Мультипольное излучение - Multipole radiation - Wikipedia

Мультипольное излучение теоретическая основа для описания электромагнитный или же гравитационный излучение от зависящих от времени распределений удаленных источников. Эти инструменты применяются к физическим явлениям, которые происходят в различных масштабах длины - от гравитационных волн из-за столкновения галактик к гамма-излучение в результате ядерный распад.^[1][2][3] Мультипольное излучение анализируется с использованием аналогичных мультипольное расширение методы, которые описывают поля от статических источников, однако есть важные различия в деталях анализа, потому что мультипольные поля излучения ведут себя совершенно иначе, чем статические поля. Эта статья в первую очередь касается электромагнитного мультипольного излучения, хотя гравитационные волны рассматриваются аналогично.

Электромагнитное излучение зависит от конструктивных деталей исходной системы электрический заряд и электрический ток. Прямой анализ может оказаться трудновыполнимым, если структура неизвестна или сложна. Многополюсный анализ позволяет разделить излучение на моменты возрастающей сложности. Поскольку электромагнитное поле в большей степени зависит от моментов низшего порядка, чем от моментов более высокого порядка, электромагнитное поле можно аппроксимировать, не зная в деталях его структуру.

Свойства мультипольного излучения

Линейность моментов

С Уравнения Максвелла линейны, электрическое поле и магнитное поле линейно зависят от исходных распределений. Линейность позволяет независимо вычислять поля от различных мультипольных моментов и складывать вместе, чтобы получить общее поле системы. Это всем известный принцип суперпозиции.

Зависимость происхождения мультипольных моментов

Мультипольные моменты вычисляются относительно фиксированной точки расширения, которая считается началом данной системы координат. Смещение начала координат изменяет мультипольные моменты системы, за исключением первого отличного от нуля момента.^[4][5] Например, монопольный момент заряда - это просто полный заряд в системе. Изменение происхождения никогда не изменит этого момента. Если монопольный момент равен нулю, то дипольный момент системы будет трансляционно-инвариантным. Если и монопольный, и дипольный моменты равны нулю, то квадрупольный момент инвариантен относительно сдвига и т. Д. Поскольку моменты высших порядков зависят от положения начала координат, их нельзя рассматривать как инвариантные свойства системы.

Зависимость поля от расстояния

Поле мультипольного момента зависит как от расстояния от начала координат, так и от угловой ориентации точки оценки относительно системы координат.^[4] В частности, радиальная зависимость электромагнитного поля от стационарный ${\displaystyle 2^{\ell }}$-полюсные весы как ${\displaystyle 1/r^{\ell +2}}$.^[2] То есть электрическое поле от электрический монополь момент масштабируется как квадрат обратного расстояния. Точно так же электрический диполь moment создает поле, масштабируемое как куб, обратно пропорциональный расстоянию, и так далее. По мере увеличения расстояния вклад моментов высокого порядка становится намного меньше, чем вклад моментов низкого порядка, поэтому моменты высокого порядка можно не учитывать для упрощения вычислений.

Радиальная зависимость радиационных волн отличается от статических полей, поскольку эти волны уносят энергию от системы. Поскольку энергия должна быть сохранена, простой геометрический анализ показывает, что плотность энергии сферического излучения радиусом ${\displaystyle r}$, должен масштабироваться как ${\displaystyle 1/r^{2}}$. Когда сферическая волна расширяется, фиксированная энергия волны должна распространяться по расширяющейся сфере площадью поверхности ${\displaystyle 4\pi r^{2}}$. Соответственно, каждый зависящий от времени мультипольный момент должен вносить вклад в плотность лучистой энергии, которая масштабируется как ${\displaystyle 1/r^{2}}$, независимо от порядка момента. Следовательно, моменты высокого порядка не могут быть отброшены так же легко, как в статическом случае. Даже в этом случае мультипольные коэффициенты системы обычно убывают с увеличением порядка, обычно как ${\displaystyle 1/(2\ell +1)!!}$, поэтому поля излучения все еще можно аппроксимировать путем усечения моментов высокого порядка.^[5]

Электромагнитные поля, зависящие от времени

Источники

Зависящие от времени распределения источников могут быть выражены с помощью Анализ Фурье. Это позволяет анализировать отдельные частоты независимо. Плотность заряда определяется как

${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }d\omega \,{\hat {\rho }}(\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}}$

и плотность тока на

${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }d\omega \,{\hat {\mathbf {J} }}(\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}}$.^[6]

Для удобства, начиная с этого момента, рассматривается только одна угловая частота ω; таким образом

${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}$

${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}$

В принцип суперпозиции может применяться для обобщения результатов для нескольких частот.^[5] Векторные величины выделены жирным шрифтом. Используется стандартное соглашение о принятии действительной части комплексных величин для представления физических величин.

Собственный угловой момент элементарных частиц (см. Спин (физика) ) также может влиять на электромагнитное излучение от некоторых исходных материалов. Чтобы учесть эти эффекты, собственная намагниченность системы ${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {x} ,t)}$ нужно будет принять во внимание. Однако для простоты эти эффекты будут отложены до обсуждения обобщенного мультипольного излучения.

Потенциал

Исходные распределения могут быть интегрированы для получения зависящего от времени электрический потенциал и магнитный потенциал φ и А соответственно. Формулы выражены в Lorenz Gauge в Единицы СИ.^[5][6]

${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int d^{3}\mathbf {x'} \int dt'{\frac {\rho (\mathbf {x'} ,t')}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\delta \left(t'-(t-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}{c}})\right)}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int d^{3}\mathbf {x'} \int dt'{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x'} ,t')}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\delta \left(t'-(t-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}{c}})\right)}$

В этих формулах c это скорость света в вакууме, ${\displaystyle \delta }$ это Дельта-функция Дирака, и ${\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}$ это Евклидово расстояние от исходной точки Икс' к точке оценки Икс. Интегрирование зависящих от времени распределений источников выше дает

${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}e^{-i\omega t}\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} ){\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}e^{-i\omega t}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} ){\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}}$

куда k= ω /c. Эти формулы служат основой для анализа мультипольного излучения.

Многополюсное расширение в ближней зоне

Ближнее поле - это область вокруг источника, в которой электромагнитное поле можно оценить квазистатически. Если заданное расстояние от источника мультиполя ${\displaystyle r=\|\mathbf {x} \|_{2}}$ намного меньше длины волны излучения ${\displaystyle \lambda =2\pi /k}$, тогда ${\displaystyle kr\ll 1}$. В результате экспоненту в этой области можно аппроксимировать как:

${\displaystyle e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}=1+O(kr)}$

Видеть Расширение Тейлора. Используя это приближение, оставшиеся Икс'Зависимость такая же, как и для статической системы, применяется тот же анализ.^[4][5] По сути, потенциалы можно оценить в ближнем поле в данный момент, просто сделав снимок системы и рассматривая его как статический - отсюда и название квазистатического.^[5] Видеть ближнее и дальнее поле и мультипольное расширение. В частности, обратное расстояние ${\displaystyle 1/\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}$ расширяется с использованием сферические гармоники которые интегрируются отдельно для получения коэффициентов сферического мультиполя.

Многопольное расширение в дальней зоне: мультипольное излучение

На большом расстоянии от источника высокой частоты, ${\displaystyle \lambda \ll r}$, имеют место следующие приближения:

${\displaystyle {\frac {1}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}={\frac {1}{r}}+O(1/r^{2})}$

${\displaystyle e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}=e^{ik(r-\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} +O(1/r))}=e^{ikr-ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} }(1+O(1/r))}$

Поскольку только член первого порядка в ${\displaystyle 1/r}$ имеет значение на больших расстояниях, расширения в совокупности дают

${\displaystyle {\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}={\frac {e^{ikr}}{r}}(1-ik(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )+{\frac {(-ik)^{2}}{2}}(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )^{2}+...)+O(1/r^{2})}$

Каждая сила ${\displaystyle \mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} }$ соответствует другому мультипольному моменту. Ниже приводится оценка первых моментов.

Излучение электрического монополя, отсутствие

Член нулевого порядка, ${\displaystyle {\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}}$, применительно к скалярному потенциалу дает

${\displaystyle \phi _{\text{Electric monopole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )={\frac {e^{ikr-i\omega t}}{4\pi \epsilon _{0}r}}q}$

где общий заряд ${\displaystyle q=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )}$ - электрический монопольный момент, колеблющийся с частотой ω. Сохранение заряда требует q= 0, поскольку

${\displaystyle q(t)=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} ,t)=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )e^{-i\omega t}=qe^{-i\omega t}}$.

Если система закрыта, то общий заряд не может колебаться, что означает амплитуду колебаний. q должно быть равно нулю. Следовательно, ${\displaystyle \phi _{\text{Electric monopole}}(\mathbf {x} ,t)=0}$. Соответствующие поля и мощность излучения также должны быть равны нулю.^[5]

Электродипольное излучение

Основная статья: Дипольная антенна § Диполь Герца

Электрический дипольный потенциал

Излучение электрического диполя может быть получено путем применения члена нулевого порядка к векторному потенциалу.^[5]

${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} )}$

Интеграция по частям дает^[7]

${\displaystyle \int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} )=-\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))}$.

и заряд уравнение неразрывности показывает

${\displaystyle {\frac {\partial \rho (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\left(-i\omega \rho (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} )\right)e^{-i\omega t}=0}$.

Следует, что

${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-i\omega \mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )}$

Аналогичные результаты можно получить, применяя член первого порядка, ${\displaystyle {\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )}$ к скалярному потенциалу. Амплитуда электрического дипольного момента системы равна ${\displaystyle \mathbf {p} =\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )}$, что позволяет выразить потенциалы как

${\displaystyle \phi _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ik}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {n} \cdot \mathbf {p} }$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-i\omega \mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {p} }$

Поля электрических диполей

Как только зависящие от времени потенциалы поняты, зависящие от времени электрическое поле и магнитное поле можно рассчитать обычным способом. А именно,

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=-\mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {x} ,t)-{\frac {\partial \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}$,

или, в области пространства, свободного от источников, соотношение между магнитным полем и электрическим полем может быть использовано для получения

${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)={\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)}$

куда ${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\mu _{0}/\epsilon _{0}}}}$ это импеданс свободного пространства. Электрические и магнитные поля, соответствующие приведенным выше потенциалам, равны

${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {ck^{2}}{4\pi }}(\mathbf {n} \times \mathbf {p} ){\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)=Z_{0}(\mathbf {H} _{\text{Electric dipole}}\times \mathbf {n} )}$

что согласуется со сферическими волнами излучения.^[5]

Чистая электрическая дипольная мощность

Плотность мощности, энергия на единицу площади в единицу времени, выражается Вектор Пойнтинга ${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} }$. Отсюда следует, что усредненная по времени удельная мощность на единицу телесный угол дан кем-то

${\displaystyle {\frac {dP(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {r^{2}}{2}}\Re (\mathbf {n} \cdot \mathbf {E} \times \mathbf {H} )}$.

Точечное произведение с ${\displaystyle \mathbf {n} }$ извлекает величину выбросов, а коэффициент 1/2 получается из усреднения по времени. Как объяснялось выше, ${\displaystyle r^{2}}$ отменяет радиальную зависимость плотности энергии излучения. Применение к чистому электрическому диполю дает

${\displaystyle {\frac {dP_{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {c^{2}Z_{0}}{32\pi ^{2}}}k^{4}\|\mathbf {p} \|_{2}^{2}\sin ^{2}\theta }$

где θ измеряется относительно ${\displaystyle \mathbf {p} }$.^[5] Интегрирование по сфере дает полную излучаемую мощность:

${\displaystyle P_{\text{Electric dipole}}={\frac {c^{2}Z_{0}}{12\pi }}k^{4}\|\mathbf {p} \|_{2}^{2}}$

Магнитное дипольное излучение

Магнитный дипольный потенциал

Член первого порядка, ${\displaystyle {\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )}$, приложенная к векторному потенциалу, дает магнитное дипольное излучение и электрическое квадрупольное излучение.^[5]

${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Magnetic dipole / Electric quadrupole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}(-ik)\int d^{3}\mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )}$

Подынтегральное выражение можно разделить на симметричную и антисимметричную части в п и Икс′

${\displaystyle (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )={\frac {1}{2}}\left((\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )+(\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\mathbf {x'} \right)+{\frac {1}{2}}(\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\times \mathbf {n} }$

Второй член содержит эффективную намагниченность, обусловленную током ${\displaystyle \mathbf {M} _{\text{effective}}(\mathbf {x'} )=1/2(\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))}$ а интегрирование дает магнитный дипольный момент.

${\displaystyle \int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {M} _{\text{effective}}(\mathbf {x'} )=\mathbf {m} }$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Magnetic dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ik\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {m} \times \mathbf {n} }$

Заметь ${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Magnetic dipole}}}$ имеет форму, аналогичную ${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{Electric dipole}}}$. Это означает, что магнитное поле от магнитного диполя ведет себя аналогично электрическому полю от электрического диполя. Точно так же электрическое поле от магнитного диполя ведет себя как магнитное поле от электрического диполя. Принимая преобразования

${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{Electric dipole}}\rightarrow Z_{0}\mathbf {H} _{\text{Magnetic dipole}}}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{Electric dipole}}\rightarrow {\frac {-1}{Z_{0}}}\mathbf {E} _{\text{Magnetic dipole}}}$

${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {m} /c}$

на предыдущих результатах дает результаты магнитного диполя.^[5]

Магнитные дипольные поля

${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{Magnetic dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k^{2}Z_{0}}{4\pi }}(\mathbf {n} \times \mathbf {m} ){\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{Magnetic dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-1}{Z_{0}}}(\mathbf {E} _{\text{Magnetic dipole}}\times \mathbf {n} )}$^[5]

Чистая мощность магнитного диполя

Средняя мощность, излучаемая на единицу телесного угла магнитным диполем, равна

${\displaystyle {\frac {dP_{\text{Magnetic dipole}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {Z_{0}}{32\pi ^{2}}}k^{4}\|\mathbf {m} \|_{2}^{2}\sin ^{2}\theta }$

где θ отсчитывается относительно магнитного диполя ${\displaystyle \mathbf {m} }$. Общая излучаемая мощность составляет:

${\displaystyle P_{\text{Magnetic dipole}}={\frac {Z_{0}}{12\pi }}k^{4}\|\mathbf {m} \|_{2}^{2}}$^[5]

Электрическое квадрупольное излучение

Электрический квадрупольный потенциал

Симметричная часть подынтегрального выражения из предыдущего раздела может быть решена путем применения интеграция по частям и заряд уравнение неразрывности как это было сделано для излучения электрического диполя.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int d^{3}\mathbf {x} \left((\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )+(\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\mathbf {x'} \right)={\frac {-i\omega }{2}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Electric quadrupole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k\omega \mu _{0}}{8\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )}$

Это соответствует бесследному электрическому квадруполь тензор момента ${\displaystyle Q_{\alpha \beta }=\int d^{3}\mathbf {x'} (3x'_{\alpha }x'_{\beta }-\|\mathbf {x'} \|_{2}^{2}\delta _{\alpha \beta })\rho (\mathbf {x'} )}$. Сужение второго индекса с вектором нормали ${\displaystyle [Q(\mathbf {n} )]_{\alpha }=\sum _{\beta }Q_{\alpha \beta }n_{\beta }}$ позволяет выразить векторный потенциал как

${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Electric quadrupole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k\omega \mu _{0}}{8\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}{\frac {1}{3}}\mathbf {Q(n)} }$^[5]

Электрические квадрупольные поля

Возникающие магнитные и электрические поля:

${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{Electric quadrupole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ick^{3}}{24\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {n} \times \mathbf {Q(n)} }$

${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{Electric quadrupole}}(\mathbf {x} ,t)=Z_{0}(\mathbf {H} _{\text{Electric quadrupole}}\times \mathbf {n} )}$^[5]

Чистая электрическая квадрупольная мощность

Средняя мощность, излучаемая на единицу телесного угла электрическим квадруполем, равна

${\displaystyle {\frac {dP_{\text{Electric quadrupole}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {c^{2}Z_{0}}{1152\pi ^{2}}}k^{6}\|(\mathbf {n} \times \mathbf {Q(n)} )\times \mathbf {n} \|_{2}^{2}}$

где θ отсчитывается относительно магнитного диполя ${\displaystyle \mathbf {m} }$. Общая излучаемая мощность составляет:

${\displaystyle P_{\text{Electric quadrupole}}={\frac {c^{2}Z_{0}}{1440\pi }}k^{6}\sum _{\alpha ,\beta }Q_{\alpha \beta }^{2}}$^[5]

Обобщенное мультипольное излучение

По мере увеличения мультипольного момента распределения источника прямые вычисления, используемые до сих пор, становятся слишком громоздкими для продолжения. Анализ высших моментов требует более общей теоретической техники. Как и раньше, частота одного источника ${\displaystyle \omega }$ Считается. Следовательно, заряд, ток и собственная плотность намагниченности определяются выражениями

${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}$

${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}$

${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {M} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}$

соответственно. Результирующие электрическое и магнитное поля имеют ту же зависимость от времени, что и источники.

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {E} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}$

${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {H} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}$

Использование этих определений и уравнения неразрывности позволяет записать уравнения Максвелла в виде

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} (\mathbf {x} )=-{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} )}$

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} )}$

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} (\mathbf {x} )=ikZ_{0}\left(\mathbf {H} (\mathbf {x} )+\mathbf {M} (\mathbf {x} )\right)}$

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} (\mathbf {x} )=-{\frac {ik}{Z_{0}}}\mathbf {E} (\mathbf {x} )+\mathbf {J} (\mathbf {x} )}$

Эти уравнения можно объединить, взяв ротор из последних уравнений и применив тождество ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {V} )=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} )-\mathbf {\nabla } ^{2}\mathbf {V} }$. Это дает векторные формы неоднородного уравнения Гельмгольца.

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} (\mathbf {x} )=-\left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} )+ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} )+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]}$

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} ))\right]}$

Решения волнового уравнения

Однородные волновые уравнения, описывающие электромагнитное излучение с частотой ${\displaystyle \omega }$ в безисточниковой области имеют вид.

${\displaystyle (\mathbf {\nabla } ^{2}+k^{2})\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=0}$

Волновая функция ${\displaystyle \mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )}$ можно выразить как сумму векторные сферические гармоники

${\displaystyle \mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )}$

${\displaystyle f_{\ell m}(kr)=A_{\ell m}^{(1)}h_{\ell }^{(1)}(kr)+A_{\ell m}^{(2)}h_{\ell }^{(2)}(kr)}$

Где ${\displaystyle \mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )=\mathbf {L} Y_{\ell m}(\theta ,\phi )/{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}$ - нормированные векторные сферические гармоники и ${\displaystyle h_{\ell }^{(1)}}$ и ${\displaystyle h_{\ell }^{(2)}}$ являются сферическими функциями Ганкеля. Видеть сферические функции Бесселя. Дифференциальный оператор ${\displaystyle \mathbf {L} =-i\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla } }$ - оператор углового момента со свойством ${\displaystyle L^{2}Y_{\ell m}=\ell (\ell +1)Y_{\ell m}}$. Коэффициенты ${\displaystyle A_{\ell m}^{(1)}}$ и ${\displaystyle A_{\ell m}^{(2)}}$ соответствуют расширяющейся и сжимающейся волнам соответственно. Так ${\displaystyle A_{\ell m}^{(2)}=0}$ для излучения. Для определения других коэффициентов Функция Грина для волнового уравнения. Если исходное уравнение

${\displaystyle (\mathbf {\nabla } ^{2}+k^{2})\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=-\mathbf {V} (\mathbf {x} )}$

тогда решение:

${\displaystyle \Psi _{\alpha }(\mathbf {x} )=\sum _{\beta }\int d^{3}\mathbf {x'} G_{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )V_{\beta }(\mathbf {x'} )}$

Функцию Грина можно выразить в векторных сферических гармониках.

${\displaystyle G_{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }ikh_{\ell }^{(1)}(kr)j_{\ell }(kr')X_{\ell m\alpha }(\theta ,\phi )X_{\ell m\beta }^{*}(\theta ',\phi ')}$

Обратите внимание, что ${\displaystyle \mathbf {X} _{\ell m}^{*}=Y_{\ell m}^{*}\mathbf {L} /{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}$ - дифференциальный оператор, действующий на функцию источника ${\displaystyle \mathbf {V} }$. Таким образом, решение волнового уравнения:

${\displaystyle \mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x'} )}$

Электрические мультипольные поля

Применяя вышеупомянутое решение к уравнению электрической мультипольной волны

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} ))\right]}$

дает решение для магнитного поля:^[5]

${\displaystyle \mathbf {H} ^{(E)}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }a_{\ell m}^{(E)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )}$

${\displaystyle a_{\ell m}^{(E)}={\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x'} )+\mathbf {\nabla '} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} )+\mathbf {\nabla '} (\mathbf {\nabla '} \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))\right]}$

Электрическое поле:

${\displaystyle \mathbf {E} ^{(E)}(\mathbf {x} )={\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} ^{(E)}(\mathbf {x} )}$

Формулу можно упростить, применив тождества

${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} )=i\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {V} (\mathbf {x} ))}$

${\displaystyle \mathbf {L} \cdot (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {V} (\mathbf {x} ))=i\nabla ^{2}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} ))-{\frac {i\partial }{r\partial r}}(r^{2}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} ))}$

${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {\nabla } s(\mathbf {x} )=0}$

к подынтегральному выражению, что приводит к^[5]

${\displaystyle a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[-ik\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))-{\frac {i}{k}}\nabla ^{2}(\mathbf {x'} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))-{\frac {c\partial }{r'\partial r'}}(r'^{2}\rho (\mathbf {x'} ))\right]}$

Теорема Грина и интеграция по частям манипулирует формулой в

${\displaystyle a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[-ik\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))+ik\mathbf {x'} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} )\right]+cY_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\rho (\mathbf {x'} ){\frac {\partial }{\partial r'}}(r'j_{\ell }(kr'))}$

В сферическая функция Бесселя ${\displaystyle j_{\ell }(kr')}$ также можно упростить, если предположить, что масштаб длины излучения намного больше, чем масштаб длины источника, что верно для большинства антенн.

${\displaystyle j_{\ell }(kr')={\frac {(kr')^{\ell }}{(2\ell +1)!!}}+O((kr')^{\ell +2})}$

Сохранение только членов самого низкого порядка приводит к упрощенной форме для электрических мультипольных коэффициентов:^[5]

${\displaystyle a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ick^{\ell +2}}{(2\ell +1)!!}}\left({\frac {\ell +1}{\ell }}\right)^{1/2}[Q_{\ell m}+Q_{\ell m}']}$

${\displaystyle Q_{\ell m}=\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\rho (\mathbf {x'} )}$

${\displaystyle Q_{\ell m}'=-{\frac {ik}{c(\ell +1)}}\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))}$

${\displaystyle Q_{\ell m}}$ то же самое, что и электрический мультипольный момент в статическом случае, если бы он был применен к распределению статического заряда ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}$ в то время как ${\displaystyle Q_{\ell m}'}$ соответствует наведенному электрическому мультипольному моменту от собственной намагниченности исходного материала.

Магнитные мультипольные поля

Применяя вышеуказанное решение к уравнению магнитной мультипольной волны

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} (\mathbf {x} )=-\left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} )+ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} ))+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]}$

дает решение для электрического поля:^[5]

${\displaystyle \mathbf {E} ^{(M)}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }a_{\ell m}^{(M)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )}$

${\displaystyle a_{\ell m}^{(M)}={\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} )+ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} ))+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]}$

Магнитное поле:

${\displaystyle \mathbf {H} ^{(M)}(\mathbf {x} )=-{\frac {i}{kZ_{0}}}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} ^{(M)}(\mathbf {x} )}$

Как и прежде, форум упрощается:

${\displaystyle a_{\ell m}^{(M)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))-k^{2}\mathbf {x'} \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} )\right]+Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} ){\frac {\partial }{\partial r'}}(r'j_{\ell }(kr'))}$

Сохранение только членов самого низкого порядка приводит к упрощенной форме для коэффициентов магнитного мультиполя:^[5]

${\displaystyle a_{\ell m}^{(M)}={\frac {-ik^{\ell +2}}{(2\ell +1)!!}}\left({\frac {\ell +1}{\ell }}\right)^{1/2}[M_{\ell m}+M_{\ell m}']}$

${\displaystyle M_{\ell m}={\frac {1}{\ell +1}}\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))}$

${\displaystyle M_{\ell m}'=\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} )}$

${\displaystyle M_{\ell m}}$ - магнитный мультипольный момент от эффективной намагниченности ${\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )/2}$ пока ${\displaystyle M_{\ell m}'}$ corresponds to the intrinsic magnetization ${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {x} )}$.

General solution

The electric and magnetic multipole fields combine to give the total fields:^[5]

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\Re \left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left[a_{\ell m}^{(M)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )+{\frac {iZ_{0}}{k}}a_{\ell m}^{(E)}\mathbf {\nabla } \times (h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi ))\right]e^{-i\omega t}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)=\Re \left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left[a_{\ell m}^{(E)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )-{\frac {i}{kZ_{0}}}a_{\ell m}^{(M)}\mathbf {\nabla } \times (h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi ))\right]e^{-i\omega t}\right)}$

Note that the radial function ${\displaystyle h_{\ell }^{(1)}(kr)}$ can be simplified in the far field limit ${\displaystyle 1/r\ll 1}$.

${\displaystyle h_{\ell }^{(1)}(kr)=(-i)^{\ell +1}{\frac {e^{ikr}}{kr}}+O(1/r^{2})}$

Thus the radial dependence of radiation is recovered.

Смотрите также

• Многополюсное расширение
• Spherical harmonics
• Vector spherical harmonics
• Near and far field

Рекомендации

^{[1][2][3][4][5][6]}

1. Hartle, James B. (2003). Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity. Эддисон-Уэсли. ISBN  0-8053-8662-9.
2. Rose, M. E. (1955). Multipole Fields. Джон Уайли и сыновья.
3. Blatt, John M.; Weisskopf, Victor F. (1963). Theoretical Nuclear Physics - Seventh Printing. Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-30932-X.
4. Raab, Roger E.; de Lange, Owen L. (2004). Multipole Theory in Electromagnetism. Oxford University Press. ISBN  978-0-19-856727-1.
5. Jackson, John David (1999). Classical Electrodynamics - Third Edition. Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-30932-X.
6. Hafner, Christian (1990). The Generalized Multipole Technique for Computational Electromagnetics. Артек Хаус. ISBN  0-89006-429-6.
7. Robert G. Brown (2007-12-28). "Vector Calculus: Integration by Parts". Classical Electrodynamics: Part II.