Теорема о несжимании - Non-squeezing theorem - Wikipedia

В теорема о несжимании, также называемый Теорема Громова о невыжимании, является одной из важнейших теорем в симплектическая геометрия.^[1] Впервые это было доказано в 1985 г. Михаил Громов.^[2] Теорема утверждает, что нельзя вставить шар в цилиндр с помощью симплектическая карта если радиус шара не меньше или равен радиусу цилиндра. Важность этой теоремы заключается в следующем: очень мало было известно о геометрии, лежащей в основе симплектические преобразования.

Простое следствие того, что преобразование является симплектическим, состоит в том, что оно сохраняет объем.^[3] Шар любого радиуса легко вложить в цилиндр любого другого радиуса с помощью сохраняющий объем трансформация: просто картинка выдавливание шар в цилиндр (отсюда и название теоремы о несжимании). Таким образом, теорема о несжимаемости говорит нам, что, хотя симплектические преобразования сохраняют объем, для преобразования гораздо более жестко быть симплектическим, чем для сохранения объема.

Предпосылки и заявление

Начнем с рассмотрения симплектических пространств

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}=\{z=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})\},}$

шар радиуса р: ${\displaystyle B(R)=\{z\in \mathbb {R} ^{2n}|\|z\|<R\},}$

и цилиндр радиуса р: ${\displaystyle Z(r)=\{z\in \mathbb {R} ^{2n}~|~x_{1}^{2}+y_{1}^{2}~|~<r^{2}\},}$

каждый наделен симплектическая форма

${\displaystyle \omega =dx_{1}\wedge dy_{1}+\cdots +dx_{n}\wedge dy_{n}.}$

Примечание. Выбор осей для цилиндра не является произвольным, учитывая фиксированную симплектическую форму выше; а именно, каждая окружность цилиндра лежит в симплектическом подпространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$.

Теорема о несжимаемости говорит нам, что если мы сможем найти симплектическое вложение φ : B(р) → Z(р) тогда р ≤ р.

«Симплектический верблюд»

Теорема Громова о несжимаемости получила также название принцип симплектического верблюда поскольку Ян Стюарт упомянул об этом, сославшись на притчу о верблюд и игольное ушко.^[4] В качестве Морис А. де Госсон состояния:

Итак, почему мы упоминаем симплектического верблюда в названии этой статьи? Это связано с тем, что теорему Громова можно переформулировать следующим образом: деформировать фазовое пространство мяч с использованием канонические преобразования таким образом, чтобы мы могли пропустить его через отверстие в плоскости сопряженных координат ${\displaystyle x_{j}}$ , ${\displaystyle p_{j}}$ если площадь этой лунки меньше, чем площадь поперечного сечения этого мяча.

— Морис А. де Госсон, Симплектический верблюд и принцип неопределенности: верхушка айсберга?^[5]

По аналогии:

Интуитивно понятно, что объем в фазовом пространстве не может быть растянут относительно одной конкретной симплектической плоскости больше, чем позволяет его «симплектическая ширина». Другими словами, симплектического верблюда невозможно втиснуть в игольное ушко, если игла достаточно мала. Это очень мощный результат, который тесно связан с гамильтоновой природой системы и представляет собой совершенно иной результат, чем Теорема Лиувилля, который интересует только общий объем и не накладывает никаких ограничений на форма.

— Андреа Чензи, Симплектические верблюды и анализ неопределенности^[6]

Де Госсон показал, что теорема о несжимаемости тесно связана с Неравенство Робертсона – Шредингера – Гейзенберга., обобщение Соотношение неопределенностей Гейзенберга. В Неравенство Робертсона – Шредингера – Гейзенберга. утверждает, что:

${\displaystyle var(Q)var(P)\geq cov^{2}(Q,P)+\left({\frac {\hbar }{2}}\right)^{2}}$

с Q и P канонические координаты и вар и cov функции дисперсии и ковариации.^[7]

Рекомендации

1. Тао, Теренс (2006), Нелинейные дисперсионные уравнения: локальный и глобальный анализ, Серия региональных конференций CBMS по математике, 106, Американское математическое общество, стр. 219, МИСТЕР  2233925, Эта теорема особенно удивительна в свете теоремы Дарбу ... Это результат фундаментальной важности в симплектической геометрии..
2. Громов, М. Л. (1985). «Псевдоголоморфные кривые в симплектических многообразиях». Inventiones Mathematicae. 82: 307–347. Bibcode:1985InMat..82..307G. Дои:10.1007 / BF01388806.
3. Д. Макдафф и Д. Саламон (1996) Введение в симплектическую топологию, Издательство Кембриджского университета ISBN  978-0-19-850451-1.
4. Стюарт, И .: Симплектический верблюд, Nature 329 (6134), 17–18 (1987), Дои:10.1038 / 329017a0. Цитируется по Морису А. де Госсону: Симплектический верблюд и принцип неопределенности: верхушка айсберга?, Основы физики (2009) 39, стр. 194–214, Дои:10.1007 / s10701-009-9272-2, в нем: с. 196
5. Морис А. де Госсон: Симплектический верблюд и принцип неопределенности: верхушка айсберга?, Основы физики (2009) 39, стр. 194–214, Дои:10.1007 / s10701-009-9272-2, в нем: с. 199
6. Андреа Цензи: Симплектические верблюды и анализ неопределенности
7. Морис де Госсон: Насколько классична квантовая вселенная? arXiv: 0808.2774v1 (представлено 20 августа 2008 г.)

дальнейшее чтение

• Морис А. де Госсон: Симплектическое яйцо, arXiv: 1208.5969v1, поданная 29 августа 2012 г. - включает доказательство варианта теоремы для случая линейный канонические преобразования
• Дуса Макдафф: Что такое симплектическая геометрия?, 2009