Линейная система коников - Linear system of conics - Wikipedia

В алгебраическая геометрия, то конические секции в проективной плоскости образуют линейная система размерности пять, как можно увидеть, посчитав константы степени два уравнения. Условие прохождения через заданную точку п накладывает одно линейное условие, так что коники C через п образуют линейную систему размерности 4. Другие типы условий, которые представляют интерес, включают касание к заданной линии.L.

В самых элементарных трактовках линейная система появляется в виде уравнений

${\displaystyle \lambda C+\mu C'=0\ }$

с неизвестными скалярами λ и μ, не равными нулю. Здесь C и C ′ даны коники. Абстрактно можно сказать, что это проективная линия в пространстве всех коник, на которых мы берем

${\displaystyle [\lambda :\mu ]\ }$

в качестве однородные координаты. Геометрически мы замечаем, что любая точка Q общий для C и C ′ также находится на каждой из коник линейной системы. В соответствии с Теорема Безу C и C ′ пересечется в четырех точках (при правильном подсчете). Предполагая, что они находятся в общая позиция, т.е. четыре различных пересечения, мы получаем другую интерпретацию линейной системы как коники, проходящие через четыре заданные точки (обратите внимание, что коразмерность четыре здесь соответствует измерению один в пятимерном пространстве коник). Обратите внимание, что из этих коник ровно три являются выродиться, каждая из которых состоит из пары линий, соответствующих ${\displaystyle \textstyle {{\binom {4}{2,2}}/2=3}}$ способы выбора 2 пар баллов из 4 баллов (считая через полиномиальный коэффициент, а с учетом перерасчета в 2 раза ${\displaystyle \textstyle {\binom {4}{2}}}$ делает, когда заинтересован в подсчете пары пар а не только выборки размера 2).

Приложения

Яркое применение такого семейства - в (Смеситель 1996 ) что дает геометрическое решение уравнения четвертой степени рассмотрев пучок коник через четыре корня квартики и отождествив три вырожденных коники с тремя корнями резольвентная кубическая.

Пример

Внешнее видео
Тип I линейная система, (Коффман ).

Например, учитывая четыре балла ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1),}$ проходящий через них пучок коник можно параметризовать как ${\displaystyle ax^{2}+(1-a)y^{2}=1,}$ которые являются аффинные комбинации уравнений ${\displaystyle x^{2}=1}$ и ${\displaystyle y^{2}=1,}$ соответствующие параллельным вертикальным и горизонтальным линиям; это дает вырожденные коники в стандартных точках ${\displaystyle 0,1,\infty .}$ Менее элегантная, но более симметричная параметризация дается формулой ${\displaystyle (1+a)x^{2}+(1-a)y^{2}=2,}$ в этом случае инвертирование а (${\displaystyle a\mapsto -a}$) развязки Икс и у, давая следующий карандаш; во всех случаях центр находится в начале координат:

• ${\displaystyle a>1:}$ гиперболы, открывающиеся вправо и влево;
• ${\displaystyle a=1:}$ параллельные вертикальные линии ${\displaystyle x=-1,x=1;}$

(точка пересечения на [1: 0: 0])

• ${\displaystyle 0<a<1:}$ эллипсы с большой вертикальной осью;
• ${\displaystyle a=0:}$ круг (с радиусом ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$);
• ${\displaystyle -1<a<0:}$ эллипсы с большой горизонтальной осью;
• ${\displaystyle a=-1:}$ параллельные горизонтальные линии ${\displaystyle y=-1,y=1;}$

(точка пересечения в [0: 1: 0])

• ${\displaystyle a<-1:}$ гиперболы, открывающиеся вверх и вниз,
• ${\displaystyle a=\infty :}$ диагональные линии ${\displaystyle y=x,y=-x;}$

(деление на ${\displaystyle a}$ и принимая предел как ${\displaystyle a\to \infty }$ дает ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=0}$)

(точка пересечения в [0: 0: 1])

• Затем это зацикливается на ${\displaystyle a>1,}$ поскольку карандаши проективный линия.

В терминологии (Леви 1964 ), это линейная система конусов типа I. Она анимирована в связанном видео.

Классификация

Существует 8 типов линейных систем коник над комплексными числами, в зависимости от кратности пересечения в базовых точках, которые делятся на 13 типов по действительным числам, в зависимости от того, являются ли базовые точки действительными или мнимыми; это обсуждается в (Леви 1964 ) и проиллюстрировано в (Коффман ).

Рекомендации

• Коффман, Адам, Линейные системы коник, получено 2020-08-08
• Фосетт, Уильям Марк (январь 1996 г.), "Геометрическая интерпретация решения общего многочлена четвертой степени", Американский математический ежемесячник, 103 (1): 51–57, CiteSeerX  10.1.1.111.5574, JSTOR  2975214
• Леви, Гарри (1964), Проективная и родственная геометрии, Нью-Йорк: The Macmillan Co., стр. X + 405.