Частично упорядоченная группа - Partially ordered group

«Заказанная группа» перенаправляется сюда. Для групп с полным или линейным порядком см. Линейно упорядоченная группа.

В абстрактная алгебра, а частично упорядоченная группа это группа (г, +) оснащен частичный заказ "≤" то есть переводно-инвариантный; другими словами, "≤" обладает тем свойством, что для всех а, б, и г в г, если а ≤ б тогда а + г ≤ б + г и г + а ≤ г + б.

Элемент Икс из г называется положительный элемент если 0 ≤ Икс. Набор элементов 0 ≤ Икс часто обозначается г+, и он называется положительный конус г. Итак, у нас есть а ≤ б если и только если -а + б ∈ г+.

По определению мы можем свести частичный порядок к монадическому свойству: а ≤ б тогда и только тогда, когда 0 ≤ -а + б.

Для общей группы г, наличие положительного конуса задает порядок на г. Группа г является частично упорядоченной группой тогда и только тогда, когда существует подмножество ЧАС (который г+) из г такой, что:

  • 0 ∈ ЧАС
  • если а ∈ ЧАС и б ∈ ЧАС тогда а + б ∈ ЧАС
  • если а ∈ ЧАС тогда -Икс + а + Икс ∈ ЧАС для каждого Икс из г
  • если а ∈ ЧАС и -а ∈ ЧАС тогда а = 0

Частично упорядоченная группа г с положительным конусом г+ как говорят неперфорированный если п · г ∈ г+ для некоторого положительного целого числа п подразумевает г ∈ г+. Отсутствие перфорации означает отсутствие «зазора» в положительном конусе. г+.

Если порядок в группе линейный порядок, то говорят, что это линейно упорядоченная группа.Если порядок в группе порядок решетки, т.е. любые два элемента имеют точную верхнюю границу, то это решеточно-упорядоченная группа (вскоре l-группа, хотя обычно набирается сценарий l: ℓ-группа).

А Группа Рисса представляет собой частично упорядоченную группу без перфорации со свойством немного более слабым, чем у решеточно упорядоченной группы. А именно, группа Рисса удовлетворяет Свойство интерполяции Рисса: если Икс1, Икс2, у1, у2 являются элементами г и Икся ≤ уj, то существует z ∈ г такой, что Икся ≤ z ≤ уj.

Если г и ЧАС две частично упорядоченные группы, карта из г к ЧАС это морфизм частично упорядоченных групп если это одновременно групповой гомоморфизм и монотонная функция. Частично упорядоченные группы вместе с этим понятием морфизма образуют категория.

Частично упорядоченные группы используются при определении оценки из поля.

Примеры

  • Целые числа
  • An упорядоченное векторное пространство частично упорядоченная группа
  • А Пространство Рисса является решеточно-упорядоченной группой
  • Типичный пример частично упорядоченной группы: Zп, где групповая операция - покомпонентное сложение, и мы пишем (а1,...,ап) ≤ (б1,...,бп) если и только если ая ≤ бя (в обычном порядке целых чисел) для всех я = 1,..., п.
  • В более общем смысле, если г является частично упорядоченной группой и Икс - некоторое множество, то множество всех функций из Икс к г снова является частично упорядоченной группой: все операции выполняются покомпонентно. Кроме того, каждый подгруппа из г является частично упорядоченной группой: она наследует порядок от г.
  • Если А является приближенно конечномерная C * -алгебра, или в более общем смысле, если А является стабильно конечной C * -алгеброй с единицей, то K0 (А) является частично упорядоченным абелева группа. (Эллиотт, 1976)

Смотрите также

использованная литература

  • М. Андерсон и Т. Фейл, Группы с решетчатым упорядочением: введение, Д. Рейдел, 1988.
  • М. Р. Дарнел, Теория решеточно-упорядоченных групп, Конспект лекций по чистой и прикладной математике 187, Марсель Деккер, 1995.
  • Л. Фукс, Частично упорядоченные алгебраические системы, Pergamon Press, 1963.
  • А. М. В. Гласс, Упорядоченные группы перестановок, Лондонская математика. Soc. Lecture Notes Series 55, Cambridge U. Press, 1981.
  • Копытов В.М., Кокорин А.И. (пер. Д. Лувиша), Полностью упорядоченные группы, Halsted Press (John Wiley & Sons), 1974.
  • Копытов, Н.Я. Медведев, Правоупорядоченные группы, Сибирская школа алгебры и логики, Бюро консультантов, 1996.
  • Копытов, Н.Я. Медведев, Теория решеточно-упорядоченных групп, Математика и ее приложения 307, Kluwer Academic Publishers, 1994.
  • Р. Б. Мура и А. Ремтулла, Заказываемые группы, Конспект лекций по чистой и прикладной математике 27, Марсель Деккер, 1977.
  • Т.С. Блит, Решетки и упорядоченные алгебраические структуры, Springer, 2005 г., ISBN  1-85233-905-5, гл. 9.
  • Г.А. Эллиотт, О классификации индуктивных пределов последовательностей полупростых конечномерных алгебр, J. Algebra, 38 (1976) 29-44.

внешняя ссылка