Проблема портфеля Мертона - Mertons portfolio problem - Wikipedia

Относительно задачи Мертона с одним периодом портфеля см. Теорема о разделении паевого фонда.

Проблема портфеля Мертона хорошо известная проблема в непрерывном времени финансы и в частности выбор межвременного портфеля. Инвестор должен выбрать, сколько потреблять, и должен распределить свое состояние между акциями и безрисковым активом, чтобы максимизировать ожидаемые результаты. полезность. Проблема была сформулирована и решена Роберт С. Мертон в 1969 году как для конечных времен жизни, так и для бесконечного случая.^[1] Исследования продолжались расширять и обобщать модель, чтобы включить такие факторы, как транзакционные издержки и банкротство.

Постановка задачи

Инвестор живет от 0 до 0 разТ; его богатство в то время т обозначается W_т. Он начинает с известного начального богатства W₀ (который может включать текущую стоимость заработной платы). Вовремя т он должен выбрать, какое количество своего богатства потреблять, c_т, и какую долю состояния инвестировать в портфель акций, π_т (оставшаяся дробь 1 -π_т вкладывается в безрисковый актив).

Цель

${\displaystyle \max E\left[\int _{0}^{T}e^{-\rho s}u(c_{s})\,ds+\epsilon ^{\gamma }e^{-\rho T}u(W_{T})\right]}$

куда E оператор ожидания, ты это известный вспомогательная функция (что относится как к потреблению, так и к конечному богатству или завещанию, W_Т), ε параметризует желаемый уровень наследства и ρ субъективная ставка дисконтирования.

Богатство развивается согласно стохастическое дифференциальное уравнение

${\displaystyle dW_{t}=[(r+\pi _{t}(\mu -r))W_{t}-c_{t}]\,dt+W_{t}\pi _{t}\sigma \,dB_{t}}$

куда р - безрисковая ставка, (μ, σ) - ожидаемая доходность и волатильность фондового рынка и дБ_т это приращение Винеровский процесс, то есть стохастический член SDE.

Функция полезности имеет вид постоянное относительное неприятие риска (CRRA) форма:

${\displaystyle u(x)={\frac {x^{1-\gamma }}{1-\gamma }},}$

куда ${\displaystyle \gamma }$ - константа, которая выражает нежелание инвестора рисковать: чем выше гамма, тем больше нежелание владеть акциями.

Расход не может быть отрицательным: c_т ≥ 0, а π_т не ограничен (то есть разрешается заимствование или продажа акций).

Инвестиционные возможности предполагаются постоянными, то есть р, μ, σ известны и постоянны в этой версии модели (1969 г.), хотя Мертон позволил им изменить в своей межвременной CAPM (1973).

Решение

Несколько удивительно для оптимальный контроль проблема, решение в закрытом виде существует. Оптимальное потребление и распределение запасов зависят от богатства и времени следующим образом:

${\displaystyle \pi (W,t)={\frac {\mu -r}{\sigma ^{2}\gamma }}.}$

(Это выражение обычно называют дробью Мертона. Обратите внимание, что W и т не появляются с правой стороны; это означает, что постоянная часть богатства инвестируется в акции, независимо от возраста или уровня благосостояния инвестора).

${\displaystyle c(W,t)={\begin{cases}\nu \left(1+(\nu \epsilon -1)e^{-\nu (T-t)}\right)^{-1}W&{\textrm {if}}\;T<\infty \;{\textrm {and}}\;\nu \neq 0\\(T-t+\epsilon )^{-1}W&{\textrm {if}}\;T<\infty \;{\textrm {and}}\;\nu =0\\\nu W&{\textrm {if}}\;T=\infty \end{cases}}}$

куда ${\displaystyle 0\leq \epsilon \ll 1}$ и

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu &=\left(\rho -(1-\gamma )\left({\frac {(\mu -r)^{2}}{2\sigma ^{2}\gamma }}+r\right)\right)/\gamma \\&=\rho /\gamma -(1-\gamma )\left({\frac {(\mu -r)^{2}}{2\sigma ^{2}\gamma ^{2}}}+{\frac {r}{\gamma }}\right)\\&=\rho /\gamma -(1-\gamma )(\pi (W,t)^{2}/2\sigma ^{2}+r/\gamma )\\&=\rho /\gamma -(1-\gamma )((\mu -r)\pi (W,t)/2\gamma +r/\gamma ).\end{aligned}}}$

Переменная ${\displaystyle \rho }$ субъективная ставка дисконтирования за коммунальные услуги.^[2]:401)

Расширения

Было исследовано множество вариантов проблемы, но большинство из них не привело к простому решению в закрытой форме.

• Можно принять во внимание гибкий пенсионный возраст.^[3]
• Может использоваться функция полезности, отличная от CRRA.
• Могут быть введены транзакционные издержки. За пропорциональные транзакционные издержки проблема была решена Дэвисом и Норманом в 1990 году.^[4] Это один из немногих случаев стохастическое сингулярное управление где решение известно. Для графического представления сумма, инвестированная в каждый из двух активов, может быть нанесена на график. Икс- и у-оси; Через начало координат можно провести три диагональные линии: верхнюю границу, линию Мертона и нижнюю границу. В Линия Мертона представляет собой портфели, в которых соотношение акций / облигаций определяется Merton при отсутствии транзакционных издержек. Пока точка, представляющая текущий портфель, находится рядом с линией Мертона, то есть между верхней и нижней границей, никаких действий предпринимать не нужно. Когда портфель пересекает верхнюю или нижнюю границу, необходимо перебалансировать портфель, чтобы вернуть его к этой границе. В 1994 году Шрив и Сонер представили анализ проблемы через Уравнение Гамильтона – Якоби – Беллмана. и его вязкость растворов.^[5]

Когда есть фиксированные транзакционные издержки Проблема была рассмотрена Истманом и Гастингсом в 1988 году.^[6] Метод численного решения был предложен Шредером в 1995 году.^[7]

Наконец Мортон и Плиска^[8] считаются торговые издержки, которые пропорциональны богатству инвестора для логарифмической полезности. Хотя такая структура затрат кажется нерепрезентативной для реальных транзакционных издержек, ее можно использовать для поиска приблизительных решений в случаях с дополнительными активами,^[9] например, отдельные акции, когда становится трудно или трудно дать точные решения проблемы.

• Предположение о постоянных инвестиционных возможностях можно ослабить. Это требует модели того, как ${\displaystyle r,\mu ,\sigma }$ изменение с течением времени. Можно добавить модель процентной ставки, которая приведет к портфелю, содержащему облигации с разными сроками погашения. Некоторые авторы добавили модель стохастической волатильности доходности фондового рынка.
• Банкротство может быть инкорпорированным. Эту проблему решили Каратзас, Лехочки, Сетхи и Шрив в 1986 году.^[10] Многие модели, включающие банкротство, собраны в Sethi (1997).^[11]

Рекомендации

1. Мертон, Р. (1 августа 1969 г.). «Пожизненный выбор портфеля в условиях неопределенности: случай непрерывного времени». Обзор экономики и статистики. 51 (3): 247–257. Дои:10.2307/1926560. ISSN  0034-6535. JSTOR  1926560.
2. Мертон, Р. (1971). «Оптимальное потребление и правила портфеля в модели непрерывного времени» (PDF). Журнал экономической теории. 3 (4): 373–413. Дои:10.1016 / 0022-0531 (71) 90038-Х. HDL:1721.1/63980.
3. Bodie, Z .; Мертон, Р.; Самуэльсон, В. Ф. (1992). «Гибкость предложения рабочей силы и выбор портфеля в модели жизненного цикла» (PDF). Журнал экономической динамики и управления. 16 (3–4): 427. Дои:10.1016 / 0165-1889 (92) 90044-Ф.
4. Дэвис, М. Х. А.; Норман, А. Р. (1990). «Выбор портфеля с транзакционными издержками» (PDF). Математика исследования операций. 15 (4): 676. Дои:10.1287 / moor.15.4.676. HDL:10044/1/11848. JSTOR  3689770.
5. Shreve, S.E .; Сонер, Х. М. (1994). «Оптимальные инвестиции и потребление с учетом транзакционных издержек». Анналы прикладной теории вероятностей. 4 (3): 609. Дои:10.1214 / aoap / 1177004966. JSTOR  2245058.
6. Eastham, J. F .; Гастингс, К. Дж. (1988). «Оптимальное импульсное управление портфелями». Математика исследования операций. 13 (4): 588. Дои:10.1287 / moor.13.4.588. JSTOR  3689945.
7. Шредер, М. (1995). «Оптимальный выбор портфеля с фиксированными транзакционными издержками: численные решения» (PDF). Рабочий документ. Университет штата Мичиган.
8. Мортон, А. Дж .; Плиска, С. Р. (1995). «Оптимальное управление портфелем с фиксированными транзакционными издержками». Математические финансы. 5 (4): 337. Дои:10.1111 / j.1467-9965.1995.tb00071.x.
9. «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2014-11-08. Получено 2014-10-28.
10. Karatzas, I .; Lehoczky, J. P .; Sethi, S.P .; Шрив, С. Э. (1985). «Явное решение общей проблемы потребления / инвестирования». Стохастические дифференциальные системы. Конспект лекций по управлению и информатике. 78. п. 209. Дои:10.1007 / BFb0041165. ISBN  3-540-16228-3.
11. Сетхи, С. П. (1997). Оптимальное потребление и инвестиции при банкротстве. Дои:10.1007/978-1-4615-6257-3. ISBN  978-1-4613-7871-6.

• Каратзас, Иоаннис; Шрив, Стивен Э. (1998). Методы математических финансов. Стохастическое моделирование и прикладная вероятность. 39. Дои:10.1007 / b98840. ISBN  978-0-387-94839-3.
• Мертон Р.К .: Непрерывное финансирование, Блэквелл (1990).