Множественная запутанность - Multipartite entanglement

В случае систем, состоящих из ${\displaystyle m>2}$ подсистем, классификация квантово-запутанный состояния богаче, чем в двудольном случае. Действительно, в многочастная запутанность помимо полностью разделимые состояния и полностью запутанные состояния, существует также понятие частично разделимых состояний.^[1]

Полная и частичная разделимость

Определения полностью сепарабельных и полностью запутанных многочастных состояний естественным образом обобщают определения сепарабельных и запутанных состояний в двудольном случае следующим образом.^[1]

Определение [Полное ${\displaystyle \;m}$-раздельная отделимость (${\displaystyle \;m}$-отделимость) ${\displaystyle \;m}$ системы]: Штат ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$ из ${\displaystyle \;m}$ подсистемы ${\displaystyle \;A_{1},\ldots ,A_{m}}$ с гильбертовым пространством ${\displaystyle \;{\mathcal {H}}_{A_{1}\ldots A_{m}}={\mathcal {H}}_{A_{1}}\otimes \ldots \otimes {\mathcal {H}}_{A_{m}}}$ является полностью отделяемый тогда и только тогда, когда это можно записать в виде

${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}=\sum _{i=1}^{k}p_{i}\varrho _{A_{1}}^{i}\otimes \ldots \otimes \varrho _{A_{m}}^{i}.}$

Соответственно, государство ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$ является полностью запутанный если это не может быть записано в вышеуказанной форме.

Как и в двудольном случае, множество ${\displaystyle \;m}$-разделимые состояния выпуклый и закрыто относительно нормы следа, и отделимость сохраняется при ${\displaystyle \;m}$-разделимые операции ${\displaystyle \;\sum _{i}\Omega _{i}^{1}\otimes \ldots \otimes \Omega _{i}^{n}}$ которые являются прямым обобщением двудольных:

${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}\to {\frac {\sum _{i}\Omega _{i}^{1}\otimes \ldots \otimes \Omega _{i}^{n}\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}(\Omega _{i}^{1}\otimes \ldots \otimes \Omega _{i}^{n})^{\dagger }}{Tr[\sum _{i}\Omega _{i}^{1}\otimes \ldots \otimes \Omega _{i}^{n}\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}(\Omega _{i}^{1}\otimes \ldots \otimes \Omega _{i}^{n})^{\dagger }]}}.}$^[1]

Однако, как упоминалось выше, в многочастной среде у нас также разные понятия частичная отделимость.^[1]

Определение [разделимость по разделам]: Штат ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$ из ${\displaystyle \;m}$ подсистемы ${\displaystyle \;A_{1},\ldots ,A_{m}}$ является отделимы относительно данного разбиения ${\displaystyle \;\{I_{1},\ldots ,I_{k}\}}$, куда ${\displaystyle \;I_{i}}$ непересекающиеся подмножества индексов ${\displaystyle \;I=\{1,\ldots ,m\},\cup _{j=1}^{k}I_{j}=I}$, если и только если это можно написать

${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}=\sum _{i=1}^{N}p_{i}\varrho _{1}^{i}\otimes \ldots \otimes \varrho _{k}^{i}.}$^[1]

Определение [полусепарабельность]: Штат ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$ является полусепарабельный если и только если это отделимый под всем ${\displaystyle \;1}$-${\displaystyle \;(m-1)}$ перегородки, ${\displaystyle \;{\big \{}I_{1}=\{k\},I_{2}=\{1,\ldots ,k-1,k+1,\ldots ,m\}{\big \}},1\leq k\leq m}$.^[1]

Определение [запутанность s-частиц]: An ${\displaystyle \;m}$-частичная система может иметь не более ${\displaystyle \;s}$-частичная запутанность если это смесь всех состояний такая, что каждое из них отделимо относительно некоторого разбиения ${\displaystyle \;\{I_{1},\ldots ,I_{k}\}}$, где все наборы индексов ${\displaystyle \;I_{k}}$ иметь мощность ${\displaystyle \;N\leq s}$.^[1]

Характеристика и критерии отделимости

Чистые состояния

Эквивалентное определение полной m-разделимости дается следующим образом: Чистое состояние ${\displaystyle |\Psi _{A_{1}\ldots A_{m}}\rangle }$ из ${\displaystyle \;m}$ подсистемы ${\displaystyle \;A_{1},\ldots ,A_{m}}$ является от корки до корки ${\displaystyle \;m}$-раздельно разделяемые если и только если это можно написать

${\displaystyle \;|\Psi _{A_{1}\ldots A_{m}}\rangle =|\psi _{A_{1}}\rangle \otimes \ldots \otimes |\psi _{A_{m}}\rangle .}$^[1]

Чтобы это проверить, достаточно вычислить приведенные матрицы плотности элементарных подсистем и посмотреть, являются ли они чистыми. Однако в многочастном случае это сделать не так просто, поскольку многочастные чистые состояния редко допускают обобщенное разложение Шмидта ${\displaystyle \;|\Psi _{A_{1}\ldots A_{m}}\rangle =\sum _{i=1}^{min\{d_{A_{1}},\ldots ,d_{A_{m}}\}}a_{i}|e_{A_{1}}^{i}\rangle \otimes \ldots \otimes |e_{A_{m}}^{i}\rangle }$. Многокомпонентное состояние допускает обобщенное разложение Шмидта, если, отслеживая любую подсистему, остальная часть находится в полностью отделимом состоянии. Таким образом, в общем случае запутанность чистого состояния описывается спектрами приведенных матриц плотности всех двудольных разбиений: состояние есть искренне ${\displaystyle \;m}$-частно запутанный тогда и только тогда, когда все двудольные разбиения производят смешанные матрицы пониженной плотности.^[1]

Смешанные состояния

В многочастном случае не существует простого необходимого и достаточного условия отделимости, подобного тому, которое дает Критерий PPT для ${\displaystyle 2\otimes 2}$ и ${\displaystyle 2\otimes 3}$ случаи. Однако многие критерии отделимости используемый в двудольном случае может быть обобщен на многосторонний случай.^[1]

Положительные, но не полностью положительные (PnCP) карты и свидетельства запутанности

Характеристика отделимости с точки зрения положительные, но не полностью положительные карты естественно обобщить из двудольного случая следующим образом.^[1]

Любая положительная, но не полностью положительная (PnCP) карта ${\displaystyle \;\Lambda _{A_{2}\ldots A_{m}}:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}}_{A_{2}\ldots A_{m}})\to {\mathcal {B}}({\mathcal {H}}_{A_{1}})}$ предоставляет нетривиальный необходимый критерий отделимости в виде:

${\displaystyle \;(I_{A_{1}}\otimes \Lambda _{A_{2}\ldots A_{m}})[\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}]\geq 0,}$

куда ${\displaystyle \;I_{A_{1}}}$ тождество, действующее на первую подсистему ${\displaystyle \;{\mathcal {H}}_{A_{1}}}$.Штат ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$ является отделяемый тогда и только тогда, когда указанное выше условие выполняется для всех карт PnCP ${\displaystyle \;\Lambda _{A_{2}\ldots A_{m}}:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}}_{A_{2}\ldots A_{m}})\to {\mathcal {B}}({\mathcal {H}}_{A_{1}})}$.^[1]

Определение свидетели запутывания и Изоморфизм Чоя – Ямиолковского который связывает карты PnCP со свидетелями зацепления в двудольном случае, также может быть обобщен на многостороннюю настройку. Таким образом, мы получаем условие отделимости от свидетелей зацепления для многосторонних состояний: состояние ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$ отделима, если имеет неотрицательное среднее значение ${\displaystyle \;Tr(W\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}})\geq 0}$ для всех свидетелей запутывания ${\displaystyle W}$. Соответственно запутанность ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$ обнаружен свидетелем ${\displaystyle \;W}$ если и только если ${\displaystyle \;Tr(W\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}})<0}$.^[1]

Приведенное выше описание дает полную характеристику ${\displaystyle \;m}$-отделимость ${\displaystyle \;m}$-раздельные системы.^[1]

Критерий дальности

«Критерий диапазона» также может быть немедленно обобщен от двудольного к многочастному случаю. В последнем случае диапазон ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$ должны быть покрыты векторами ${\displaystyle \;\{|\phi _{A_{1}}\rangle ,\ldots ,|\phi _{A_{m}}\rangle \}}$, а диапазон ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}^{T_{A_{k_{1}}\ldots A_{k_{l}}}}}$ частично транспонирован относительно подмножества ${\displaystyle \;\{A_{k_{1}}\ldots A_{k_{l}}\}\subset \{A_{1}\ldots A_{m}\}}$ должны быть порождены произведениями этих векторов, где векторы с индексами ${\displaystyle \;k_{1},\ldots ,k_{l}}$ комплексно сопряжены. Если государство ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$ является отделяемый, то все такие частичные транспозиции должны приводить к матрицам с неотрицательным спектром, т.е. ко всем матрицам ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}^{T_{A_{k_{1}}\ldots A_{k_{l}}}}}$ должны быть сами государства.^[1]

Критерии корректировки

«Критерии перестройки» из двудольного случая обобщаются до перестановочных критериев в многостороннем сеттинге: если состояние ${\displaystyle \varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$ отделима, то матрица ${\displaystyle \;[R_{\pi }(\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}})]_{i_{1}j_{1},i_{2}j_{2},\ldots ,i_{n}j_{n}}\equiv \varrho _{\pi (i_{1}j_{1},i_{2}j_{2},\ldots ,i_{n}j_{n})}}$, полученная из исходного состояния перестановкой ${\displaystyle \;\pi }$ показателей матрицы в базисе продукта, удовлетворяет ${\displaystyle \;||R_{\pi }(\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}})]||_{Tr}\leq 1}$.^[1]

Критерий сжатия

Наконец, критерий сжатия немедленно обобщается с двудольного на многочастный случай.^[1]

Меры множественной запутанности

Многие из аксиоматических мер зацепления для двудольных состояний, такие как относительная энтропия запутанности, устойчивость запутывания и сплющенное запутывание можно обобщить на многостороннюю настройку.^[1]

Относительная энтропия запутанности, например, может быть обобщена на многочастный случай, взяв подходящий набор вместо набора двудольных разделимых состояний. Можно взять набор полностью разделимых состояний, даже если при этом выборе мера не будет различать действительно многочастную запутанность и несколько случаев двудольной запутанности, например ${\displaystyle EPR_{AB}\otimes EPR_{CD}}$. Чтобы проанализировать истинно многочастную запутанность, необходимо рассмотреть множество состояний, содержащих не более ${\displaystyle k}$-запутанность частиц.^[1]

В случае раздавленной запутанности ее многосоставную версию можно получить, просто заменив взаимная информация двудольной системы с ее обобщением на многочастные системы, т.е. ${\displaystyle I(A_{1}:\ldots :A_{N})=S(A_{1})+\ldots +S(A_{N})-S(A_{1}\ldots A_{N})}$.^[1]

Однако в многочастной настройке требуется гораздо больше параметров для описания запутанности состояний, и поэтому было построено много новых мер запутанности, особенно для чистых многочастных состояний.

Меры множественной запутанности для чистых состояний

В многостороннем сеттинге есть меры сцепленности, которые просто являются функциями сумм двудольных мер сцепленности, как, например, глобальная запутанность, который определяется суммой совпадения между одним кубит и все остальные. Для этой многочастной запутанности измеряется монотонность относительно LOCC просто наследуется от двусторонних мер. Но есть также меры запутанности, которые были созданы специально для многочастных состояний, а именно:^[1]

Клубок

Первая мера многодольной запутанности, которая не является ни прямым обобщением, ни простой комбинацией двудольных мер, была введена Коффманом. и другие. и позвонил клубок.^[1]

Определение [клубок]:

${\displaystyle \;\tau (A:B:C)=\tau (A:BC)-\tau (AB)-\tau (AC),}$

где ${\displaystyle \;2}$-танглы в правой части - это квадраты совпадение.^[1]

Мера путаницы пермутационно инвариантна; он обращается в нуль во всех состояниях, разделимых при любом разрезе; он отличен от нуля, например, в GHZ-состоянии; его можно считать равным нулю для состояний, которые являются 3-запутанными (т.е. которые не являются продуктом по отношению к какому-либо разрезу), как, например, W-состояние. Более того, может быть возможность получить хорошее обобщение клубок для многокубитовых систем с помощью гипердетерминант.^[1]

Мера Шмидта

Это была одна из первых мер сцепленности, созданных специально для многочастных государств.^[1]

Определение [мера Шмидта]: Минимум ${\displaystyle \;\log r}$, куда ${\displaystyle \;r}$ - это количество условий в расширении состояния в базе продукта.^[1]

Эта мера равна нулю тогда и только тогда, когда состояние полностью является продуктом; следовательно, он не может различить действительно многочастную запутанность и двудольную запутанность, но, тем не менее, может быть полезен во многих контекстах.^[1]

Меры, основанные на нормальных формах

Это интересный класс мер многочастной запутанности, полученный в контексте классификации состояний. А именно, рассматривается любая однородная функция состояния: если она инвариантна относительно операций SLOCC (стохастический LOCC) с определителем, равным 1, то она является монотонная запутанность в сильном смысле, т.е. удовлетворяет условию сильной монотонности.^[1]

Меры, основанные на гипердетерминанте

Мияке доказал, что гипердетерминанты являются монотонной запутанностью, и они описывают поистине многочастную запутанность в том смысле, что состояния, такие как продукты ${\displaystyle EPR}$имеет нулевую запутанность. В частности, совпадение и путаница являются частными случаями гипердетерминанта. Действительно, для двух кубитов совпадение - это просто модуль определителя, который является гипердетерминантом первого порядка; тогда как клубок является гипердетерминантом второго порядка, то есть функцией тензоров с тремя индексами.^[1]

Геометрическая запутанность

Определение [геометрическая запутанность]:

${\displaystyle \;E_{g}=1-\Lambda ^{k}[\psi ],}$

куда ${\displaystyle \;\Lambda ^{k}[\psi ]=sup_{\phi \in S_{k}}|\langle \psi |\phi \rangle |^{2}}$, с ${\displaystyle \;S_{k}}$ набор ${\displaystyle \;k}$-разделимые состояния. Эта мера принадлежит к семейству мер сцепленности, определенных Барнумом и Линденом, и является многосторонним обобщением Мера шимони.^[1]

Запутанность можно количественно оценить с помощью геометрическая мера запутанности.

Локализуемая запутанность

Эта мера запутанности является обобщением запутанность помощи и был построен в контексте спиновых цепочек. А именно, выбираются два спина и выполняются операции LOCC, направленные на получение максимально возможной двудольной запутанности между ними (измеряемой в соответствии с выбранной мерой запутанности для двух двудольных состояний).^[1]

Источники и примечания

1. «Многосторонняя запутанность». Quantiki.org. 4 января 2008 г.

дальнейшее чтение

• Городецкий Р. (1994). «Информационно-когерентные квантовые системы». Письма о физике A. 187 (2): 145. Bibcode:1994ФЛА..187..145Х. Дои:10.1016/0375-9601(94)90052-3.
• Коффман, В .; Кунду, Джойдип; Wootters, Уильям К. (2000). «Распределенная запутанность». Физический обзор A. 61 (5): 052306. arXiv:Quant-ph / 9907047. Bibcode:2000PhRvA..61e2306C. Дои:10.1103 / PhysRevA.61.052306.
• Barnum, H .; Линден, Н. (2001). «Монотоны и инварианты для многочастичных квантовых состояний». Журнал физики А. 34 (35): 6787. arXiv:Quant-ph / 0103155. Bibcode:2001JPhA ... 34.6787B. Дои:10.1088/0305-4470/34/35/305.
• Bourennane, M .; Karlsson, A .; Бьорк, Г. (2001). «Квантовое распределение ключей с использованием многоуровневого кодирования». Физический обзор A. 64 (2): 022306. Bibcode:2001PhRvA..64a2306B. Дои:10.1103 / PhysRevA.64.012306.
• Мейер, Д. А .; Валлах, Н. Р. (2001). «Глобальная запутанность в многочастичных системах». Журнал математической физики. 43: 4273–4278. arXiv:Quant-ph / 0108104. Bibcode:2002JMP .... 43.4273M. Дои:10.1063/1.1497700.
• Мияке, А. (2003). «Классификация многочастных запутанных состояний по многомерным детерминантам». Физический обзор A. 67 (1): 012108. arXiv:Quant-ph / 0206111. Bibcode:2003ПхРвА..67а2108М. Дои:10.1103 / PhysRevA.67.012108.
• Verstraete, F .; Dehaene, J .; Де Моор, Б. (2003). «Нормальные формы и меры сцепленности для многочастичных квантовых состояний». Физический обзор A. 68 (1): 012103. arXiv:Quant-ph / 0105090. Bibcode:2003ПхРвА..68а2103В. Дои:10.1103 / PhysRevA.68.012103.
• Boileau, J.-C .; Готтесман, Д .; Laflamme, R .; Poulin, D .; Спеккенс, Р. (2004). "Устойчивое квантовое распределение ключей на основе поляризации по каналу коллективных шумов". Письма с физическими проверками. 92 (2): 027901. arXiv:Quant-ph / 0306199. Bibcode:2004ПхРвЛ..92а7901Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.92.017901. PMID  14754020.
• Мияке, А. (2004). «Многосторонняя запутанность при стохастических локальных операциях и классической коммуникации». Международный журнал квантовой информации. 2: 65. arXiv:Quant-ph / 0401023. Bibcode:2004квант.ч..1023M. Дои:10.1142 / s0219749904000080.
• Городецкий, Р .; Городецкий, П .; Городецкий, М .; Городецкий, К. (2009). «Квантовая запутанность». Обзоры современной физики. 81 (2): 865–942. arXiv:Quant-ph / 0702225. Bibcode:2009RvMP ... 81..865H. Дои:10.1103 / RevModPhys.81.865.
• Gühne, O .; Тот, Г. (2009). «Обнаружение запутывания». Отчеты по физике. 474: 1–75. arXiv:0811.2803. Bibcode:2009ФР ... 474 .... 1Г. Дои:10.1016 / j.physrep.2009.02.004.