

В одном пространственном измерении уравнение КПЗ соответствует стохастической версии Уравнение Бюргерса с полем ${\displaystyle u(x,t)}$через замену ${\displaystyle u=-\lambda \,\partial h/\partial x}$.

Через ренормализационная группа, уравнение КПЗ предполагается полевой теорией многих поверхностный рост модели, такие как Модель Эдема, баллистическое осаждение и SOS модель. Строгое доказательство было дано Бертини и Джакомином в случае модели SOS.^[4]

Класс универсальности КПЗ

Много системы взаимодействующих частиц, например, полностью асимметричный простой процесс исключения, лежат в КПЗ класс универсальности. Для этого класса характерны следующие критические показатели в одном пространственном измерении (1 + 1 измерение): показатель шероховатости α = 1/2, показатель роста β = 1/3, и динамический показатель z = 3/2. Чтобы проверить, относится ли модель роста к классу КПЗ, можно рассчитать ширина поверхности:

${\displaystyle W(L,t)=\left\langle {\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}{\big (}h(x,t)-{\bar {h}}(t){\big )}^{2}\,dx\right\rangle ^{1/2},}$

куда ${\displaystyle {\bar {h}}(t)}$ - средняя высота поверхности в момент времени t, а L - размер системы. Для моделей класса КПЗ основные свойства поверхности ${\displaystyle h(x,t)}$ можно охарактеризовать Семья –Vicsek соотношение масштабирования из грубость^[5]

${\displaystyle W(L,t)\approx L^{\alpha }f(t/L^{z}),}$

с функцией масштабирования ${\displaystyle f(u)}$ удовлетворение

${\displaystyle f(u)\propto {\begin{cases}u^{\beta }&\ u\ll 1\\1&\ u\gg 1\end{cases}}}$

В 2014 году Хайрер и Квастель показали, что в более общем плане следующие уравнения, подобные КПЗ, относятся к классу универсальности КПЗ:^[3]

${\displaystyle {\frac {\partial h({\vec {x}},t)}{\partial t}}=\nu \nabla ^{2}h+P\left(\nabla h\right)+\eta ({\vec {x}},t)\;,}$

Здесь ${\displaystyle P}$ - любой многочлен четной степени.

Решение уравнения КПЗ

Из-за нелинейности уравнения и наличия белого шума в пространстве-времени решения уравнения КПЗ известны не как гладкие или регулярные, а скорее «фрактальные» или «грубые». Действительно, даже без нелинейного члена уравнение сводится к стохастическое уравнение теплопроводности, решение которой не дифференцируемо по пространственной переменной, но проверяет Условие Гёльдера с показателем <1/2. Таким образом, нелинейный член ${\displaystyle \left(\nabla h\right)^{2}}$ некорректно определен в классическом смысле.

В 2013, Мартин Хайрер совершил прорыв в решении уравнения КПЗ, построив аппроксимации с использованием Диаграммы Фейнмана.^[6] В 2014 г. награжден Медаль Филдса для этой работы вместе с теория грубых путей и структуры регулярности.^[7]

Смотрите также

• Уравнение Фоккера – Планка
• Стохастическое уравнение в частных производных
• Универсальность (динамические системы)
• грубый путь
• фрактал
• Ренормализационная группа
• поверхностный рост
• квантовая теория поля

Источники

1. Кардар, Мехран; Паризи, Джорджио; Чжан И-Чэн (3 марта 1986 г.). «Динамическое масштабирование растущих интерфейсов». Письма с физическими проверками. 56 (9): 889–892. Bibcode:1986ПхРвЛ..56..889К. Дои:10.1103 / PhysRevLett.56.889. PMID  10033312.
2. "И-Чэн Чжан - цитирование ученых Google". scholar.google.com. Получено 2019-05-05.
3. Хайрер, Мартин; Quastel, J (2014), Слабая универсальность уравнения КПЗ (PDF)
4. Бертини, Лоренцо; Джакомин, Джамбаттиста (1997). «Стохастические уравнения Бюргерса и КПЗ из систем частиц». Коммуникации по математической физике. 183 (3): 571–607. Bibcode:1997CMaPh.183..571B. CiteSeerX  10.1.1.49.4105. Дои:10.1007 / s002200050044. S2CID  122139894.
5. Семья, Ф.; Вичек, Т. (1985). «Масштабирование активной зоны в процессе Идена на перколяционных сетях и модели баллистического осаждения». Журнал физики A: математические и общие. 18 (2): L75 – L81. Bibcode:1985JPhA ... 18L..75F. Дои:10.1088/0305-4470/18/2/005.
6. «Решение уравнения КПЗ | Анналы математики». Получено 2019-05-06.
7. Хайрер, Мартин (2013). «Решение уравнения КПЗ». Анналы математики. 178 (2): 559–664. arXiv:1109.6811. Дои:10.4007 / летопись.2013.178.2.4. S2CID  119247908.

Примечания

• Барабаши, Альберт-Ласло; Стэнли, Гарри Юджин (1995). Фрактальные концепции в росте поверхности. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-48318-6.
• Корвин, Иван (2011). «Уравнение Кардара-Паризи-Чжана и класс универсальности». arXiv:1106.1596 [math.PR ].
• "Лекционные заметки Джереми Квастела" (PDF).