Nu-преобразование - Nu-transform

В теории случайные процессы, а ν-преобразование это операция, которая преобразует мера или точечный процесс в другой точечный процесс. Интуитивно ν-преобразование случайным образом перемещает точки точечного процесса, причем тип перемещения зависит от положения каждой точки.

Определение

Для мер

Позволять ${\displaystyle \delta _{x}}$ обозначить Мера Дирака по делу ${\displaystyle x}$ и разреши ${\displaystyle \mu }$ быть простой точечной мерой на ${\displaystyle S}$. Это значит, что

${\displaystyle \mu =\sum _{k}\delta _{s_{k}}}$

для различных ${\displaystyle s_{k}\in S}$ и ${\displaystyle \mu (B)<\infty }$ для каждого ограниченного множества ${\displaystyle B}$ в ${\displaystyle S}$. Далее, пусть ${\displaystyle \nu }$ быть Марковское ядро из ${\displaystyle S}$ к ${\displaystyle T}$.

Позволять ${\displaystyle \tau _{k}}$ быть независимыми случайными элементами с распределением ${\displaystyle \nu _{s_{k}}=\nu (s_{k},\cdot )}$. Тогда точечный процесс

${\displaystyle \zeta =\sum _{k}\delta _{\tau _{k}}}$

называется ν-преобразованием меры ${\displaystyle \mu }$ если он локально конечен, что означает, что ${\displaystyle \zeta (B)<\infty }$ для каждого ограниченного множества ${\displaystyle B}$^[1]

Для точечных процессов

Для точечный процесс ${\displaystyle \xi }$, процесс второй точки ${\displaystyle \zeta }$ называется ${\displaystyle \nu }$-преобразование ${\displaystyle \xi }$ если, при условии ${\displaystyle \{\xi =\mu \}}$, точечный процесс ${\displaystyle \zeta }$ это ${\displaystyle \nu }$-преобразование ${\displaystyle \mu }$.^[1]

Характеристики

Стабильность

Если ${\displaystyle \zeta }$ это Процесс Кокса направленный случайной мерой ${\displaystyle \xi }$, то ${\displaystyle \nu }$-преобразование ${\displaystyle \zeta }$ снова является процессом Кокса, управляемым случайной мерой ${\displaystyle \xi \cdot \nu }$ (увидеть Переходное ядро ​​# Состав ядер )^[2]

Следовательно ${\displaystyle \nu }$-преобразование Пуассоновский процесс с мерой интенсивности ${\displaystyle \mu }$ это Процесс Кокса направленный случайная мера с распределением ${\displaystyle \mu \cdot \nu }$.

Преобразование Лапласа

Это ${\displaystyle \zeta }$ это ${\displaystyle \nu }$-преобразование ${\displaystyle \xi }$, то Преобразование Лапласа из ${\displaystyle \zeta }$ дан кем-то

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\zeta }(f)=\exp \left(\int \log \left[\int \exp(-f(t))\mu _{s}(\mathrm {d} t)\right]\xi (\mathrm {d} s)\right)}$

для всех ограниченных, положительных и измеримых функций ${\displaystyle f}$.^[1]

Рекомендации

1. Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения. Швейцария: Шпрингер. п. 73. Дои:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3.
2. Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения. Швейцария: Шпрингер. п. 75. Дои:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3.