Формула произведения Ли - Lie product formula

В математика, то Формула произведения Ли, названный в честь Софус Ли (1875 г.), но также широко называемый Формула продукта Trotter,^[1] заявляет, что для произвольных п × п настоящий или сложный матрицы А и B,^[2]

{displaystyle e ^ {A + B} = lim _ {Nightarrow infty} (e ^ {A / N} e ^ {B / N}) ^ {N},}

где е^А обозначает матричная экспонента из А. В Формула произведения Ли – Троттера (Рысак 1959 ) и Теорема Троттера – Като (Като 1978 ) распространяют это на некоторые неограниченные линейные операторы А и B.^[3]

Эта формула является аналогом классического экспоненциального закона

{displaystyle e ^ {x + y} = e ^ {x} e ^ {y},}

что справедливо для всех действительных или комплексных чисел Икс и y. Если Икс и y заменяются матрицами А и B, а экспоненциальный заменен на матричная экспонента, это обычно необходимо для А и B добираться до закона. Однако формула произведения Ли верна для всех матриц А и B, даже те, которые не ездят на работу.

Формула произведения Ли концептуально связана с Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа в том, что оба являются заменой в контексте некоммутирующих операторов классического экспоненциального закона ${displaystyle e ^ {x + y} = e ^ {x} e ^ {y},}$ .

У формулы есть приложения, например, в формулировка интеграла по путям квантовой механики. Это позволяет отделить Оператор эволюции Шредингера на чередующиеся приращения кинетических и потенциальных операторов. Та же идея используется при построении методы расщепления для численного решения дифференциальные уравнения. Более того, теоремы Ли о произведении достаточно для доказательства Формула Фейнмана – Каца.

Теорема Троттера – Като может быть использована для аппроксимации линейных C₀-полугруппы.^[4]

Смотрите также

Прореживание блоков с течением времени

использованная литература

^ Джоэл Э. Коэн; Шмуэль Фридланд; Тосио Като; Ф. П. Келли (1982). «Неравенства собственных значений для произведений матричных экспонент» (PDF). Линейная алгебра и ее приложения. 45: 55–95. Дои:10.1016/0024-3795(82)90211-7.
^ Зал 2015 Теорема 2.11.
^ Зал 2013 Теорема 20.1.
^ Ито, Кадзуфуми; Каппель, Франц (1998). "Теорема Троттера-Като и приближение частных дифференциальных уравнений". Математика вычислений. 67 (221): 21–44. JSTOR 2584971.

Софус Ли и Фридрих Энгель (1888, 1890, 1893). Theorie der Transformationsgruppen (1-е издание, Лейпциг; 2-е издание, AMS Chelsea Publishing, 1970) ISBN 0828402329
Альбеверио, Серджио А .; Høegh-Krohn, Рафаэль Дж. (1976), Математическая теория интегралов по траекториям Фейнмана: введение, Конспект лекций по математике, 423 (1-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0079827, HDL:10852/44049, ISBN 978-3-540-07785-5.
Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков, Тексты для выпускников по математике, 267, Спрингер, ISBN 978-1461471158
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-40122-5
«Формула продукта рысака», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Като, Тосио (1978), "Формула произведения Троттера для произвольной пары самосопряженных полугрупп сжатия", Темы функционального анализа (очерки, посвященные М. Г. Крейну к 70-летию со дня рождения), Adv. по математике. Дополнение Stud., 3, Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, стр. 185–195, Г-Н 0538020
Троттер, Х.Ф. (1959), «О произведении полугрупп операторов», Труды Американского математического общества, 10 (4): 545–551, Дои:10.2307/2033649, ISSN 0002-9939, JSTOR 2033649, Г-Н 0108732
Джоэл Э. Коэн; Шмуэль Фридланд; Тосио Като; Ф. П. Келли (1982), «Неравенства собственных значений для произведений матричных экспонент» (PDF), Линейная алгебра и ее приложения, 45: 55–95, Дои:10.1016/0024-3795(82)90211-7
Варадараджан, В. (1984), Группы Ли, алгебры Ли и их представления, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90969-1, стр.99.
Сузуки, Масуо (1976). «Обобщенная формула Троттера и систематические аппроксимации экспоненциальных операторов и внутренних производных с приложениями к задачам многих тел». Comm. Математика. Phys. 51 (2): 183–190. Дои:10.1007 / bf01609348. S2CID 121900332.

[CFKK-1] Джоэл Э. Коэн; Шмуэль Фридланд; Тосио Като; Ф. П. Келли (1982). «Неравенства собственных значений для произведений матричных экспонент» (PDF). Линейная алгебра и ее приложения. 45: 55–95. Дои:10.1016/0024-3795(82)90211-7.

[2] Зал 2015 Теорема 2.11.

[3] Зал 2013 Теорема 20.1.

[4] Ито, Кадзуфуми; Каппель, Франц (1998). "Теорема Троттера-Като и приближение частных дифференциальных уравнений". Математика вычислений. 67 (221): 21–44. JSTOR 2584971.

[1]

[2]

[3]

[4]