Коэффициент точечно-бисериальной корреляции - Point-biserial correlation coefficient

В точечный коэффициент бисерийной корреляции (р_pb) это коэффициент корреляции используется, когда одна переменная (например, Y) является дихотомический; Y может быть либо «естественным» дихотомическим, например, выпадает ли монета орлом или решкой, либо искусственно дихотомической переменной. В большинстве случаев не рекомендуется проводить искусственную дихотомию переменных.^{[нужна цитата ]}. Когда новая переменная искусственно дихотомизирована, новая дихотомическая переменная может быть концептуализирована как имеющая лежащую в основе непрерывность. Если это так, бисериальная корреляция будет более подходящим расчетом.

Точечно-бисериальная корреляция математически эквивалентна Пирсону (момент произведения) корреляция, то есть если у нас есть одна непрерывно измеряемая переменная Икс и дихотомическая переменная Y, р_XY = р_pb. Это можно показать, присвоив дихотомической переменной два различных числовых значения.

Расчет

Вычислять р_pb, предположим, что дихотомическая переменная Y имеет два значения 0 и 1. Если мы разделим набор данных на две группы, группа 1, получившая значение «1» на Y и группа 2, получившая значение «0» на Y, то коэффициент точечной бисериальной корреляции рассчитывается следующим образом:

${\displaystyle r_{pb}={\frac {M_{1}-M_{0}}{s_{n}}}{\sqrt {\frac {n_{1}n_{0}}{n^{2}}}},}$

где s_п стандартное отклонение, используемое, когда данные доступны для каждого члена населения:

${\displaystyle s_{n}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}}\,,}$

M₁ среднее значение непрерывной переменной Икс для всех точек данных в группе 1, и M₀ среднее значение непрерывной переменной Икс для всех точек данных в группе 2. Далее, п₁ - количество точек данных в группе 1, п₀ - количество точек данных в группе 2 и п - общий размер выборки. Эта формула является вычислительной формулой, которая была получена из формулы для р_XY чтобы уменьшить количество шагов в расчете; вычислить легче, чем р_XY.

Существует эквивалентная формула, в которой используется s_п−1:

${\displaystyle r_{pb}={\frac {M_{1}-M_{0}}{s_{n-1}}}{\sqrt {\frac {n_{1}n_{0}}{n(n-1)}}},}$

где s_п−1 стандартное отклонение, используемое, когда данные доступны только для выборки генеральной совокупности:

${\displaystyle s_{n-1}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}}.}$

Версия формулы с использованием s_п−1 полезен при вычислении коэффициентов точечной бисериальной корреляции на языке программирования или другой среде разработки, где есть функция, доступная для вычисления s_п−1, но нет функции для вычисления s_п.

Книга Гласса и Хопкинса Статистические методы в образовании и психологии, (3-е издание)^[1] содержит правильный вариант точечной бисериальной формулы.

Также квадрат коэффициента точечной бисериальной корреляции можно записать:

${\displaystyle {\frac {(M_{1}-M_{0})^{2}}{\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}}\left({\frac {n_{1}n_{0}}{n}}\right)\,.}$

Мы можем проверить нулевую гипотезу о том, что корреляция в популяции равна нулю. Немного алгебры показывает, что обычная формула для оценки значимости коэффициента корреляции в применении к р_pb, совпадает с формулой для непарного т-тестовое задание и так

${\displaystyle r_{pb}{\sqrt {\frac {n_{1}+n_{0}-2}{1-r_{pb}^{2}}}}}$

следует Распределение Стьюдента с участием (п₁+п₀ - 2) степени свободы, когда нулевая гипотеза верна.

Одним из недостатков точечного бисериального коэффициента является то, что чем дальше Y составляет от 50/50, тем более ограниченным будет диапазон значений, которые может принимать коэффициент. Если Икс можно предположить, что они имеют нормальное распределение, лучший описательный индекс дает бисериальный коэффициент

${\displaystyle r_{b}={\frac {M_{1}-M_{0}}{s_{n}}}{\frac {n_{1}n_{0}}{n^{2}u}},}$

где ты это ордината нормальное распределение с нулевым средним и единичной дисперсией в точке, которая делит распределение на пропорции п₀/п и п₁/п. Это непросто вычислить, а бисериальный коэффициент на практике не получил широкого распространения.

Частный случай бисериальной корреляции имеет место, когда Икс представляет собой сумму ряда дихотомических переменных, из которых Y является одним. Примером этого является то, где Икс общий балл человека за тест, состоящий из п дихотомически оцениваемые предметы. Интересующий статистический показатель (который является индексом дискриминации) - это корреляция между ответами на данный элемент и соответствующими общими баллами за тест. Широко используются три вычисления:^[2] все называют точечно-бисериальная корреляция: (i) корреляция Пирсона между баллами по заданию и общими баллами теста, включая баллы по заданию, (II) корреляция Пирсона между баллами по заданию и общими баллами за тест, исключая баллы по заданию, и (III) корреляция, скорректированная с учетом систематической ошибки, вызванной включение баллов за задания в баллы теста. Корреляция (iii) равна

${\displaystyle r_{upb}={\frac {M_{1}-M_{0}-1}{\sqrt {{\frac {n^{2}s_{n}^{2}}{n_{1}n_{0}}}-2(M_{1}-M_{0})+1}}}.}$

Немного другой вариант точечного бисериального коэффициента - это бисериал ранга, который встречается там, где переменная Икс состоит из рядов, а Y дихотомия. Мы могли бы вычислить коэффициент так же, как где Икс является непрерывным, но у него будет тот же недостаток, что диапазон значений, которые он может принимать, становится более ограниченным по мере того, как распределение Y становится более неравным. Чтобы обойти это, отметим, что коэффициент будет иметь наибольшее значение, когда все самые маленькие ранги противоположны нулю, а самые большие ранги противоположны единицам. Наименьшее его значение имеет место в обратном случае. Это значения соответственно плюс и минус (п₁ + п₀) / 2. Следовательно, мы можем использовать обратную величину этого значения, чтобы изменить масштаб разницы между наблюдаемыми средними рангами на интервале от плюс один до минус один. Результат

${\displaystyle r_{rb}=2{\frac {M_{1}-M_{0}}{n_{1}+n_{0}}},}$

где M₁ и M₀ являются соответственно средними значениями рангов, соответствующих 1 и 0 баллам дихотомической переменной. Эта формула, которая упрощает подсчет совпадений и инверсий, принадлежит Джину В. Глассу (1966).

Это можно использовать для проверки нулевой гипотезы о нулевой корреляции в популяции, из которой была взята выборка. Если р_rb рассчитывается, как указано выше, тогда меньшее из

${\displaystyle (1+r_{rb}){\frac {n_{1}n_{0}}{2}}}$

и

${\displaystyle (1-r_{rb}){\frac {n_{1}n_{0}}{2}}}$

распространяется как Манн – Уитни Ю с размерами выборки п₁ и п₀ когда нулевая гипотеза верна.

Заметки

1. Джин В. Гласс и Кеннет Д. Хопкинс (1995). Статистические методы в образовании и психологии (3-е изд.). Аллин и Бэкон. ISBN  0-205-14212-5.
2. Линакр, Джон (2008). «Ожидаемое значение двухрядной (или аналогичной) точечной корреляции». Сделки по измерениям Раша. 22 (1): 1154.

внешние ссылки

• Точечный бисериальный коэффициент (Кейт Калкинс, 2005)