Формализм Келдыша - Keldysh formalism

В неравновесная физика, то Формализм Келдыша это общая основа для описания квантово-механический эволюция системы в неравновесном состоянии или систем под действием изменяющихся во времени внешних полей (электрическое поле, магнитное поле так далее.). Исторически это было предвестником работы Швингер и предложены почти одновременно Келдыш^[1] и отдельно Каданов и Байм.^[2] Он был развит более поздними участниками, такими как Константинов О.В. и Перель В. И..^[3]

Распространение на открытые квантовые системы с управляемой диссипацией дано в ^[4]

Формализм Келдыша обеспечивает систематический способ изучения неравновесных систем, обычно основанный на двухточечных функциях, соответствующих возбуждениям в системе. Главный математический объект в формализме Келдыша - неравновесная Функция Грина (NEGF), который является двухточечной функцией полей частиц. Таким образом, он напоминает Формализм мацубары, который основан на равновесных функциях Грина в мнимом времени и рассматривает только равновесные системы.

Временная эволюция квантовой системы

Рассмотрим общую квантово-механическую систему. Эта система имеет Гамильтониан ${displaystyle H_{0}}$. Пусть начальное состояние системы будет ${displaystyle |nangle }$, которое может быть как чистым, так и смешанным. Если мы теперь добавим к этому гамильтониану возмущение, зависящее от времени, скажем ${displaystyle H'(t)}$, полный гамильтониан равен ${displaystyle H(t)=H_{0}+H'(t)}$ и, следовательно, система будет развиваться во времени под полным гамильтонианом. В этом разделе мы увидим, как эволюция времени на самом деле работает в квантовой механике.

Рассмотрим Эрмитский оператор ${displaystyle {mathcal {O}}}$. в Изображение Гейзенберга квантовой механики этот оператор зависит от времени, а состояние - нет. Математическое ожидание оператора ${displaystyle {mathcal {O}}(t)}$ дан кем-то

${displaystyle {egin{aligned}langle {mathcal {O}}(t)angle &=langle n|{U}^{dagger }(t,0),{mathcal {O}}(0),U(t,0)|nangle end{aligned}}}$

Где из-за временной эволюции операторов в картине Гейзенберга ${displaystyle {mathcal {O}}(t)=U^{dagger }(t,0){mathcal {O}}(0)U(t,0)}$. В унитарный оператор эволюции во времени ${displaystyle U(t_{2},t_{1})}$это по расписанию экспонента интеграла ${displaystyle U(t_{2},t_{1})=T(e^{-iint _{t_{1}}^{t_{2}}H(t')dt'})}$ (Обратите внимание, что если гамильтониан в один момент времени коммутирует с гамильтонианом в разное время, то это можно упростить до ${displaystyle U(t_{2},t_{1})=e^{-iint _{t_{1}}^{t_{2}}H(t')dt'}}$)

Для пертурбативной квантовой механики и квантовая теория поля, часто удобнее использовать картинка взаимодействия. Оператор интерактивного изображения

${displaystyle {egin{aligned}{mathcal {O_{I}}}(t)&={U_{0}}^{dagger }(t,0),{mathcal {O}}(0),U_{0}(t,0)end{aligned}}}$

Где ${displaystyle U_{0}(t_{1},t_{2})=e^{-iH_{0}(t_{1}-t_{2})}}$. Затем определяя ${displaystyle S(t_{1},t_{2})=U_{0}^{dagger }(t_{1},t_{2})U(t_{1},t_{2})}$ у нас есть

${displaystyle {egin{aligned}langle {mathcal {O}}(t)angle &=langle n|{S}^{dagger }(t,0){mathcal {O_{I}}}(t)S(t,0)|nangle end{aligned}}}$

Поскольку унитарные операторы эволюции во времени удовлетворяют ${displaystyle U(t_{3},t_{2})U(t_{2},t_{1})=U(t_{3},t_{1})}$, приведенное выше выражение можно переписать как

${displaystyle {egin{aligned}langle {mathcal {O}}(t)angle &=langle n|{S}^{dagger }(infty ,0)S(infty ,t){mathcal {O_{I}}}(t),S(t,0)|nangle end{aligned}}}$

или с ${displaystyle infty }$ заменяется любым значением времени больше, чем ${displaystyle t}$.

Упорядочивание дорожек на контуре Келдыша

Мы можем записать приведенное выше выражение более кратко, чисто формально, заменяя каждый оператор ${displaystyle X(t)}$ с оператором упорядоченного контура ${displaystyle X(c)}$ , так что ${displaystyle c}$ параметризует путь контура по оси времени, начиная с ${displaystyle t=0}$, переходя к ${displaystyle t=infty }$, а затем вернуться к ${displaystyle t=0}$. Этот путь известен как контур Келдыша. ${displaystyle X(c)}$ имеет то же действие оператора, что и ${displaystyle X(t)}$ (куда ${displaystyle t}$ время, соответствующее ${displaystyle c}$), но также содержит дополнительную информацию о ${displaystyle c}$ (то есть строго говоря ${displaystyle X(c_{1})eq X(c_{2})}$ если ${displaystyle c_{1}eq c_{2}}$, даже если для соответствующих времен ${displaystyle X(t_{1})=X(t_{2})}$).

Тогда мы можем ввести обозначения порядок путей на этом контуре, определяя ${displaystyle {mathcal {T_{c}}}(X^{(1)}(c_{1})X^{(2)}(c_{2})ldots X^{(n)}(c_{n}))=(pm 1)^{sigma }X^{(sigma (1))}(c_{sigma (1)})X^{(sigma (2))}(c_{sigma (2)})ldots X^{(sigma (n))}(c_{sigma (n)})}$, куда ${displaystyle sigma }$ перестановка такая, что ${displaystyle c_{sigma (1)}<c_{sigma (2)}<ldots c_{sigma (n)}}$, а знаки плюс и минус - для бозонный и фермионный операторы соответственно. Обратите внимание, что это обобщение заказ времени.

В этих обозначениях указанная выше эволюция во времени записывается как

${displaystyle {egin{aligned}langle {mathcal {O}}(t)angle &=langle n|{mathcal {T_{c}}}({mathcal {O(c)}}e^{-iint dc'H'(c')})|nangle end{aligned}}}$

Где ${displaystyle c}$ соответствует времени ${displaystyle t}$ на передней ветви контура Келдыша, а интеграл по ${displaystyle c'}$ проходит по всему контуру Келдыша. В остальной части этой статьи, как обычно, мы будем просто использовать обозначения ${displaystyle X(t)}$ за ${displaystyle X(c)}$ куда ${displaystyle t}$ время, соответствующее ${displaystyle c}$, и будет ли ${displaystyle c}$ находится на прямой или обратной ветви, выводится из контекста.

Диаграммная техника Келдыша для функций Грина

Неравновесная функция Грина определяется как ${displaystyle {egin{aligned}iG(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=langle n|Tpsi (x_{1},t_{1})psi (x_{2},t_{2})|nangle end{aligned}}}$.

Или в картинке взаимодействия ${displaystyle {egin{aligned}iG(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=langle n|{mathcal {T_{c}}}(e^{-iint _{c}H'(t')dt'}psi (x_{1},t_{1})psi (x_{2},t_{2}))|nangle end{aligned}}}$ . Мы можем разложить экспоненту в ряд Тейлора, чтобы получить ряд возмущений ${displaystyle sum _{j=0}^{infty }langle n|{mathcal {T_{c}}}((-iint _{t}(H'(t',+)+H'(t',-))dt')^{j}psi (x_{1},t_{1})psi (x_{2},t_{2}))|nangle /j!}$. Это та же процедура, что и в диаграммной теории возмущений равновесия, но с той важной разницей, что учитываются как прямые, так и обратные ветви контура.

Если, как это часто бывает, ${displaystyle H'}$ является полиномом или рядом как функция элементарных полей ${displaystyle psi }$, мы можем организовать этот ряд возмущений в мономиальные члены и применить все возможные Фитиль пары к полям в каждом одночлене, получая суммирование Диаграммы Фейнмана. Однако края диаграммы Фейнмана соответствуют разным пропагаторам в зависимости от того, исходят ли парные операторы из прямых или обратных ветвей. А именно,

${displaystyle langle n|{mathcal {T_{c}}}psi (x_{1},t_{1},+)psi (x_{2},t_{2},+)|nangle equiv G_{0}^{++}(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=langle n|{mathcal {T}}psi (x_{1},t_{1})psi (x_{2},t_{2})|nangle }$

${displaystyle langle n|{mathcal {T_{c}}}psi (x_{1},t_{1},+)psi (x_{2},t_{2},-)|nangle equiv G_{0}^{+-}(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=langle n|psi (x_{1},t_{1})psi (x_{2},t_{2})|nangle }$

${displaystyle langle n|{mathcal {T_{c}}}psi (x_{1},t_{1},-)psi (x_{2},t_{2},+)|nangle equiv G_{0}^{-+}(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=pm langle n|psi (x_{2},t_{2})psi (x_{1},t_{1})|nangle }$

${displaystyle langle n|{mathcal {T_{c}}}psi (x_{1},t_{1},-)psi (x_{2},t_{2},-)|nangle equiv G_{0}^{--}(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=langle n|{mathcal {overline {T}}}psi (x_{1},t_{1})psi (x_{2},t_{2})|nangle }$

где антивременной заказ ${displaystyle {mathcal {overline {T}}}}$ упорядочивает операторов в обратном порядке, как временное и ${displaystyle pm }$ войти ${displaystyle G_{0}^{-+}}$ для бозонных или фермионных полей. Обратите внимание, что ${displaystyle G_{0}^{--}}$ - пропагатор, используемый в обычной теории основного состояния.

Таким образом, диаграммы Фейнмана для корреляционных функций могут быть построены и их значения вычислены так же, как в теории основного состояния, за исключением следующих модификаций правил Фейнмана: каждая внутренняя вершина диаграммы помечена либо ${displaystyle +}$ или же ${displaystyle -}$, а внешние вершины помечены ${displaystyle -}$. Тогда каждое (неперенормированное) ребро, направленное из вершины ${displaystyle a}$ (с положением ${displaystyle x_{a}}$, время ${displaystyle t_{a}}$ и подписать ${displaystyle s_{a}}$) в вершину ${displaystyle b}$ (с положением ${displaystyle x_{b}}$, время ${displaystyle t_{b}}$ и подписать ${displaystyle s_{b}}$) соответствует пропагатору ${displaystyle G_{0}^{s_{a}s_{b}}(x_{a},t_{a},x_{b},t_{b})}$. Тогда значения диаграммы для каждого выбора ${displaystyle pm }$ знаки (есть ${displaystyle 2^{v}}$ такой выбор, где ${displaystyle v}$ - количество внутренних вершин) все складываются, чтобы найти общее значение диаграммы.

Формализм Ландауэра – Бюттикера – Келдыша.

Смотрите также

• Эффект спин-холла
• Кондо эффект

Рекомендации

1. Келдыш, Леонид (1965). «Диаграммная техника неравновесных процессов» (PDF). Сов. Phys. ЖЭТФ. 20: 1018.
2. Каданов, Лев; Байм, Гордон (1962). Квантовая статистическая механика. Нью-Йорк. ISBN  020141046X.
3. Каменев, Алексей (2011). Полевая теория неравновесных систем. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521760829. OCLC  721888724.
4. Зиберер, Лукас; Буххольд, М; Диль, С (2 августа 2016 г.). «Теория поля Келдыша для управляемых открытых квантовых систем». Отчеты о достижениях физики. 79: 096001. arXiv:1512.00637. Дои:10.1088/0034-4885/79/9/096001.

Другой

1. Лифшиц, Евгений Михайлович; Питаевский, Лев Петрович (1979). "Физическая кинетика". Наука, Глав. ред. физико-математической лит-ры. 10.
2. Джаухо, А.П. (5 октября 2006 г.). «Введение в технику неравновесной функции Грина Келдыша» (PDF). nanoHUB. Получено 18 июн 2018.
3. Лейк, Роджер (13 января 2018 г.). «Применение формализма Келдыша к моделированию и анализу квантовых устройств» (PDF). nanoHUB. Получено 18 июн 2018.
4. Каменев, Алексей (11 декабря 2004 г.). «Многотельная теория неравновесных систем»: cond – mat / 0412296. arXiv:cond-mat / 0412296. Bibcode:2004 второй мат. 12296K.
5. Кита, Такафуми (2010). «Введение в неравновесную статистическую механику с квантовым полем». Успехи теоретической физики. 123 (4): 581–658. arXiv:1005.0393. Bibcode:2010PThPh.123..581K. Дои:10.1143 / PTP.123.581.
6. Рындык, Д. А .; Gutiérrez, R .; Песня, B .; Куниберти, Г. (2009). "Методы зеленой функции в лечении квантового транспорта на молекулярном уровне". Динамика переноса энергии в системах биоматериалов. Springer Verlag Серия Springer по химической физике. Серия Спрингера по химической физике. 93. С. 213–335. arXiv:0805.0628. Bibcode:2009SSCP ... 93..213R. Дои:10.1007/978-3-642-02306-4_9. ISBN  9783642023057.
7. Ген, Татара; Коно, Хироши; Шибата, Джунья (2008). «Микроскопический подход к динамике доменных стенок с током». Отчеты по физике. 468 (6): 213–301. arXiv:0807.2894. Bibcode:2008ФР ... 468..213Т. Дои:10.1016 / j.physrep.2008.07.003.