Нормальные координаты - Normal coordinates

В дифференциальная геометрия, нормальные координаты в какой-то момент п в дифференцируемое многообразие оснащен симметричный аффинная связь площадь местная система координат в окрестности из п полученный путем применения экспоненциальная карта к касательное пространство в п. В нормальной системе координат Символы Кристоффеля связи исчезают в точке п, что часто упрощает локальные расчеты. В нормальных координатах, связанных с Леви-Чивита связь из Риманово многообразие, можно дополнительно сделать так, чтобы метрический тензор это Дельта Кронекера в момент п, и что первый частные производные метрики на п исчезнуть.

Основной результат дифференциальной геометрии утверждает, что нормальные координаты в точке всегда существуют на многообразии с симметричной аффинной связностью. В таких координатах ковариантная производная сводится к частной производной (при п только), а геодезические - через п являются локально линейными функциями т (аффинный параметр). Эта идея была фундаментально реализована Альберт Эйнштейн в общая теория относительности: the принцип эквивалентности использует нормальные координаты через инерциальные системы отсчета. Нормальные координаты всегда существуют для связности Леви-Чивиты риманова или Псевдориманова многообразие. Напротив, в общем случае нет возможности определить нормальные координаты для Финслеровы многообразия таким образом, что экспоненциальное отображение дважды дифференцируемо (Буземан 1955 ).

Геодезические нормальные координаты

Геодезические нормальные координаты - это локальные координаты на многообразии с аффинной связностью, определяемые с помощью экспоненциальная карта

${displaystyle exp _ {p}: T_ {p} Msupset Vightarrow M}$

и изоморфизм

${displaystyle E: mathbb {R} ^ {n} ightarrow T_ {p} M}$

дано любым основа касательного пространства в фиксированной базовой точке п ∈ M. Если наложена дополнительная структура римановой метрики, то базис, определяемый формулой E может потребоваться в дополнение к ортонормированный, и получившаяся система координат известна как Риманова нормальная система координат.

Нормальные координаты существуют в нормальной окрестности точки п в M. А нормальный район U это подмножество M такая, что есть подходящая окрестность V происхождения в касательное пространство Т_пM, и exp_п действует как диффеоморфизм между U и V. О нормальном районе U из п в M, график представлен:

${displaystyle varphi: = E ^ {- 1} circ exp _ {p} ^ {- 1}: Uightarrow mathbb {R} ^ {n}}$

Изоморфизм E может быть любым изоморфизмом между двумя векторными пространствами, поэтому существует столько диаграмм, сколько существует различных ортонормированных базисов в области E.

Характеристики

Свойства нормальных координат часто упрощают вычисления. Далее предположим, что ${displaystyle U}$ нормальная окрестность с центром в точке ${displaystyle p}$ в ${displaystyle M}$ и ${displaystyle x ^ {i}}$ нормальные координаты на ${displaystyle U}$ .

Позволять ${displaystyle V}$ быть каким-то вектором из ${displaystyle T_ {p} M}$ с компонентами ${displaystyle V ^ {i}}$ в местных координатах, и ${displaystyle gamma _ {V}}$ быть геодезический в ${displaystyle t = 0}$ пройти через точку ${displaystyle p}$ с вектором скорости ${displaystyle V}$ , тогда ${displaystyle gamma _ {V}}$ представлен в нормальных координатах как ${displaystyle gamma _ {V} (t) = (tV ^ {1}, ..., tV ^ {n})}$ пока это в ${displaystyle U}$ .
Координаты точки ${displaystyle p}$ находятся ${displaystyle (0, ..., 0)}$
В римановых нормальных координатах в точке ${displaystyle p}$ компоненты Риманова метрика ${displaystyle g_ {ij}}$ упростить до ${displaystyle delta _ {ij}}$ , т.е. ${displaystyle g_ {ij} (p) = delta _ {ij}}$ .
В Символы Кристоффеля исчезнуть в ${displaystyle p}$ , т.е. ${displaystyle Gamma _ {ij} ^ {k} (p) = 0}$ . В римановом случае, первые частные производные от ${displaystyle g_ {ij}}$ , т.е. ${displaystyle {frac {partial g_ {ij}} {partial x ^ {k}}} (p) = 0,, forall i, j, k}$ .

Явные формулы

В окрестностях любой точки ${displaystyle p = (0, ldots 0)}$ снабжена локальной ортонормированной системой координат, в которой ${displaystyle g_ {mu u} (0) = delta _ {mu u}}$ и тензор Римана при ${displaystyle p}$ принимает значение ${displaystyle R_ {mu sigma u au} (0)}$ мы можем настроить координаты ${displaystyle x ^ {mu}}$ так что компоненты метрического тензора вдали от ${displaystyle p}$ становиться

${displaystyle g_ {mu u} (x) = delta _ {mu u} - {frac {1} {3}} R_ {mu sigma u au} (0) x ^ {sigma} x ^ {au} + O ( | x | ^ {3}).}$

Соответствующие символы Кристоффеля связи Леви-Чивиты:

${displaystyle {Gamma ^ {lambda}} _ {mu u} (x) = - {frac {1} {3}} (R_ {lambda u mu au} (0) + R_ {lambda mu u au} (0) ) x ^ {au} + O (| x | ^ {2}).}$

Аналогичным образом мы можем построить локальные каркасы, в которых

${displaystyle e_ {mu} ^ {* a} (x) = delta _ {amu} - {frac {1} {6}} R_ {asigma mu au} (0) x ^ {sigma} x ^ {au} + O (х ^ {2}),}$

а коэффициенты спиновой связи принимают значения

${displaystyle {omega ^ {a}} _ {bmu} (x) = - {frac {1} {2}} {R ^ {a}} _ {bmu au} (0) x ^ {au} + O ( | x | ^ {2}).}$

Полярные координаты

На римановом многообразии нормальная система координат в точке п способствует внедрению системы сферические координаты, известный как полярные координаты. Это координаты на M полученная введением стандартной сферической системы координат в евклидовом пространстве Т_пM. То есть вводится на Т_пM стандартная сферическая система координат (р, φ) где р ≥ 0 - радиальный параметр, φ = (φ₁, ..., φ_п−1) является параметризацией (п−1) -сфера. Состав (р, φ) с обратным экспоненциальному отображению в точке п - полярная система координат.

Полярные координаты предоставляют ряд фундаментальных инструментов римановой геометрии. Радиальная координата является наиболее важной: геометрически она представляет собой геодезическое расстояние до п ближайших точек. Лемма Гаусса утверждает, что градиент из р это просто частная производная ${displaystyle partial / partial r}$ . Это,

{displaystyle langle df, drangle = {frac {partial f} {partial r}}}

для любой гладкой функции ƒ. В результате метрика в полярных координатах принимает диагональ блока форма

{displaystyle g = {egin {bmatrix} 1 & 0 & cdots 0 0 && vdots && g_ {phi phi} (r, phi) 0 && end {bmatrix}}.}

использованная литература

Буземан, Герберт (1955), "О нормальных координатах в финслеровых пространствах", Mathematische Annalen, 129: 417–423, Дои:10.1007 / BF01362381, ISSN 0025-5831, Г-Н 0071075.
Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, Vol. 1 (Новое изд.), Wiley Interscience, ISBN 0-471-15733-3.
Черн, С. С .; Chen, W. H .; Lam, K. S .; Лекции по дифференциальной геометрии, World Scientific, 2000