Модель Либа – Линигера - Lieb–Liniger model

В Модель Либа – Линигера описывает газ частиц, движущихся в одном измерении и удовлетворяющих Статистика Бозе – Эйнштейна.

Введение

Модель газа частиц, движущихся в одном измерении и удовлетворяющих условиям Статистика Бозе – Эйнштейна был представлен в 1963 году ^[1][2] чтобы изучить, соответствуют ли имеющиеся приближенные теории таких газов, в частности теория Боголюбова, реальным свойствам модельного газа. Модель основана на хорошо определенном гамильтониане Шредингера для частиц, взаимодействующих друг с другом через двухчастичный потенциал, и все собственные функции и собственные значения этого гамильтониана, в принципе, могут быть точно вычислены. Иногда его называют одномерным Бозе-газ с дельта-взаимодействием. Его также можно рассматривать как квантовую нелинейное уравнение Шредингера.

Основное состояние, а также низколежащие возбужденные состояния были вычислены и оказались в согласии с теорией Боголюбова, когда потенциал мал, за исключением того факта, что на самом деле существует два типа элементарных возбуждений вместо одного, как предсказал Боголюбов. и другие теории.

Эта модель представляла только академический интерес до тех пор, пока с помощью сложных экспериментальных методов, разработанных в первом десятилетии 21 века, не стало возможным производить такой газ, используя реальные атомы в качестве частиц.

Определение и решение модели

Есть ${\displaystyle N}$ частицы с координатами ${\displaystyle x}$ на линии ${\displaystyle [0,L]}$, с периодическими граничными условиями. Таким образом, разрешенная волновая функция ${\displaystyle \psi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{j},\dots ,x_{N})}$ симметрична, т.е. ${\displaystyle \psi (\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots )=\psi (\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots )}$ для всех ${\displaystyle i\neq j}$ и ${\displaystyle \psi }$ удовлетворяет ${\displaystyle \psi (\dots ,x_{j}=0,\dots )=\psi (\dots ,x_{j}=L,\dots )}$ для всех ${\displaystyle j}$. Гамильтониан в соответствующих единицах равен

${\displaystyle H=-\sum \nolimits _{j=1}^{N}\partial ^{2}/\partial x_{j}^{2}+2c\sum \nolimits _{1\leq i<j\leq N}\delta (x_{i}-x_{j})\ ,}$

где ${\displaystyle \delta }$ это Дельта-функция Дирака, т.е. взаимодействие является контактным. Постоянная ${\displaystyle c\geq 0}$ обозначает его силу. Дельта-функция порождает граничное условие, когда две координаты, скажем, ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ равны; это условие состоит в том, что как ${\displaystyle x_{2}\searrow x_{1}}$, производная удовлетворяет ${\displaystyle ({\frac {\partial }{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}})\psi (x_{1},x_{2})|_{x_{2}=x_{1}+}=c\psi (x_{1}=x_{2})}$. Предел жесткого ядра ${\displaystyle c=\infty }$ известен как Газ Тонкс – Жирардо.^[3]

Уравнение Шредингера, не зависящее от времени, ${\displaystyle H\psi =E\psi }$ решается явным построением ${\displaystyle \psi }$. поскольку ${\displaystyle \psi }$ симметричен, он полностью определяется своими значениями в симплексе ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$, определяемый условием, что ${\displaystyle 0\leq x_{1}\leq x_{2}\leq \dots ,\leq x_{N}\leq L}$. В этом регионе ищут ${\displaystyle \psi }$ формы, рассмотренной Х.А. Бете в 1931 году в контексте магнитных спиновых систем - Бете анзац. То есть для некоторых реальных чисел ${\displaystyle k_{1}<k_{2}<\cdots <k_{N}}$, быть определенным,

${\displaystyle \psi (x_{1},\dots ,x_{N})=\sum _{P}a(P)\exp \left(i\sum _{j=1}^{N}k_{Pj}x_{j}\right)}$

где сумма по всем ${\displaystyle N!}$ перестановки, ${\displaystyle P}$, целых чисел ${\displaystyle 1,2,\dots ,N}$, и ${\displaystyle P}$ карты ${\displaystyle 1,2,\dots ,N}$ к ${\displaystyle P1,P2,\dots ,PN}$. Коэффициенты ${\displaystyle a(P)}$, так же хорошо как ${\displaystyle k}$определяются условием ${\displaystyle H\psi =E\psi }$, и это приводит к

${\displaystyle E=\sum \nolimits _{j=1}^{N}\,k_{j}^{2}}$

${\displaystyle a(P)=\prod \nolimits _{1\leq i<j\leq N}\left(1+{\frac {ic}{k_{Pi}-k_{Pj}}}\right)\ .}$

Дорлас (1993) доказали, что все собственные функции ${\displaystyle H}$ имеют эту форму.^[4]

Эти уравнения определяют ${\displaystyle \psi }$ с точки зрения ${\displaystyle k}$, которые, в свою очередь, определяются периодическими граничными условиями. Это приводит к ${\displaystyle N}$ уравнения:

${\displaystyle L\,k_{j}=2\pi I_{j}\ -2\sum \nolimits _{i=1}^{N}\arctan \left({\frac {k_{j}-k_{i}}{c}}\right)\qquad \qquad {\text{for }}j=1,\,\dots ,\,N\ ,}$

где ${\displaystyle I_{1}<I_{2}<\cdots <I_{N}}$ целые числа, когда ${\displaystyle N}$ странно и, когда ${\displaystyle N}$ четные, они принимают значения ${\displaystyle \pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {3}{2}},\dots }$ . Для основного состояния ${\displaystyle I}$удовлетворяет

${\displaystyle I_{j+1}-I_{j}=1,\quad {\rm {for}}\ 1\leq j<N\qquad {\text{and }}I_{1}=-I_{N}.\,}$

Первый вид элементарного возбуждения состоит в выборе ${\displaystyle I_{1},\dots ,I_{N-1}}$ как и раньше, но увеличивается ${\displaystyle I_{N}}$ на сумму ${\displaystyle n>0}$ (или уменьшение ${\displaystyle I_{1}}$ от ${\displaystyle n}$). Импульс этого состояния равен ${\displaystyle p=2\pi n/L}$ (или ${\displaystyle -2\pi n/L}$).

Для второго типа выберите несколько ${\displaystyle 0<n\leq N/2}$ и увеличить ${\displaystyle I_{i}\to I_{i}+1}$ для всех ${\displaystyle i\geq n}$. Импульс этого состояния равен ${\displaystyle p=\pi -2\pi n/L}$. Аналогично есть состояние с ${\displaystyle p=-\pi +2\pi n/L}$. Импульс такого возбуждения ограничен ${\displaystyle |p|\leq \pi .}$

Эти возбуждения можно сочетать и повторять много раз. Таким образом, они подобны бозону. Если обозначить энергию основного состояния (= самую низкую) как ${\displaystyle E_{0}}$ а энергии состояний, упомянутых выше, - ${\displaystyle E_{1,2}(p)}$ тогда ${\displaystyle \epsilon _{1}(p)=E_{1}(p)-E_{0}}$ и ${\displaystyle \epsilon _{2}(p)=E_{2}(p)-E_{0}}$ - энергии возбуждения двух мод.

Термодинамический предел

Рис. 1: Энергия основного состояния, от.^[1] См. Текст.

Чтобы обсудить газ, мы берем предел ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle L}$ к бесконечности с плотностью ${\displaystyle \rho =N/L}$ исправлено. Энергия основного состояния на частицу ${\displaystyle e={\frac {E_{0}}{N\rho ^{2}}}}$, а${\displaystyle \epsilon _{1,2}(p)}$ у всех есть ограничения как ${\displaystyle N\to \infty }$. Хотя есть два параметра, ${\displaystyle \rho }$ и${\displaystyle c}$, простое масштабирование длины ${\displaystyle x\to \rho x}$ показывает, что на самом деле существует только один, а именно ${\displaystyle \gamma =c/\rho }$.

Оценить ${\displaystyle E_{0}}$ мы предполагаем, что N ${\displaystyle k}$ложь между числами ${\displaystyle K}$ и${\displaystyle -K}$, подлежит определению, и с плотностью ${\displaystyle L\,f(k)}$. Эта ${\displaystyle f}$ удовлетворяет уравнению (в интервале ${\displaystyle -K\leq k\leq K}$)

${\displaystyle 2c\int \nolimits _{-K}^{K}{\frac {f(p)}{c^{2}+(p-k)^{2}}}dp=2\pi f(k)-1\quad {\rm {and}}\quad \int \nolimits _{-K}^{K}f(p)dp=\rho \ ,}$

который имеет единственное положительное решение. Возбуждение искажает эту плотность ${\displaystyle f}$ и подобные интегральные уравнения определяют эти искажения. Энергия основного состояния на частицу определяется выражением

${\displaystyle e={\frac {1}{\rho ^{3}}}\int \nolimits _{-K}^{K}k^{2}f(k)dk.}$

На рисунке 1 показано, как ${\displaystyle e}$ зависит от ${\displaystyle \gamma }$ а также показывает приближение Боголюбова к${\displaystyle e}$. Последний асимптотически точен до второго порядка по ${\displaystyle \gamma }$, а именно ${\displaystyle e\approx \gamma -4\gamma ^{3/2}/(3\pi )}$. В ${\displaystyle \gamma =\infty }$, ${\displaystyle e=\pi ^{2}/3}$.

Рис. 2: Энергии двух типов возбуждений, от.^[2] См. Текст.

На рис.2 показаны две энергии возбуждения${\displaystyle \epsilon _{1}(p)}$ и ${\displaystyle \epsilon _{2}(p)}$ за небольшую стоимость ${\displaystyle \gamma =0.787}$. Две кривые аналогичны этим для всех значений ${\displaystyle \gamma >0}$, но приближение Боголюбова (штриховая линия) ухудшается при ${\displaystyle \gamma }$ увеличивается.

От трех до одного измерения.

Этот одномерный газ можно создать, используя в качестве частиц реальные трехмерные атомы. Можно математически доказать из уравнения Шредингера для трехмерных частиц в длинном цилиндрическом контейнере, что состояния с низкой энергией описываются одномерной моделью Либа – Линигера. Это было сделано для основного состояния^[5] и для возбужденных состояний.^[6] Цилиндр делает не должен быть узким, как диаметр атома; он может быть намного шире, если энергия возбуждения в направлении, перпендикулярном оси, велика по сравнению с энергией, приходящейся на одну частицу ${\displaystyle e}$.

использованная литература

1. Эллиотт Х. Либ и Вернер Линигер, Точный анализ взаимодействующего бозе-газа. I. Общее решение и основное состояние, Physical Review 130: 1605–1616, 1963.
2. Эллиотт Х. Либ, Точный анализ взаимодействующего бозе-газа. II. Спектр возбуждения, Physical Review 130: 1616–1624,1963
3. Жирардо, Марвин (1960). «Связь между системами непроницаемых бозонов и фермионов в одном измерении». Журнал математической физики. 1 (6): 516–523. Bibcode:1960JMP ..... 1..516G. Дои:10.1063/1.1703687.
4. Дорлас, Теунис К. (1993). «Ортогональность и полнота собственных состояний анзаца Бете нелинейной модели Шредингера». Коммуникации по математической физике. 154 (2): 347–376. Bibcode:1993CMaPh.154..347D. Дои:10.1007 / BF02097001. S2CID  122730941.
5. Lieb, Elliott H .; Сейринджер, Роберт; Ингвасон, Якоб (2003). «Одномерные бозоны в трехмерных ловушках». Письма с физическими проверками. 91 (15): 150401. arXiv:cond-mat / 0304071. Bibcode:2003PhRvL..91o0401L. Дои:10.1103 / PhysRevLett.91.150401. PMID  14611451. S2CID  5303148.
6. Сейринджер, Роберт; Инь, июнь (2008). «Модель Либа – Линигера как предел разбавленных бозонов в трех измерениях». Коммуникации по математической физике. 284 (2): 459–479. arXiv:0709.4022. Bibcode:2008CMaPh.284..459S. Дои:10.1007 / s00220-008-0521-6. S2CID  115173378.

внешние ссылки

• См. Также Эллиотт Х. Либ (2008), Scholarpedia, 3 (12): 8712.[1]