Заказать встраивание - Order embedding

В теория порядка, филиал математика, заказать встраивание особый вид монотонная функция, что дает возможность включить один частично заказанный набор в другой. Нравиться Связи Галуа, порядковые вложения составляют понятие, которое строго слабее, чем понятие изоморфизм порядка. Оба эти ослабления можно понять с точки зрения теория категорий.

Формальное определение

Формально, учитывая два частично упорядоченных множества (посец) ${\displaystyle (S,\leq )}$ и ${\displaystyle (T,\preceq )}$, а функция ${\displaystyle f:S\to T}$ является заказать встраивание если ${\displaystyle f}$ оба сохраняющий порядок и отражающий порядок, т.е. для всех ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle S}$, надо

${\displaystyle x\leq y{\text{ if and only if }}f(x)\preceq f(y).}$^[1]

Такая функция обязательно инъективный, поскольку ${\displaystyle f(x)=f(y)}$ подразумевает ${\displaystyle x\leq y}$ и ${\displaystyle y\leq x}$.^[1] Если порядок вложения между двумя посетами ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle T}$ существует, говорят, что ${\displaystyle S}$ может быть встроен в ${\displaystyle T}$.

Характеристики

Взаимный порядок вложения ${\displaystyle (0,1)}$ и ${\displaystyle [0,1]}$, с помощью ${\displaystyle f(x)=(94x+3)/100}$ в обоих направлениях.

Набор ${\displaystyle S}$ делителей 6, частично упорядоченных Икс разделяет у. Вложение ${\displaystyle id:\{1,2,3\}\to S}$ не может быть притяжением.

Порядковый изоморфизм можно охарактеризовать как сюръективный заказать встраивание. Как следствие, вложение любого порядка ж ограничивается изоморфизмом между его домен S и это изображение ж(S), что оправдывает термин «вложение».^[1] С другой стороны, вполне может быть, что два (обязательно бесконечных) множества могут быть взаимно упорядоченно встраиваемыми друг в друга, но не изоморфны по порядку.

Примером может служить открытый интервал ${\displaystyle (0,1)}$ из действительные числа и соответствующие закрытый интервал ${\displaystyle [0,1]}$. Функция ${\displaystyle f(x)=(94x+3)/100}$ сопоставляет первое с подмножество ${\displaystyle (0.03,0.97)}$ последнего и последнего к подмножеству ${\displaystyle [0.03,0.97]}$из первых, см. картинку. Заказывая оба набора естественным образом, ${\displaystyle f}$ одновременно сохраняет и отражает порядок (потому что это аффинная функция ). Тем не менее, никакого изоморфизма между двумя наборами не может существовать, поскольку, например, ${\displaystyle [0,1]}$ имеет наименьший элемент пока ${\displaystyle (0,1)}$ Для аналогичного примера с использованием arctan для упорядочения встраивания действительных чисел в интервал, а карта идентичности для обратного направления см., например, Просто и Уиз (1996).^[2]

Ретракт - это пара ${\displaystyle (f,g)}$ сохраняющих порядок карт, сочинение ${\displaystyle g\circ f}$ это личность. В этом случае, ${\displaystyle f}$ называется коретракцией и должен быть порядковым вложением.^[3] Однако не всякое вложение порядка является корретракцией. В качестве тривиального примера однозначное вложение порядка ${\displaystyle f:\emptyset \to \{1\}}$ из пустого poset в непустой poset нет ретракта, потому что нет сохраняющего порядок отображения ${\displaystyle g:\{1\}\to \emptyset }$. Более наглядно рассмотрим набор ${\displaystyle S}$ из делители из 6, частично заказано Икс разделяет усм. картинку. Рассмотрим вложенное подмножество ${\displaystyle \{1,2,3\}}$. Отказ от вложения ${\displaystyle id:\{1,2,3\}\to S}$ нужно будет отправить ${\displaystyle 6}$ куда-то в ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ выше обоих ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle 3}$, но такого места нет.

Дополнительные перспективы

Посеты можно легко рассматривать со многих точек зрения, а вложения порядка достаточно просты, чтобы их можно было увидеть отовсюду. Например:

• (Теоретическая модель ) А poset - это набор, снабженный (рефлексивным, антисимметричным и переходным) бинарное отношение. Встраивание заказа А → B является изоморфизмом из А для элементарная подструктура из B.
• (Теоретически граф ) А poset - это (переходный, ациклический, направленный, рефлексивный) график. Встраивание заказа А → B это изоморфизм графов из А для индуцированный подграф из B.
• (Категория теоретически ) Пуз - это (маленький, тонкий и скелетный) категория так что каждый homset имеет не более одного элемента. Встраивание заказа А → B полный и верный функтор из А к B который инъективен на объектах, или, что то же самое, изоморфизм от А к полная подкатегория из B.

Смотрите также

• Теорема Душника – Миллера
• Теорема Лавера

Рекомендации

1. Davey, B.A .; Пристли, Х.А. (2002), "Карты между упорядоченными множествами", Введение в решетки и порядок (2-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, стр. 23–24, ISBN  0-521-78451-4, МИСТЕР  1902334.
2. Просто, Винфрид; Виз, Мартин (1996), Открытие современной теории множеств: основы, Монографии Института Филдса, 8, Американское математическое общество, стр. 21, ISBN  9780821872475
3. Даффус, Дуайт; Лафламм, Клод; Пузе, Морис (2008), «Отклонения позы: свойство разрыв цепи и свойство выбора независимы», Универсальная алгебра, 59 (1–2): 243–255, arXiv:математика / 0612458, Дои:10.1007 / s00012-008-2125-6, МИСТЕР  2453498.