Куммер поверхность - Kummer surface

3D модель куммеровой поверхности

В алгебраическая геометрия, а Куммер квартика поверхность, впервые изученный Куммер  (1864 ), является несводимый узловая поверхность степени 4 в ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ с максимально возможным количеством 16 двойных очков. Любая такая поверхность является Куммер сорт из Якобиева многообразие гладкой гиперэллиптическая кривая из род 2; т.е. фактор якобиана по инволюции Куммера Икс ↦ −Икс. Инволюция Куммера имеет 16 неподвижных точек: 16 точек 2-кручения якобиана, и они являются 16 особыми точками поверхности четвертой степени. Разрешение 16 двойных точек факторизации (возможно, неалгебраического) тора по инволюции Куммера дает K3 поверхность с 16 непересекающимися рациональными кривыми; эти K3-поверхности также иногда называют куммеровыми поверхностями.

Другие поверхности, тесно связанные с поверхностями Куммера, включают: Клиновидные поверхности, волновые поверхности, и тетраэдроиды.

Геометрия поверхности Куммера

Особые поверхности четвертой степени и модель двойной плоскости

Позволять ${\displaystyle K\subset \mathbb {P} ^{3}}$ - поверхность четвертой степени с обычной двойной точкой п, рядом с которым K выглядит как квадратный конус. Любая проективная линия через п затем встречает K с кратностью два при п, и поэтому встретит квартику K всего в двух других пунктах. Определение линий в ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ через точку п с участием ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$, получаем двойное прикрытие от взрыва K в п к ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$; эта двойная обложка дается путем отправки q ≠ п ↦ ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {pq}}}$, и любая строка в касательный конус из п в K себе. В место ветвления двойной крышки - плоская кривая C степени 6, и все узлы K которые не п сопоставить узлыC.

Посредством формула степени рода, максимально возможное количество узлов на шестнадцатеричной кривой получается, когда кривая является объединением ${\displaystyle 6}$ линий, и в этом случае у нас есть 15 узлов. Следовательно, максимальное количество узлов в квартике равно 16, и в этом случае все они являются простыми узлами (чтобы показать, что ${\displaystyle p}$ простой проект из другого узла). Квартика, которая получает эти 16 узлов, называется квартикой Куммера, и мы сконцентрируемся на них ниже.

поскольку ${\displaystyle p}$ - простой узел, касательный конус к этой точке переходит в конику под двойным покрытием. Эта коника на самом деле касается шести прямых (без доказательства). И наоборот, учитывая конфигурацию коники и шести касательных к ней на плоскости, мы можем определить двойное покрытие плоскости, разветвленное над объединением этих 6 прямых. Эта двойная крышка может быть сопоставлена ​​с ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$, под картой, которая дует двойное покрытие специальной коники и является изоморфизмом в другом месте (без доказательства).

Двойная плоскость и многообразия Куммера якобианов

Начиная с плавной кривой ${\displaystyle C}$ рода 2, мы можем отождествить якобиан ${\displaystyle Jac(C)}$с участием ${\displaystyle Pic^{2}(C)}$ под картой ${\displaystyle x\mapsto x+K_{C}}$. Теперь мы наблюдаем два факта: ${\displaystyle C}$ это гиперэллиптическая кривая карта из симметричного произведения${\displaystyle Sym^{2}C}$ к ${\displaystyle Pic^{2}C}$, определяется ${\displaystyle \{p,q\}\mapsto p+q}$, - это сдувание графика гиперэллиптической инволюции на канонический делитель класс. Более того, каноническое отображение ${\displaystyle C\to |K_{C}|^{*}}$ это двойная крышка. Отсюда получаем двойное покрытие ${\displaystyle Kum(C)\to Sym^{2}|K_{C}|^{*}}$.

Эта двойная обложка уже появлялась выше: 6 строк - это изображения нечетных симметричных тета-делители на ${\displaystyle Jac(C)}$, а коника - образ раздутого 0. Коника изоморфна канонической системе через изоморфизм ${\displaystyle T_{0}Jac(C)\cong |K_{C}|^{*}}$, и каждая из шести прямых естественно изоморфна дуальной канонической системе ${\displaystyle |K_{C}|^{*}}$ посредством идентификации тета-делителей и сдвигов кривой ${\displaystyle C}$. Между парами нечетных симметричных тэта-дивизоров и точками 2-кручения на якобиане существует соответствие 1-1, которое определяется тем фактом, что ${\displaystyle (\Theta +w_{1})\cap (\Theta +w_{2})=\{w_{1}-w_{2},0\}}$, где ${\displaystyle w_{1},w_{2}}$ являются точками Вейерштрасса (которые являются нечетными тета-характеристиками в этом роде 2). Следовательно, точки ветвления канонического отображения ${\displaystyle C\mapsto |K_{C}|^{*}}$ появляются на каждой из этих копий канонической системы как точки пересечения прямых и точки касания прямых и коники.

Наконец, поскольку мы знаем, что каждая квартика Куммера является куммеровым многообразием якобиана гиперэллиптической кривой, мы показываем, как восстановить поверхность квартики Куммера непосредственно из якобиана кривой рода 2: Якобиан ${\displaystyle C}$ карты к полному линейная система ${\displaystyle |O_{Jac(C)}(2\Theta _{C})|\cong \mathbb {P} ^{2^{2}-1}}$ (см. статью о Абелевы разновидности ). Эта карта учитывает разнообразие Куммера как карту степени 4, которая имеет 16 узлов на изображениях точек 2-кручения на ${\displaystyle Jac(C)}$.

Комплекс квадратичных прямых

Структура уровня 2

Куммера ${\displaystyle 16_{6}}$ конфигурация

Есть несколько важных моментов, которые связывают геометрические, алгебраические и комбинаторные аспекты конфигурации узлов квартиры куммера:

• Любой симметричный нечетный тета-дивизор на ${\displaystyle Jac(C)}$ задается заданными точками ${\displaystyle \{q-w|q\in C\}}$, где w - точка Вейерштрасса на ${\displaystyle C}$. Этот тета-дивизор содержит шесть точек 2-кручения: ${\displaystyle w'-w}$ такой, что ${\displaystyle w'}$ - точка Вейерштрасса.
• Два нечетных тэта-делителя, заданные точками Вейерштрасса ${\displaystyle w,w'}$ пересекаться в ${\displaystyle 0}$ и в ${\displaystyle w-w'}$.
• Перенос якобиана на две точки кручения является изоморфизмом якобиана как алгебраической поверхности, который отображает множество точек 2-кручения в себя.
• В полной линейной системе ${\displaystyle |2\Theta _{C}|}$ на ${\displaystyle Jac(C)}$, любой нечетный тэта-дивизор отображается в конику, которая является пересечением квартики Куммера с плоскостью. Более того, эта полная линейная система инвариантна относительно сдвигов на 2-точки кручения.

Следовательно, у нас есть конфигурация ${\displaystyle 16}$ коники в ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$; где каждый содержит 6 узлов, причем пересечение каждых двух проходит по 2 узлам. Эта конфигурация называется ${\displaystyle 16_{6}}$ конфигурация или Конфигурация Куммера.

Спаривание Вейля

Точки 2-кручения на абелевом многообразии допускают симплектическую билинейная форма называется парой Вейля. В случае якобианов кривых рода два каждая нетривиальная точка 2-кручения однозначно выражается как разность между двумя из шести точек Вейерштрасса кривой. Спаривание Вейля в этом случае дается формулой${\displaystyle \langle p_{1}-p_{2},p_{3}-p_{4}\rangle =\#\{p_{1},p_{2}\}\cap \{p_{3},p_{4}\}}$. Можно восстановить многие теоретико-групповые инварианты группы ${\displaystyle Sp_{4}(2)}$ через геометрию ${\displaystyle 16_{6}}$ конфигурация.

Теория групп, алгебра и геометрия

Ниже приведен список теоретико-групповых инвариантов и их геометрическое воплощение в 16₆ конфигурация.

• Полярные линии
• Аполярные комплексы
• Конфигурация Кляйна
• Фундаментальные квадрики
• Фундаментальные тетраэдры
• Тетрады Розенхайна
• Адольф Гёпель 1812-1847-е

использованная литература

• Barth, Wolf P .; Хулек, Клаус; Питерс, Крис А.М .; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные сложные поверхности, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 4, Springer-Verlag, Берлин, Дои:10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN  978-3-540-00832-3, Г-Н  2030225
• Долгачев, Игорь (2012), Классическая алгебраическая геометрия. Современный взгляд, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-1-107-01765-8, Г-Н  2964027
• Хадсон, Р. В. Х. Т. (1990), Куммера поверхность четвертой степени, Кембриджская математическая библиотека, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-39790-2, Г-Н  1097176
• Куммер, Эрнст Эдуард (1864), "Über die Flächen vierten Grades mit sechzehn singulären Punkten", Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 246–260 Печатается в (Куммер 1975 )
• Куммер, Эрнст Эдуард (1975), Сборник статей: Том 2: Теория функций, геометрия и разное, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-06836-7, Г-Н  0465761
• Войцеховский, М. (2001) [1994], "Куммер_поверхность", Энциклопедия математики, EMS Press

В этой статье использованы материалы из Citizendium статья "Куммер поверхность "под лицензией Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Непортированная лицензия но не под GFDL.