Частица в кольце - Particle in a ring

В квантовая механика, случай частица в одномерном кольце похож на частица в коробке. В Уравнение Шредингера для свободная частица которое ограничено кольцом (технически конфигурационное пространство это круг ${\displaystyle S^{1}}$) является

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi =E\psi }$

Волновая функция

Анимированная волновая функция «когерентного» состояния, состоящего из собственных состояний n = 1 и n = 2.

С помощью полярные координаты на одномерном кольце радиуса R волновая функция зависит только от угловатый координировать, и так

${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {1}{R^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}}$

Требуя, чтобы волновая функция была периодический в ${\displaystyle \ \theta }$ с периодом ${\displaystyle 2\pi }$ (из требования однозначности волновых функций функции на круг ), и что они нормализованный приводит к условиям

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left|\psi (\theta )\right|^{2}\,d\theta =1\ }$,

и

${\displaystyle \ \psi (\theta )=\ \psi (\theta +2\pi )}$

В этих условиях решение уравнения Шредингера дается формулой

${\displaystyle \psi _{\pm }(\theta )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}\theta }}$

Собственные значения энергии

В энергия собственные значения ${\displaystyle E}$ находятся квантованный из-за периодического граничные условия, и они должны удовлетворять

${\displaystyle e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}\theta }=e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}(\theta +2\pi )}}$, или же

${\displaystyle e^{\pm i2\pi {\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}}=1=e^{i2\pi n}}$

Собственная функция и собственная энергия равны

${\displaystyle \psi (\theta )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{\pm in\theta }}$

${\displaystyle E_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}}{2mR^{2}}}}$ где ${\displaystyle n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots }$

Следовательно, есть два вырожденных квантовые состояния для каждого значения ${\displaystyle n>0}$ (соответствует ${\displaystyle \ e^{\pm in\theta }}$). Следовательно, есть 2п+1 состояния с энергиями до энергии, индексированной числом п.

Случай частицы в одномерном кольце - поучительный пример при изучении квантование из угловой момент для, скажем, электрон на орбите ядро. В азимутальный волновые функции в этом случае идентичны энергии собственные функции частицы на кольце.

Утверждение, что любую волновую функцию частицы на кольце можно записать как суперпозиция из энергия собственные функции точно идентичен Теорема Фурье о разработке любых периодических функция в Ряд Фурье.

Эту простую модель можно использовать для определения приблизительных уровней энергии некоторых кольцевых молекул, например бензола.

Заявление

В органическая химия, ароматный соединения содержат атомные кольца, такие как бензол кольца ( Кекуле структура) состоящая из пяти или шести, обычно углерод, атомы. Как и поверхность "Buckyballs "(бакминстерфуллерен). Это кольцо ведет себя как круглая волновод, с валентными электронами, вращающимися в обоих направлениях. Для заполнения всех уровней энергии до n требуется ${\displaystyle 2\times (2n+1)=4n+2}$ электроны, поскольку у электронов есть дополнительно две возможные ориентации их спинов. Это дает исключительную стабильность («ароматический») и известен как Правило Хюккеля.

В дальнейшем в вращательной спектроскопии эту модель можно использовать как приближение вращательных уровней энергии.

Смотрите также

• Угловой момент
• Гармонический анализ
• Одномерный периодический случай