Симплекс паскаля - Pascals simplex - Wikipedia

В математика, Симплекс Паскаля является обобщением Треугольник Паскаля на произвольное количество размеры, на основе полиномиальная теорема.

Общий Паскаля м-суплекс

Позволять м (м > 0) - количество слагаемых многочлена и п (п ≥ 0) - степень возведения полинома.

Позволять ${\displaystyle \wedge ^{m}}$ обозначают Паскаля м-симплекс. Каждый Паскаля м-симплекс это полубесконечный объект, состоящий из бесконечного ряда своих компонентов.

Позволять ${\displaystyle \wedge _{n}^{m}}$ обозначить его п^th компонент, сам по себе конечный (м - 1)-симплекс с длиной кромки п, с условным эквивалентом ${\displaystyle \vartriangle _{n}^{m-1}}$.

п^th компонент

${\displaystyle \wedge _{n}^{m}=\vartriangle _{n}^{m-1}}$ состоит из коэффициенты полиномиального разложения полинома с м термины возведены в степень п:

${\displaystyle |x|^{n}=\sum _{|k|=n}{{\binom {n}{k}}x^{k}};\ \ x\in \mathbb {R} ^{m},\ k\in \mathbb {N} _{0}^{m},\ n\in \mathbb {N} _{0},\ m\in \mathbb {N} }$

куда ${\displaystyle \textstyle |x|=\sum _{i=1}^{m}{x_{i}},\ |k|=\sum _{i=1}^{m}{k_{i}},\ x^{k}=\prod _{i=1}^{m}{x_{i}^{k_{i}}}}$.

Пример для ${\displaystyle \wedge ^{4}}$

4-симплекс Паскаля (последовательность A189225 в OEIS ), разрезанный по k₄. Все точки одного цвета принадлежат одному и тому же п-й компонент, от красного (для п = 0) в синий (для п = 3).

Конкретные симплексы Паскаля

1-симплекс Паскаля

${\displaystyle \wedge ^{1}}$ не известен под каким-либо особым именем.

п^th компонент

${\displaystyle \wedge _{n}^{1}=\vartriangle _{n}^{0}}$ (точка) - это коэффициент полиномиального расширения полинома с одним членом в степени п:

${\displaystyle (x_{1})^{n}=\sum _{k_{1}=n}{n \choose k_{1}}x_{1}^{k_{1}};\ \ k_{1},n\in \mathbb {N} _{0}}$

Организация ${\displaystyle \vartriangle _{n}^{0}}$

${\displaystyle \textstyle {n \choose n}}$

что равно 1 для всех п.

2-симплекс Паскаля

${\displaystyle \wedge ^{2}}$ известен как Треугольник Паскаля (последовательность A007318 в OEIS ).

п^th компонент

${\displaystyle \wedge _{n}^{2}=\vartriangle _{n}^{1}}$ (линия) состоит из коэффициентов при биномиальное разложение полинома с двумя членами в степени п:

${\displaystyle (x_{1}+x_{2})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}=n}{n \choose k_{1},k_{2}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}};\ \ k_{1},k_{2},n\in \mathbb {N} _{0}}$

Организация ${\displaystyle \vartriangle _{n}^{1}}$

${\displaystyle \textstyle {n \choose n,0},{n \choose n-1,1},\cdots ,{n \choose 1,n-1},{n \choose 0,n}}$

3-симплекс Паскаля

${\displaystyle \wedge ^{3}}$ известен как Тетраэдр Паскаля (последовательность A046816 в OEIS ).

п^th компонент

${\displaystyle \wedge _{n}^{3}=\vartriangle _{n}^{2}}$ (треугольник) состоит из коэффициентов при трехчленное разложение полинома с тремя членами в степени п:

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+x_{3})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}=n}{n \choose k_{1},k_{2},k_{3}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}x_{3}^{k_{3}};\ \ k_{1},k_{2},k_{3},n\in \mathbb {N} _{0}}$

Организация ${\displaystyle \vartriangle _{n}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\textstyle {n \choose n,0,0}&,\textstyle {n \choose n-1,1,0},\cdots \cdots ,{n \choose 1,n-1,0},{n \choose 0,n,0}\\\textstyle {n \choose n-1,0,1}&,\textstyle {n \choose n-2,1,1},\cdots \cdots ,{n \choose 0,n-1,1}\\&\vdots \\\textstyle {n \choose 1,0,n-1}&,\textstyle {n \choose 0,1,n-1}\\\textstyle {n \choose 0,0,n}\end{aligned}}}$

Характеристики

Наследование компонентов

${\displaystyle \wedge _{n}^{m}=\vartriangle _{n}^{m-1}}$ численно равен каждому (м - 1) -лицо (есть м + 1 из них) из ${\displaystyle \vartriangle _{n}^{m}=\wedge _{n}^{m+1}}$, или же:

${\displaystyle \wedge _{n}^{m}=\vartriangle _{n}^{m-1}\subset \ \vartriangle _{n}^{m}=\wedge _{n}^{m+1}}$

Из этого следует, что весь ${\displaystyle \wedge ^{m}}$ является (м + 1) -включено в ${\displaystyle \wedge ^{m+1}}$, или же:

${\displaystyle \wedge ^{m}\subset \wedge ^{m+1}}$

Пример

        ${\displaystyle \wedge ^{1}}$         ${\displaystyle \wedge ^{2}}$        ${\displaystyle \wedge ^{3}}$         ${\displaystyle \wedge ^{4}}$${\displaystyle \wedge _{0}^{m}}$     1          1          1          1${\displaystyle \wedge _{1}^{m}}$     1         1 1        1 1        1 1  1                             1          1${\displaystyle \wedge _{2}^{m}}$     1        1 2 1      1 2 1      1 2 1  2 2  1                            2 2        2 2    2                             1          1${\displaystyle \wedge _{3}^{m}}$     1       1 3 3 1    1 3 3 1    1 3 3 1  3 6 3  3 3  1                           3 6 3      3 6 3    6 6    3                            3 3        3 3      3                             1          1

Дополнительные термины в приведенном выше массиве см. В (последовательность A191358 в OEIS )

Равноправие лиц

Наоборот, ${\displaystyle \wedge _{n}^{m+1}=\vartriangle _{n}^{m}}$ является (м +1) -кратное время, ограниченное ${\displaystyle \vartriangle _{n}^{m-1}=\wedge _{n}^{m}}$, или же:

${\displaystyle \wedge _{n}^{m+1}=\vartriangle _{n}^{m}\supset \vartriangle _{n}^{m-1}=\wedge _{n}^{m}}$

Из этого следует, что при данном п, все я-лицы численно равны в п^th компоненты всех языков Паскаля (м > я) -симплексы, или:

${\displaystyle \wedge _{n}^{i+1}=\vartriangle _{n}^{i}\subset \vartriangle _{n}^{m>i}=\wedge _{n}^{m>i+1}}$

Пример

3-я компонента (2-симплекс) 3-симплекса Паскаля ограничена 3 равными 1-гранями (линиями). Каждая 1-грань (линия) ограничена двумя равными 0-гранями (вершинами):

2-симплексные 1-грани 2-симплексных 0-граней 1-грани 1 3 3 1 1. . . . . . 1 1 3 3 1 1. . . . . . 1 3 6 3 3. . . . 3. . . 3 3 3. . 3. . 1 1 1.

Также для всех м и все п:

${\displaystyle 1=\wedge _{n}^{1}=\vartriangle _{n}^{0}\subset \vartriangle _{n}^{m-1}=\wedge _{n}^{m}}$

Количество коэффициентов

Для п^th компонент ((м - 1) -симплекс) Паскаля м-симплекс, количество коэффициенты полиномиального разложения он состоит из:

${\displaystyle {(n-1)+(m-1) \choose (m-1)}+{n+(m-2) \choose (m-2)}={n+(m-1) \choose (m-1)}=\left({\binom {m}{n}}\right),}$

(где последний множественный выбор обозначение). Мы можем видеть это либо как сумму числа коэффициентов при (п − 1)^th компонент ((м - 1) -симплекс) Паскаля м-симплекс с числом коэффициентов п^th компонент ((м - 2) -симплекс) Паскаля (м - 1) -симплекс, или рядом всех возможных разбиений п^th власть среди м экспоненты.

Пример

Количество коэффициентов п^th компонент ((м - 1) -симплекс) Паскаля м-суплекс

м-симплекс	п^th компонент	п = 0	п = 1	п = 2	п = 3	п = 4	п = 5
1-симплекс	0-симплекс	1	1	1	1	1	1
2-симплекс	1-симплекс	1	2	3	4	5	6
3-симплексный	2-симплекс	1	3	6	10	15	21
4-симплексный	3-симплексный	1	4	10	20	35	56
5-симплекс	4-симплексный	1	5	15	35	70	126
6-симплекс	5-симплекс	1	6	21	56	126	252

Термины этой таблицы представляют собой треугольник Паскаля в формате симметричной Матрица Паскаля.

Симметрия

An п^th компонент ((м - 1) -симплекс) Паскаля м-simplex имеет (м!) - складная пространственная симметрия.

Геометрия

Ортогональные оси ${\displaystyle k_{1}...k_{m}}$ в m-мерном пространстве вершины компонента в n на каждой оси, вершина в [0, ..., 0] для ${\displaystyle n=0}$.

Числовая конструкция

Завернутый п-я степень большого числа дает мгновенно п-й компонент симплекса Паскаля.

${\displaystyle \left|b^{dp}\right|^{n}=\sum _{|k|=n}{{\binom {n}{k}}b^{dp\cdot k}};\ \ b,d\in \mathbb {N} ,\ n\in \mathbb {N} _{0},\ k,p\in \mathbb {N} _{0}^{m},\ p:\ p_{1}=0,p_{i}=(n+1)^{i-2}}$

куда ${\displaystyle \textstyle b^{dp}=(b^{dp_{1}},\cdots ,b^{dp_{m}})\in \mathbb {N} ^{m},\ p\cdot k={\sum _{i=1}^{m}{p_{i}k_{i}}}\in \mathbb {N} _{0}}$.