Пауль Эрлих - Paul Erlich

Гармоническая энтропия для триад с нижним и верхним интервалом в диапазоне от 200 до 500 центов каждая. Сравнивать

4:5:6 (Помогите ·Информация ),

6:7:9 (Помогите ·Информация ), и

10:12:15 (Помогите ·Информация ). Смотрите в полном разрешении расположение триад на сюжете.

Пространство вокруг интервалов показано выше для последовательности Фарея, порядок 50.

Пауль Эрлих (1972 г.р.) гитарист и теоретик музыки живущий рядом Бостон, Массачусетс. Он известен своей важной ролью в разработке теории регулярные темпераменты, в том числе быть первым, кто определил пижара темперамент^[1]^[2] и его декатонические масштабы в 22-ET.^[3] Он держит Бакалавр степень в области физика из Йельский университет.

Его определение гармоническая энтропия под влиянием Эрнст Терхардт^[4] привлек внимание теоретиков музыки, таких как Уильям Сетхарес. Он предназначен для моделирования одной из составляющих диссонанс как мера неопределенности виртуальный шаг ("отсутствующий фундаментальный") вызывается набором из двух или более звуков. Это измеряет, насколько легко или сложно уместить поля в один гармонический ряд. Например, большинство слушателей оценивают ${ displaystyle {4: 5: 6: 7}}$ гармоническая седьмая аккорд как гораздо больше согласный звук чем ${ displaystyle { tfrac {1} {4: 5: 6: 7}}}$ аккорд. Оба имеют точно такой же набор интервалов между нотами под инверсия, но первый легко уместить в один гармонический ряд (обертоны скорее, чем полутона ). В гармоническом ряду целые числа намного меньше для гармонического септаккорда, ${ displaystyle {4: 5: 6: 7}}$ , по сравнению с обратным, ${ displaystyle {105: 120: 140: 168}}$ . Компоненты диссонанса, не моделируемые этой теорией, включают: критическая полоса грубость, а также тональный контекст (например, увеличенная секунда более диссонирующий, чем второстепенная треть хотя оба могут быть настроены на один и тот же размер, как в 12-ET ).

Для ${ displaystyle n}$ й итерация Диаграмма Фарея, то посредственный между ${ displaystyle j}$ th элемент, ${ displaystyle f_ {j} = a_ {j} / b_ {j}}$ , и следующий самый высокий элемент:

{ displaystyle { frac {a_ {j} + a_ {j + 1}} {b_ {j} + b_ {j + 1}}}}

^[а]

вычитается медиантой между элементом и следующим нижним элементом:

{ displaystyle { frac {a_ {j-1} + a_ {j}} {b_ {j-1} + b_ {j}}}}

Отсюда процесс вычисления гармонической энтропии выглядит следующим образом:
(а) вычислить площади, определяемые нормальной (гауссовой) колоколообразной кривой сверху, и медиантами по бокам
(b) нормализовать сумму площадей, чтобы добавить к 1, чтобы каждая представляла вероятность
(c) вычислить энтропию этого набора вероятностей
См. Внешние ссылки для подробного описания модели гармонической энтропии.

Примечания

^ Медианта двух соотношений, ${ displaystyle { tfrac {a} {b}}}$ и ${ displaystyle { tfrac {c} {d}}}$ , является ${ displaystyle { tfrac {a + c} {b + d}}}$ .