Формула Лихнеровича - Lichnerowicz formula

В Формула Лихнеровича (также известный как Формула Лихнеровича – Вайтценбека) является фундаментальным уравнением при анализе спиноры на псевдоримановы многообразия. В измерении 4 он образует кусок Теория Зайберга – Виттена и другие аспекты калибровочная теория. Он назван в честь известных математиков. Андре Лихнерович кто доказал это в 1963 году, и Роланд Вайтценбёк. Формула дает соотношение между Оператор Дирака и Оператор Лапласа – Бельтрами действующие на спиноры, в которых скалярная кривизна появляется естественным образом. Результат важен, потому что он обеспечивает интерфейс между результатами исследования эллиптические уравнения в частных производных, результаты о скалярной кривизне и результаты о спинорах и спиновых структурах.

Учитывая спиновая структура на псевдоримановом многообразии M и спинорный пучок Sформула Лихнеровича утверждает, что на раздел ψ из S,

${displaystyle D^{2}psi =abla ^{*}abla psi +{frac {1}{4}}operatorname {Sc} psi }$

где Sc обозначает скалярная кривизна и ${displaystyle abla ^{*}abla }$ это связь лапласиана. В более общем плане, учитывая сложная спиновая структура на псевдоримановом многообразии M, а спинорный пучок W^± с разделом ${displaystyle phi }$, и связь А на его детерминантный линейный пучок L, формула Лихнеровича имеет вид

${displaystyle D_{A}^{*}D_{A}phi =abla _{A}^{*}abla _{A}phi +{frac {1}{4}}Rphi +{frac {1}{2}}langle F_{A}^{+},phi angle .}$

Вот, ${displaystyle D_{A}}$ это Оператор Дирака ${displaystyle D_{A}:Gamma (W^{+}) o Gamma (W^{-}),}$ и ${displaystyle abla _{A}}$ это ковариантная производная связанный с связь А, ${displaystyle abla _{A}:Gamma (W^{+}) o Gamma (W^{+}otimes T_{M}^{*})}$. ${displaystyle R}$ - обычная скалярная кривизна (сжатие Тензор Риччи ) и ${displaystyle F_{A}^{+}}$ это самодвойственный часть кривизны A. Звездочки обозначают сопряженное к величине и скобкам ${displaystyle langle ,angle }$ обозначить Клиффорд действие.

См. Также1

• Формула Вайтценбека

использованная литература

• Лихнерович, А. (1963), "Гармоники спинеров", C. R. Acad. Sci. Париж, 257: 7–9
• Лоусон, Х. Блейн; Мишельсон, Мария-Луиза (1989), Спиновая геометрия, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08542-5
• ЛеБрун, Клод (2002), Метрики Эйнштейна, 4-многообразия и дифференциальная топология
• Скорпан, Александру (2005), Дикий мир 4-многообразий, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество