Политопологическое пространство - Polytopological space

В общая топология, а политопологическое пространство состоит из набор ${\displaystyle X}$ вместе с семья ${\displaystyle \{\tau _{i}\}_{i\in I}}$ из топологии на ${\displaystyle X}$ это линейно упорядоченный посредством отношение включения (${\displaystyle I}$ произвольный набор индексов ). Обычно предполагается, что топологии расположены в неубывающем порядке,^[1][2] но некоторые авторы предпочитают ставить связанные закрытие операторы ${\displaystyle \{k_{i}\}_{i\in I}}$ в неубывающем порядке (операторы ${\displaystyle k_{i}}$ и ${\displaystyle k_{j}}$ удовлетворить ${\displaystyle k_{i}\leq k_{j}}$ если и только если ${\displaystyle k_{i}A\subseteq k_{j}A}$ для всех ${\displaystyle A\subseteq X}$),^[3] в этом случае топологии не должны быть возрастающими.

Политопологические пространства были введены в 2008 году философом Томас Икард с целью определения топологического модель из Полимодальная логика Джапаридзе (GLP).^[1] Впоследствии они стали самостоятельным объектом исследования, в частности, в связи с Проблема Куратовского о замыкании-дополнении.^[2][3]

Определение

An ${\displaystyle L}$‑Топологическое пространство ${\displaystyle (X,\tau )}$это набор ${\displaystyle X}$ вместе с монотонная карта ${\displaystyle \tau :L\to }$ верхний${\displaystyle (X)}$ где ${\displaystyle (L,\leq )}$ это частично заказанный набор и верхний${\displaystyle (X)}$ это множество всех возможных топологий на ${\displaystyle X,}$ заказал по включению. Когда частичный порядок ${\displaystyle \leq }$ - линейный порядок, то ${\displaystyle (X,\tau )}$ называется политопологическое пространство. Принимая ${\displaystyle L}$ быть порядковый номер ${\displaystyle n=\{0,1,\dots ,n-1\},}$ ан ${\displaystyle n}$‑Топологическое пространство ${\displaystyle (X,\tau _{0},\dots ,\tau _{n-1})}$ можно рассматривать как набор ${\displaystyle X}$ вместе с ${\displaystyle n}$ топологии ${\displaystyle \tau _{0}\subseteq \dots \subseteq \tau _{n-1}}$ на нем (или ${\displaystyle \tau _{0}\supseteq \dots \supseteq \tau _{n-1},}$ в зависимости от предпочтений). В более общем плане мультитопологическое пространство ${\displaystyle (X,\tau )}$ это набор ${\displaystyle X}$ вместе с произвольной семьей ${\displaystyle \tau }$ топологий на ${\displaystyle X.}$^[2]

Смотрите также

• Битопологическое пространство

использованная литература

1. Икард, III, Томас Ф. (2008). "Модели логики полимодального обеспечения" (PDF). Дипломная работа. Амстердамский университет.
2. Банах, Тарас; Червак, Остап; Мартынюк, Татьяна; Пилипович, Максим; Равский, Алексей; Симкив, Маркиян (2018). "Моноиды Куратовского n-топологических пространств". Топологическая алгебра и ее приложения. 6 (1): 1–25. Дои:10.1515 / taa-2018-0001.
3. Каниланг, Сара; Коэн, Майкл П .; Грейз, Николас; Сеонг, Ян (2019). "Проблема замыкания-дополнения-границы в насыщенных политопологических пространствах". arXiv: 1907.08203 [math.GN]: 3. arXiv:1907.08203.