Леви-Чивита параллелограммоид - Levi-Civita parallelogramoid

Параллелограмоид Леви-Чивиты

в математический поле дифференциальная геометрия, то Леви-Чивита параллелограммоид это четырехугольник в искривленное пространство конструкция которого обобщает конструкцию параллелограмм в Евклидова плоскость. Он назван в честь его первооткрывателя, Туллио Леви-Чивита. Как параллелограмм, две противоположные стороны AA' и BB′ Параллелограмоида параллельны (через параллельный транспорт вдоль стороны AB) и одинаковой длины, но четвертая сторона А′B'Обычно не будет параллельна стороне AB, хотя будет прям (а геодезический ).

Строительство

Параллелограмм в Евклидова геометрия можно построить следующим образом:

• Начните с отрезка прямой AB и еще один отрезок прямой AA′.
• Сдвиньте сегмент AA' вдоль AB до конечной точки B, сохраняя угол с AB постоянным и оставаясь в той же плоскости, что и точки А, А', и B.
• Обозначьте конечную точку полученного сегмента B′ Так что отрезок BB′.
• Проведите прямую линию А′B′.

В искривленном пространстве, например Риманово многообразие или, в более общем смысле, любой коллектор, оборудованный аффинная связь понятие "прямая линия" обобщается на понятие геодезический. В подходящем район (например, мяч в нормальная система координат ) любые две точки можно соединить геодезической. Идея скольжения одной прямой по другой уступает место более общему понятию параллельный транспорт. Таким образом, если предположить, что многообразие полный, или что строительство происходит в подходящей окрестности, шаги для создания параллелограмма Леви-Чивиты следующие:

• Начните с геодезической AB и еще геодезический AA′. Предполагается, что эти геодезические параметризованы их длина дуги в случае риманова многообразия, или нести выбор аффинный параметр в общем случае аффинной связности.
• "Горка" (параллельный транспорт ) касательный вектор из AA' из А к B.
• Результирующий касательный вектор в точке B генерирует геодезическую через экспоненциальная карта. Обозначьте конечную точку этой геодезической B′, А сама геодезическая BB′.
• Соедините точки А' и B′ По геодезической А′B′.

Количественная оценка отличия от параллелограмма

Длина этой последней геодезической, построенной, соединяя оставшиеся точки А′B'Может в целом отличаться от длины основания AB. Эта разница измеряется Тензор кривизны Римана. Чтобы точно указать отношения, пусть AA′ - экспонента касательного вектора Икс в А, и AB экспонента касательного вектора Y в А. потом

${displaystyle |A'B'|^{2}=|AB|^{2}+{frac {8}{3}}langle R(X,Y)X,Yangle +{ ext{higher order terms}}}$

где члены более высокого порядка по длине сторон параллелограмма опущены.

Дискретное приближение

Две ступени Лестница Шильда. Сегменты А₁Икс₁ и А₂Икс₂ являются приближением к первому порядку параллельный транспорт из А₀Икс₀ по кривой.

Параллельный транспорт можно дискретно аппроксимировать Лестница Шильда, который аппроксимирует параллелограммы Леви-Чивиты приближенными параллелограммами.

Рекомендации

• Картан, Эли (1983), Геометрия римановых пространств, Math Sci Press, Массачусетс