Моногенное поле - Monogenic field

В математика, а моногенное поле является поле алгебраических чисел K для которого существует элемент а так что кольцо целых чисел О_K это подкольцо Z[а] из K Сгенерированно с помощью а. потом О_K является частным от кольцо многочленов Z[Икс] и полномочия а составляют интегральная основа мощности.

В моногенном поле K, то дискриминант поля из K равно дискриминант из минимальный многочлен из α.

Примеры

Примеры моногенных полей:

• Квадратичные поля:

если ${displaystyle K=mathbf {Q} ({sqrt {d}})}$ с участием ${displaystyle d}$ а целое число без квадратов, тогда ${displaystyle O_{K}=mathbf {Z} [a]}$ где ${displaystyle a=(1+{sqrt {d}})/2}$ если d ≡ 1 (мод 4) и ${displaystyle a={sqrt {d}}}$ если d ≡ 2 или 3 (мод. 4).

• Циклотомические поля:

если ${displaystyle K=mathbf {Q} (zeta )}$ с участием ${displaystyle zeta }$ а корень единства, тогда ${displaystyle O_{K}=mathbf {Z} [zeta ].}$ Также максимальное вещественное подполе ${displaystyle mathbf {Q} (zeta )^{+}=mathbf {Q} (zeta +zeta ^{-1})}$ моногенный, с кольцом целых чисел ${displaystyle mathbf {Z} [zeta +zeta ^{-1}].}$

Хотя все квадратичные поля моногенные, уже среди кубических полей есть немало немоногенных. Первый найденный пример немоногенного числового поля - это кубическое поле порожденный корнем многочлена ${displaystyle X^{3}-X^{2}-2X-8}$, из-за Ричард Дедекинд.

использованная литература

• Наркевич, Владислав (2004). Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел (3-е изд.). Springer-Verlag. п. 64. ISBN  3-540-21902-1. Zbl  1159.11039.
• Гаал, Иштван (2002). Диофантовы уравнения и основы степенного интеграла.. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Verlag. ISBN  978-0-8176-4271-6. Zbl  1016.11059.