Теорема Литтлвуда о подчинении - Littlewood subordination theorem - Wikipedia

В математика, то Теорема Литтлвуда о подчинении, доказано Дж. Э. Литтлвуд в 1925 г. - это теорема в теория операторов и комплексный анализ. В нем говорится, что любой голоморфный однозначный Самокартирование единичный диск в сложные числа который фиксирует 0, индуцирует сжимающий оператор композиции на различных функциональные пространства голоморфных функций на круге. Эти пространства включают Пространства Харди, то Пространства Бергмана и Пространство Дирихле.

Теорема подчинения

Позволять час - голоморфное однолистное отображение единичного круга D в себя так, что час(0) = 0. Тогда оператор композиции C_час определены на голоморфных функциях ж на D к

{ displaystyle C_ {h} (е) = f circ h}

определяет линейный оператор с норма оператора меньше 1 на пространствах Харди ${ displaystyle H ^ {p} (D)}$ , пространства Бергмана ${ Displaystyle A ^ {p} (D)}$ .(1 ≤ п <∞) и пространство Дирихле ${ Displaystyle { mathcal {D}} (D)}$ .

Нормы на этих пространствах определяются:

{ displaystyle | е | _ {H ^ {p}} ^ {p} = sup _ {r} {1 over 2 pi} int _ {0} ^ {2 pi} | f ( re ^ {i theta}) | ^ {p} , d theta}

{ Displaystyle | е | _ {A ^ {p}} ^ {p} = {1 over pi} iint _ {D} | f (z) | ^ {p} , dx , dy }

{ displaystyle | е | _ { mathcal {D}} ^ {2} = {1 over pi} iint _ {D} | f ^ { prime} (z) | ^ {2} , dx , dy = {1 over 4 pi} iint _ {D} | partial _ {x} f | ^ {2} + | partial _ {y} f | ^ {2} , dx , dy}

Неравенство Литтлвуда

Позволять ж - голоморфная функция в единичном круге D и разреши час - голоморфное однолистное отображение D в себя с час(0) = 0. Тогда, если 0 < р <1 и 1 ≤ п < ∞

{ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} | f (h (re ^ {i theta})) | ^ {p} , d theta leq int _ {0} ^ {2 pi} | f (re ^ {i theta}) | ^ {p} , d theta.}

Это неравенство справедливо и при 0 < п <1, хотя в этом случае интерпретации оператора нет.

Доказательства

Дело п = 2

Чтобы доказать результат для ЧАС² достаточно показать, что для ж многочлен^[1]

{ Displaystyle Displaystyle { | C_ {ч} е | ^ {2} leq | е | ^ {2},}}

Позволять U быть односторонним сдвигом, определяемым

{ Displaystyle Displaystyle {Uf (z) = zf (z)}.}

Это сопряжено U* предоставлено

{ Displaystyle U ^ {*} f (z) = {f (z) -f (0) over z}.}

С ж(0) = а₀, это дает

{ displaystyle f = a_ {0} + zU ^ {*} f}

и поэтому

{ displaystyle C_ {h} f = a_ {0} + hC_ {h} U ^ {*} f.}

Таким образом

{ displaystyle | C_ {h} f | ^ {2} = | a_ {0} | ^ {2} + | hC_ {h} U ^ {*} f | ^ {2} leq | a_ {0} ^ {2} | + | C_ {h} U ^ {*} f | ^ {2}.}

С U*ж имеет степень меньше чем ж, по индукции следует, что

{ displaystyle | C_ {h} U ^ {*} f | ^ {2} leq | U ^ {*} f | ^ {2} = | f | ^ {2} - | a_ {0} | ^ {2},}

и поэтому

{ displaystyle | C_ {h} f | ^ {2} leq | f | ^ {2}.}

Тот же метод доказательства работает для А² и ${ displaystyle { mathcal {D}}.}$

Общие пространства Харди

Если ж находится в пространстве Харди ЧАС^п, то у него факторизация^[2]

{ Displaystyle е (г) = е_ {я} (г) е_ {о} (г)}

с ж_я ан внутренняя функция и ж_о ан внешняя функция.

потом

{ displaystyle | C_ {h} f | _ {H ^ {p}} leq | (C_ {h} f_ {i}) (C_ {h} f_ {o}) | _ {H ^ {p}} leq | C_ {h} f_ {o} | _ {H ^ {p}} leq | C_ {h} f_ {o} ^ {p / 2} | _ {H ^ {2}} ^ {2 / p} leq | f | _ {H ^ {p}}.}

Неравенства

Принимая 0 < р <1, неравенства Литтлвуда следуют применением неравенств пространства Харди к функции

{ displaystyle f_ {r} (z) = f (rz).}

Неравенства также можно вывести, следуя Рис (1925), с помощью субгармонические функции.^[3]^[4] Из неравенств, в свою очередь, сразу следует теорема о подчинении для общих пространств Бергмана.

Примечания

^ Никольский 2002, стр. 56–57
^ Никольский 2002, п. 57
^ Дюрен 1970
^ Шапиро 1993, п. 19