Микромасштабные и макромасштабные модели - Microscale and macroscale models

Микромасштабные и связанные макромасштабные модели сосуществования Phalaris arundinacea, глобально распространенной травы. Каждый цвет представляет пространственную протяженность отдельного генотипа в микромасштабной модели с использованием стохастических клеточных автоматов. Каждая кривая на графике представляет уровень популяции соответствующего генотипа в макромасштабной модели дифференциального уравнения.^[1]

Микромасштабные модели сформировать широкий класс вычислительные модели имитирующие мелкомасштабные детали, в отличие от макромасштабные модели, которые объединяют детали в избранные категории.^[2][3] Микромасштабные и макромасштабные модели можно использовать вместе, чтобы понять различные аспекты одной и той же проблемы.

Приложения

Макромасштабные модели могут включать обычный, частичный, и интегро-дифференциальный уравнения, где категории и потоки между категориями определяют динамику или могут включать только алгебраические уравнения. Абстрактная макромасштабная модель может быть объединена с более детальными микромасштабными моделями. Связи между двумя шкалами связаны с многомасштабное моделирование. Один математический метод многомасштабного моделирования наноматериалов основан на использовании Мультимасштабная функция Грина.

Напротив, микромасштабные модели могут имитировать множество деталей, например, отдельных бактерий в биопленки,^[4] отдельные пешеходы в симулированных кварталах,^[5] отдельные световые лучи в изображения с трассировкой лучей,^[6] индивидуальные дома в городах,^[7] мелкие поры и поток жидкости в батареях,^[8] мелкомасштабные отсеки в метеорологии,^[9] мелкомасштабные структуры в системах твердых частиц,^[10] и другие модели, в которых взаимодействие между людьми и фоновые условия определяют динамику.

Дискретно-событие модели индивидуальный модели и агентный модели - это частные случаи микромасштабных моделей. Однако микромасштабные модели не требуют дискретных индивидов или дискретных событий. Мелкие детали топографии, зданий и деревьев могут добавить микромасштабных деталей к метеорологические модели и может подключаться к так называемым мезомасштабным моделям в этой области.^[9] Пейзажное разрешение квадратного метра доступно от лидар изображения позволяют моделировать потоки воды через поверхности суши, например ручейки и водные карманы, с использованием массивов деталей размером в гигабайт.^[11] Модели нейронные сети может включать отдельные нейроны, но может работать непрерывно и, следовательно, не иметь точных дискретных событий.^[12]

История

Идеи вычислительных микромасштабных моделей возникли на заре компьютинга и были применены к сложным системам, которые нельзя было точно описать стандартными математическими формами.

Две темы возникли в работах двух основоположников современных вычислений примерно в середине 20 века. Во-первых, пионер Алан Тьюринг использовали упрощенные макромасштабные модели, чтобы понять химическую основу морфогенез, но затем предложил и использовал вычислительные модели микромасштаба, чтобы понять нелинейности и другие условия, которые могут возникнуть в реальных биологических системах.^[13] Во-вторых, пионер Джон фон Нейман создал клеточный автомат понять возможности самовоспроизведения произвольно сложных объектов,^[14] который имел микромасштабное представление в клеточном автомате, но не имел упрощенной макромасштабной формы. Эта вторая тема считается частью агент-ориентированные модели, где сущности в конечном итоге могут быть агентами с искусственным интеллектом, работающими автономно.

К последней четверти ХХ века вычислительная мощность выросли так далеко^[15][16] что в микромасштабные модели могут быть включены до десятков тысяч человек или более, и что разреженные массивы могут применяться для достижения высокой производительности.^[17] Постоянное увеличение вычислительной мощности позволило к началу 21 века моделировать сотни миллионов людей на обычных компьютерах с помощью микромасштабных моделей.

Термин «микромасштабная модель» возник позже в 20 веке и теперь появляется в литературе многих разделов физической и биологической науки.^{[5][7][8][9][18]}

Пример

На рисунке 1 представлена ​​фундаментальная модель макромасштаба: рост населения в неограниченной среде. Его уравнение актуально в другом месте, например, при усложнении роста капитал в экономике или экспоненциальный спад по физике. У него есть одна объединенная переменная, ${\displaystyle N(t)}$, количество особей в популяции в определенный момент ${\displaystyle t}$. Имеет объединенный параметр ${\displaystyle r=\beta -\delta }$, годовой темп прироста населения, рассчитываемый как разница между годовыми коэффициентами рождаемости. ${\displaystyle \beta }$ и годовой уровень смертности ${\displaystyle \delta }$. Время ${\displaystyle t}$ может измеряться в годах, как показано здесь для иллюстрации, или в любой другой подходящей единице.

Макромасштабная модель на рисунке 1 объединяет параметры и включает в себя ряд упрощающих приближений:

1. рождаемость и смертность постоянны;
2. все особи идентичны, без генетики и возрастной структуры;
3. фракции людей значимы;
4. параметры постоянны и не меняются;
5. среда обитания идеально однородна;
6. не происходит иммиграции или эмиграции; и
7. случайность не входит.

Все эти приближения макромасштабной модели могут быть уточнены в аналогичных микромасштабных моделях.

В первом приближении, указанном выше - что коэффициенты рождаемости и смертности постоянны - макромасштабная модель на Рисунке 1 в точности представляет собой среднее значение большого числа стохастических испытаний с темпами роста, случайно колеблющимися в каждый момент времени.^[19] Стохастические детали микромасштаба включены в частный дифференциал уравнение диффузии и это уравнение используется для установления эквивалентности.

Чтобы ослабить другие предположения, исследователи применили вычислительные методы. На рисунке 2 показан пример вычислительного алгоритма микромасштаба, который соответствует макромасштабной модели на рисунке 1. Когда все люди идентичны, а мутации в показателях рождаемости и смертности отключены, динамика микромасштаба почти параллельна динамике макромасштаба (рисунки 3A и 3B). Небольшие различия между двумя моделями возникают из-за стохастических вариаций в микромасштабной версии, отсутствующей в детерминированной макромасштабной модели. Эти вариации будут отличаться каждый раз при выполнении алгоритма из-за преднамеренных изменений в последовательностях случайных чисел.

Когда не все люди идентичны, динамика на микромасштабе может значительно отличаться от динамики на макромасштабе, моделируя более реалистичные ситуации, чем можно смоделировать на макромасштабе (рисунки 3C и 3D). Микромасштабная модель не включает явным образом дифференциальное уравнение, хотя для больших групп населения оно точно моделирует его. Когда люди отличаются друг от друга, система имеет четко определенное поведение, но дифференциальные уравнения, управляющие этим поведением, трудно систематизировать. Алгоритм на Рисунке 2 является основным примером того, что называется модель без уравнений.^[20]

Когда мутации включены в микромасштабной модели (${\displaystyle \sigma >0}$), популяция растет быстрее, чем в макромасштабной модели (Рисунки 3C и 3D). Мутации в параметрах позволяют одним людям иметь более высокие коэффициенты рождаемости, а другим - более низкие коэффициенты смертности, и эти люди вносят пропорционально больший вклад в популяцию. При прочих равных, средняя рождаемость смещается к более высоким значениям, а средняя смертность смещается к более низким значениям по мере продвижения моделирования. Этот дрейф отслеживается в структурах данных с именем бета и дельта микромасштабного алгоритма на рисунке 2.

Алгоритм на рисунке 2 представляет собой упрощенную микромасштабную модель с использованием Метод Эйлера. Другие алгоритмы, такие как метод Гиллеспи^[21] и метод дискретного события^[17] также используются на практике. Варианты алгоритма в практическом использовании включают такие меры повышения эффективности, как удаление людей из рассмотрения после их смерти (для уменьшения требований к памяти и увеличения скорости) и планирование случайных событий в будущем (для обеспечения непрерывной временной шкалы и дальнейшего повышения скорости).^[17] Такие подходы могут быть на порядки быстрее.

Сложность

Сложность систем, рассматриваемых с помощью микромасштабных моделей, приводит к сложности самих моделей, и спецификация микромасштабной модели может быть в десятки или сотни раз больше, чем соответствующая макромасштабная модель. (В упрощенном примере на рисунке 2 в спецификации в 25 раз больше строк, чем на рисунке 1.) Поскольку ошибки возникают в компьютерном программном обеспечении и не могут быть полностью устранены стандартными методами, такими как тестирование,^[22] а поскольку сложные модели часто не публикуются подробно и не рецензируются, их достоверность ставится под сомнение.^[23] Существуют руководящие принципы передовой практики для микромасштабных моделей^[24] но никакие статьи по этой теме не претендуют на полное решение проблемы проверки сложных моделей.

Будущее

Вычислительные возможности достигают уровней, при которых население целых стран или даже всего мира находится в пределах досягаемости микромасштабных моделей, а улучшение данных переписей и поездок позволяет дальнейшее совершенствование параметризации таких моделей. Удаленные датчики от Спутники наблюдения Земли и от наземных обсерваторий, таких как Национальная сеть экологических обсерваторий (NEON) предоставляют большие объемы данных для калибровки. Возможные применения варьируются от прогнозирования и снижения распространения болезней до помощи в понимании динамики Земли.

Цифры

Рис. 1. Уравнения макроуровня

Рисунок 1. Одна из простейших макромасштабных моделей: обыкновенное дифференциальное уравнение описывая непрерывный экспоненциальный рост. ${\displaystyle N(t)}$ это размер населения во время ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle dN(t)/dt}$ скорость изменения во времени в одном измерении ${\displaystyle N}$. ${\displaystyle N(0)}$ начальная популяция в ${\displaystyle t=0}$, ${\displaystyle \beta }$ - коэффициент рождаемости в единицу времени, а ${\displaystyle \delta }$ - коэффициент смертности в единицу времени. Слева - дифференциальная форма; справа явное решение в терминах стандартных математических функций, которое следует в данном случае из дифференциальной формы. Почти все макромасштабные модели более сложны, чем этот пример, поскольку они имеют несколько измерений, не имеют явных решений в терминах стандартных математических функций и должны быть поняты из их дифференциальных форм.

Рис. 2. Алгоритм микромасштабирования, соответствующий уравнениям на рис. 1.

Фигура 2. Базовый алгоритм, использующий Метод Эйлера к индивидуальной модели. См. Текст для обсуждения. Алгоритм, представленный в псевдокод, начинается с вызова процедуры ${\displaystyle \operatorname {Microscale} ()}$, который использует структуры данных для выполнения моделирования в соответствии с пронумерованными шагами, описанными справа. Он многократно вызывает функцию ${\displaystyle \operatorname {Mutation} (v)}$, который возвращает свой параметр, измененный случайным числом, полученным из равномерного распределения со стандартным отклонением, определяемым переменной ${\displaystyle sigma}$. (Квадратный корень из 12 появляется потому, что стандартное отклонение из равномерное распределение включает этот фактор.) ${\displaystyle \operatorname {Rand} ()}$ в алгоритме предполагается вернуть равномерно распределенное случайное число ${\displaystyle 0\leq Rand()<1}$. Предполагается, что данные сбрасываются до начальных значений при каждом вызове ${\displaystyle \operatorname {Microscale} ()}$.

Рисунок 3. Динамика

Рисунок 3. Графическое сравнение динамики макромасштабного и микромасштабного моделирования на рисунках 1 и 2, соответственно.

(А) Черная кривая показывает точное решение макромасштабной модели на Рисунке 1 с ${\displaystyle \beta =1/5}$ в год, ${\displaystyle \delta =1/10}$ в год, и ${\displaystyle N_{0}=1000}$ лиц.

(В) Красные точки показывают динамику микромасштабной модели на Рисунке 2, показанной с интервалом в один год, с использованием тех же значений ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, и ${\displaystyle N_{0}}$, и без мутаций ${\displaystyle (\sigma =0)}$.

(С) Синие точки показывают динамику микромасштабной модели с мутациями, имеющими стандартное отклонение ${\displaystyle \sigma =0.006}$.

(D) Зеленые точки показывают результаты с более крупными мутациями, ${\displaystyle \sigma =0.010}$.

Рекомендации

1. Нельсон, Майкл Франс (2014). Экспериментальные и имитационные исследования популяционной генетики, засухоустойчивости и вегетативного роста Phalaris arundinacea (Докторская диссертация). Университет Миннесоты, США.
2. Густафссон, Лейф; Стернад, Микаэль (2010). «Последовательное моделирование населения на микро-, макро- и государственной основе». Математические биологические науки. 225 (2): 94–107. Дои:10.1016 / j.mbs.2010.02.003. PMID  20171974.
3. Густафссон, Лейф; Стернад, Микаэль (2007). «Обеспечение согласованности в моделировании моделей популяций: моделирование Пуассона как мост между микро- и макромоделированием» (PDF). Математические биологические науки. 209 (2): 361–385. Дои:10.1016 / j.mbs.2007.02.004. PMID  17412368.
4. Диллон, Роберт; Фаучи, Лиза; Фогельсон, Аарон; Гавер III, Дональд (1996). «Моделирование биопленочных процессов методом погруженных границ». Журнал вычислительной физики. 129 (1): 57–73. Bibcode:1996JCoPh.129 ... 57D. Дои:10.1006 / jcph.1996.0233.
5. Бандини, Стефания; Лука Федеричи, Мицар; Мандзони, Сара (2007). «Подход SCA к микромасштабному моделированию парадигматического возникающего поведения толпы». SCSC: 1051–1056.
6. Gartley, M. G .; Schott, J. R .; Браун, С. Д. (2008). Шен, Сильвия С; Льюис, Пол Э (ред.). «Микромасштабное моделирование влияния примесей на оптические свойства поверхности». Optical Engineering Plus Applications, Международное общество оптики и фотоники. Спектрометрия изображений XIII. 7086: 70860H. Bibcode:2008SPIE.7086E..0HG. Дои:10.1117/12.796428.
7. О'Салливан, Дэвид (2002). «К микромасштабному пространственному моделированию джентрификации». Журнал географических систем. 4 (3): 251–274. Bibcode:2002JGS ..... 4..251O. Дои:10.1007 / с101090200086.
8. Less, G. B .; Seo, J. H .; Han, S .; Sastry, A.M .; Zausch, J .; Latz, A .; Schmidt, S .; Wieser, C .; Kehrwald, D .; Фелл, С. (2012). «Микромасштабное моделирование Li-Ion аккумуляторов: параметризация и проверка». Журнал Электрохимического общества. 159 (6): A697 – A704. Дои:10.1149 / 2.096205jes.
9. Knutz, R .; Хатиб, I .; Муссиопулос, Н. (2000). «Соединение мезомасштабных и микромасштабных моделей - подход к моделированию масштабного взаимодействия». Экологическое моделирование и программное обеспечение. 15 (6–7): 597–602. Дои:10.1016 / с 1364-8152 (00) 00055-4.
10. Маркизио, Даниэле Л .; Фокс, Родни О. (2013). Расчетные модели для полидисперсных частиц и многофазных систем. Издательство Кембриджского университета.
11. Барнс, Ричард; Леман, Кларенс; Мулла, Дэвид (2014). «Эффективное задание направления дренажа на плоских поверхностях в растровых цифровых моделях рельефа». Компьютеры и науки о Земле. 62: 128–135. arXiv:1511.04433. Bibcode:2014CG ..... 62..128B. Дои:10.1016 / j.cageo.2013.01.009.
12. Ты, Ён; Николау, Майкл (1993). «Моделирование динамических процессов с помощью рекуррентных нейронных сетей». Журнал Айше. 39 (10): 1654–1667. Дои:10.1002 / aic.690391009.
13. Тьюринг, Алан М. (1952). «Химические основы морфогенеза». Философские труды Лондонского королевского общества B: Биологические науки. 237 (641): 37–72. Bibcode:1952РСПТБ.237 ... 37Т. Дои:10.1098 / рстб.1952.0012.
14. Беркс, А. В. (1966). Теория самовоспроизводящихся автоматов. Университет Иллинойса Press.
15. Мур, Гордон Э. (1965). «Втиснуть больше компонентов в интегральные схемы». Электроника. 38 (8).
16. Березин, А. А .; Ибрагим, А. М. (2004). «Надежность закона Мура: мера поддерживаемого качества». В Дж. Дж. Макналти (ред.). Качество, надежность и обслуживание. Джон Уайли и сыновья.
17. Браун, Рэнди (1988). «Календарные очереди: быстрая реализация очереди с приоритетом O (1) для задачи имитации набора событий». Коммуникации ACM. 31 (10): 1220–1227. Дои:10.1145/63039.63045.
18. Frind, E.O .; Sudicky, E. A .; Шелленберг, С. Л. (1987). «Микромасштабное моделирование при изучении эволюции плюмов в гетерогенных средах». Стохастическая гидрология и гидравлика. 1 (4): 263–279. Bibcode:1987ШХ ..... 1..263Ф. Дои:10.1007 / bf01543098.
19. Мэй, Роберт (1974). «Устойчивость и сложность модельных экосистем». Монографии по популяционной биологии. Издательство Принстонского университета. 6: 114–117. PMID  4723571.
20. Кеврекидис, Иоаннис Г .; Самай, Джованни (2009). «Многомасштабные вычисления без уравнений: алгоритмы и приложения». Ежегодный обзор физической химии. 60: 321–344. Bibcode:2009ARPC ... 60..321K. Дои:10.1146 / annurev.physchem.59.032607.093610. PMID  19335220.
21. Гиллеспи, Дэниел Т. (1977). «Точное стохастическое моделирование связанных химических реакций». Журнал физической химии. 81 (25): 2340–2361. CiteSeerX  10.1.1.704.7634. Дои:10.1021 / j100540a008.
22. Дейкстра, Эдсгер (1970). Примечания по структурному программированию. T.H. Отчет 70-WSK-03, EWD249. Эйндховен, Нидерланды: Технологический университет.
23. Сальтелли, Андреа; Фунтович, Сильвио (2014). «Когда все модели неправильные». Проблемы науки и техники. 30 (2): 79–85.
24. Baxter, Susan M .; День, Стивен У .; Fetrow, Jacquelyn S .; Райзингер, Стефани Дж. (2006). «Научная разработка программного обеспечения - это не оксюморон». PLOS вычислительная биология. 2 (9): 975–978. Bibcode:2006PLSCB ... 2 ... 87B. Дои:10.1371 / journal.pcbi.0020087. ЧВК  1560404. PMID  16965174.