Максимальные лотереи - Maximal lotteries - Wikipedia

Максимальные лотереи относится к вероятностному система голосования впервые рассмотрен французским математиком и социологом Жерменом Креверасом^[1] в 1965 году. Метод использует преференциальные бюллетени и возвращает так называемые максимальные лотереи, то есть распределения вероятностей по альтернативам, которые слабо предпочтительны по сравнению с любым другим распределением вероятностей. Максимальные лотереи удовлетворяют Критерий Кондорсе,^[2] то Критерий Смита,^[2] обратная симметрия, время выполнения полинома, и вероятностные версии подкрепление,^[3] участие,^[4] и независимость от клонов.^[3]

Максимальные лотереи эквивалентны смешанным максиминские стратегии (или же Равновесия Нэша ) симметричной игра с нулевой суммой дается попарным мажоритарным запасом. Как таковые, они имеют естественную интерпретацию с точки зрения электоральной конкуренции между двумя политическими партиями.^[5] Более того, их можно вычислить, используя линейное программирование. Система голосования, которая возвращает все максимальные лотереи, аксиоматически характеризуется как единственная, удовлетворяющая вероятностным версиям согласованности популяции (ослабление подкрепления) и согласованности состава (усиление независимости клонов).^[3] А функция социального обеспечения что максимальные лотереи топ-рангов характеризуются с помощью независимость от нерелевантных альтернатив и Парето эффективность.^[6] Максимальные лотереи удовлетворяют строгому представлению о Парето эффективность и слабое представление о устойчивость к стратегии.^[7] В отличие от случайная диктатура, максимальные лотереи не удовлетворяют стандартному понятию устойчивости к стратегии. Также не проводятся максимальные лотереи. монотонный в вероятностях, то есть возможно, что вероятность альтернативы уменьшается, когда эта альтернатива ранжируется. Однако вероятность альтернативы останется положительной.^[8]

Максимальные лотереи или их варианты неоднократно переоткрывались экономистами,^[9] математики,^[2][10] политологи, философы,^[11] и компьютерные ученые.^[12]В частности, поддерживать максимальных лотерей, известная как необходимый набор^[13] или двухпартийный набор, был детально изучен.^[9][14]

Подобные идеи появляются также при изучении обучения с подкреплением и эволюционной биологии для объяснения множественности сосуществующих видов.^[15][16]

Коллективные предпочтения перед лотереями

Вход в эту систему голосования состоит из порядковых предпочтений агентов по результатам (а не лотерей по результатам), но отношение на множестве лотерей строится следующим образом: если ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ разные лотереи по результатам, ${\displaystyle p\succ q}$ если ожидаемое значение запаса победы для исхода, выбранного с распределением ${\displaystyle p}$ в очном голосовании против результата, выбранного с распределением ${\displaystyle q}$ положительный. Хотя это отношение не обязательно транзитивно, оно всегда содержит хотя бы один максимальный элемент.

Возможно, что существует несколько таких максимальных лотерей, но единственность может быть доказана в том случае, когда разница между любой парой альтернатив всегда нечетное число.^[17] Это имеет место, например, если есть нечетное число избирателей, которые все придерживаются строгих предпочтений перед альтернативными вариантами. Следуя тому же аргументу, единственность сохраняется для исходного «двухпартийного множества», которое определяется как поддержка максимальной лотереи турнирной игры.^[8]

Пример

Предположим, есть пять избирателей, которые имеют следующие предпочтения перед тремя альтернативами:

• 2 голосующих: ${\displaystyle a\succ b\succ c}$
• 2 голосующих: ${\displaystyle b\succ c\succ a}$
• 1 голосующий: ${\displaystyle c\succ a\succ b}$

Парные предпочтения избирателей можно представить в следующем виде: кососимметричная матрица, где запись для строки ${\displaystyle x}$ и столбец ${\displaystyle y}$ обозначает количество избирателей, которые предпочитают ${\displaystyle x}$ к ${\displaystyle y}$ минус количество избирателей, предпочитающих ${\displaystyle y}$ к ${\displaystyle x}$.

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{matrix}&&a\quad &b\quad &c\quad \\\end{matrix}}\\{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}{\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&0&3\\1&-3&0\\\end{pmatrix}}\end{matrix}}}$

Эту матрицу можно интерпретировать как игра с нулевой суммой и допускает уникальный равновесие по Нэшу (или же минимаксная стратегия ) ${\displaystyle p}$ куда ${\displaystyle p(a)=3/5}$, ${\displaystyle p(b)=1/5}$, ${\displaystyle p(c)=1/5}$. По определению, это также уникальная максимальная лотерея указанного выше профиля предпочтений. Пример был тщательно выбран, чтобы Кондорсе победитель. Многие профили предпочтений допускают победителя Кондорсе, и в этом случае уникальная максимальная лотерея присваивает вероятность 1 победителю Кондорсе.

Рекомендации

1. Г. Креверас. Агрегация заказов предпочтений. В области математики и социальных наук I: Материалы семинаров в Ментоне-Сен-Бернаре, Франция (1–27 июля 1960 г.) и в Гезинге, Австрия (3–27 июля 1962 г.), страницы 73–79, 1965.
2. П. С. Фишберн. Вероятностный социальный выбор, основанный на простых сравнениях голосований. Обзор экономических исследований, 51 (4): 683–692, 1984.
3. Ф. Брандл, Ф. Брандт и Х. Г. Зидиг. Последовательный вероятностный социальный выбор. Econometrica. 84 (5), страницы 1839-1880, 2016.
4. Ф. Брандл, Ф. Брандт и Дж. Хофбауэр. Максимизация благосостояния способствует участию. Игры и экономическое поведение. 14, страницы 308-314, 2019.
5. Ласлиер, Ж.-Ф. Интерпретация избирательных смешанных стратегий Социальный выбор и благополучие 17: стр. 283–292, 2000.
6. Ф. Брандл и Ф. Брандт. Арровианское агрегирование выпуклых предпочтений. Econometrica. Скоро.
7. Х. Азиз, Ф. Брандт и М. Брилл. О компромиссе между экономической эффективностью и устойчивостью к стратегии. Игры и экономическое поведение. 110, страницы 1-18, 2018.
8. Ласлиер, Ж.-Ф. Турнирные решения и голосование большинством Springer-Verlag, 1997.
9. Г. Лаффонд, Ж.-Ф. Ласлье и М. Ле Бретон. Двухпартийный набор турнирной игры. Игры и экономическое поведение, 5 (1): 182–201, 1993.
10. Д. К. Фишер и Дж. Райан. Турнирные игры и позитивные турниры. Журнал теории графов, 19 (2): 217–236, 1995.
11. Д. С. Фельзенталь и М. Маховер. Следует ли по прошествии двух столетий применять процедуру голосования Кондорсе? Поведенческая наука, 37 (4): 250–274, 1992.
12. Р. Л. Ривест и Э. Шен. Оптимальная система преференциального голосования с одним победителем, основанная на теории игр. В материалах 3-го Международного семинара по вычислительному социальному выбору, страницы 399–410, 2010 г.
13. Б. Датта, Ж.-Ф. Ласлье. Функции сравнения и соответствия выбора. Социальный выбор и благополучие, 16: 513–532, 1999.
14. Ф. Брандт, М. Брилл, Х. Г. Зидиг и В. Суксомпонг. О структуре стабильных турнирных решений. Экономическая теория, 65 (2): 483–507, 2018.
15. Б. Ласлиер, Ж.-Ф. Ласлье. Обучение с подкреплением на основе сравнений: трех альтернатив достаточно, двух - нет Анналы прикладной вероятности 27 (5): 2907–2925, 2017.
16. Якопо Грилли, Дьёрдь Барабаш, Мэтью Дж. Михальска-Смит и Стефано Аллесина. Взаимодействия высшего порядка стабилизируют динамику в конкурентных сетевых моделях Nature 548: 210-214, 2017.
17. Жильбер Лаффон, Жан-Франсуа Ласлье и Мишель Ле Бретон Теорема о симметричных играх двух игроков с нулевой суммой. Журнал экономической теории 72: 426–431, 1997.

внешняя ссылка

• голосование.ml (сайт для расчета максимальных лотерей)
• Pnyx - Практическое агрегирование предпочтений (инструмент для голосования, который, помимо прочего, предлагает максимальные лотереи)
• votation.ovh (Французский сайт для расчета максимальных лотерей)