Лемер среднее - Lehmer mean

В математике Лемер среднее из кортеж ${displaystyle x}$ положительных действительные числа, названный в честь Деррик Генри Лемер,^[1] определяется как:

${displaystyle L_{p}(mathbf {x} )={frac {sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p}}{sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p-1}}}.}$

В взвешенное среднее по Лемеру по набору ${displaystyle w}$ положительных весов определяется как:

${displaystyle L_{p,w}(mathbf {x} )={frac {sum _{k=1}^{n}w_{k}cdot x_{k}^{p}}{sum _{k=1}^{n}w_{k}cdot x_{k}^{p-1}}}.}$

Среднее значение Лемера - альтернатива силовые средства за интерполирующий между минимум и максимум через среднее арифметическое и гармоническое среднее.

Характеристики

Производная от ${displaystyle pmapsto L_{p}(mathbf {x} )}$ неотрицательный

${displaystyle {frac {partial }{partial p}}L_{p}(mathbf {x} )={frac {left(sum _{j=1}^{n}sum _{k=j+1}^{n}left[x_{j}-x_{k}ight]cdot left[ln(x_{j})-ln(x_{k})ight]cdot left[x_{j}cdot x_{k}ight]^{p-1}ight)}{left(sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p-1}ight)^{2}}},}$

таким образом, эта функция монотонна и неравенство

${displaystyle pleq qLongrightarrow L_{p}(mathbf {x} )leq L_{q}(mathbf {x} )}$

держит.

Производная взвешенного среднего по Лемеру:

${displaystyle {frac {partial L_{p,w}(mathbf {x} )}{partial p}}={frac {(sum wx^{p-1})(sum wx^{p}ln {x})-(sum wx^{p})(sum wx^{p-1}ln {x})}{(sum wx^{p-1})^{2}}}}$

Особые случаи

• ${displaystyle lim _{p o -infty }L_{p}(mathbf {x} )}$ это минимум элементов ${displaystyle mathbf {x} }$.
• ${displaystyle L_{0}(mathbf {x} )}$ это гармоническое среднее.
• ${displaystyle L_{frac {1}{2}}left((x_{0},x_{1})ight)}$ это среднее геометрическое двух ценностей ${displaystyle x_{0}}$ и ${displaystyle x_{1}}$.
• ${displaystyle L_{1}(mathbf {x} )}$ это среднее арифметическое.
• ${displaystyle L_{2}(mathbf {x} )}$ это контргармоническое среднее.
• ${displaystyle lim _{p o infty }L_{p}(mathbf {x} )}$ это максимум элементов ${displaystyle mathbf {x} }$.

Эскиз доказательства: Не теряя общий смысл позволять ${displaystyle x_{1},dots ,x_{k}}$ быть значениями, которые равны максимуму. потом ${displaystyle L_{p}(mathbf {x} )=x_{1}cdot {frac {k+left({frac {x_{k+1}}{x_{1}}}ight)^{p}+cdots +left({frac {x_{n}}{x_{1}}}ight)^{p}}{k+left({frac {x_{k+1}}{x_{1}}}ight)^{p-1}+cdots +left({frac {x_{n}}{x_{1}}}ight)^{p-1}}}}$

Приложения

Обработка сигналов

Как среднее значение мощности, среднее Лемера служит нелинейному скользящая средняя который смещен в сторону малых значений сигнала при малых ${displaystyle p}$ и подчеркивает большие значения сигнала для больших ${displaystyle p}$. При эффективной реализации скользящее среднее арифметическое называется гладкий вы можете реализовать скользящее среднее Лемера согласно следующему Haskell код.

 лемер :: Плавающий а => ([а] -> [а]) -> а -> [а] -> [а] лемер гладкий п хз = zipWith (/)                                     (гладкий (карта (**п) хз))                                     (гладкий (карта (**(п-1)) хз))

• Для больших ${displaystyle p}$ он может служить детектор конверта на исправленный сигнал.
• Для малых ${displaystyle p}$ он может служить базовый детектор на масс-спектр.

Гонсалес и Вудс называют это «контргармоническим средним». фильтр "описаны для различных значений п (однако, как и выше, контргармоническое среднее может относиться к конкретному случаю ${displaystyle p=2}$). Их соглашение - заменить п с порядком фильтра Q:

${displaystyle f(x)={frac {sum _{k=1}^{n}x_{k}^{Q+1}}{sum _{k=1}^{n}x_{k}^{Q}}}.}$

Q= 0 - среднее арифметическое. Положительный Q может уменьшить перец шум и отрицательный Q может уменьшить соляной шум.^[2]

Смотрите также

• Иметь в виду
• Средняя мощность

Примечания

1. П. С. Буллен. Справочник средств и их неравенства. Спрингер, 1987.
2. Gonzalez, Rafael C .; Вудс, Ричард Э. (2008). «Глава 5 Восстановление и реконструкция изображения». Цифровая обработка изображений (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN  9780131687288.

внешняя ссылка

• Lehmer Mean в MathWorld