Проекция (теория меры) - Projection (measure theory)

В теория меры, проекция карты часто появляются при работе с пространствами товаров: сигма-алгебра произведения из измеримые пространства определяется как наилучшее из таких, что проекционные отображения будут измеримый. Иногда по каким-то причинам пространства продуктов снабжены сигма-алгеброй, отличной от то произведение сигма-алгебры. В этих случаях прогнозы вообще не должны быть измеримыми.

Спроектированное множество измеримого множества называется аналитический набор и не обязательно быть измеримым множеством. Однако в некоторых случаях, либо относительно сигма-алгебры произведения, либо относительно некоторой другой сигма-алгебры, спроецированное множество измеримого множества действительно измеримо.

Анри Лебег сам, один из основоположников теории меры, ошибался в этом факте. В статье 1905 года он писал, что проекция Бореля установлена ​​в самолет на реальная линия снова является борелевским множеством.^[1] Математик Михаил Яковлевич Суслин обнаружил эту ошибку примерно десять лет спустя, и его последующее исследование привело к описательная теория множеств.^[2] Фундаментальная ошибка Лебега состояла в том, что он думал, что проекция коммутирует с убывающим пересечением, в то время как этому есть простые контрпримеры.^[3]

Основные примеры

В качестве примера неизмеримой проекции можно взять пространство ${\displaystyle X:=\left\{0,1\right\}}$ с сигма-алгеброй ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{\emptyset ,\left\{0\right\},\left\{1\right\},\left\{0,1\right\}\right\}}$ и пространство ${\displaystyle y:=\left\{0,1\right\}}$ с сигма-алгеброй ${\displaystyle {\mathcal {G}}:=\left\{\emptyset ,\left\{0,1\right\}\right\}}$. Диагональный набор ${\displaystyle \left\{\left(0,0\right),\left(1,1\right)\right\}\subset X\times Y}$ не поддается измерению относительно ${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {G}}}$, хотя обе проекции являются измеримыми множествами.

Типичный пример неизмеримого множества, которое является проекцией измеримого множества, находится в Сигма-алгебра Лебега. Позволять ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ быть сигма-алгеброй Лебега ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и разреши ${\displaystyle {\mathcal {L}}'}$ сигма-алгебра Лебега ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Для любого ограниченного ${\displaystyle N\subset \mathbb {R} }$ не в ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, набор ${\displaystyle N\times \left\{0\right\}}$ в ${\displaystyle {\mathcal {L}}'}$, поскольку Мера Лебега является полный и набор продуктов содержится в наборе нулевой меры.

Еще можно увидеть, что ${\displaystyle {\mathcal {L}}'}$ не является продуктом сигма-алгебры ${\displaystyle {\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {L}}}$ но его завершение. В качестве такого примера в сигма-алгебре произведений можно взять пространство ${\displaystyle \left\{0,1\right\}^{\mathbb {R} }}$ (или любое произведение из множества, мощность которого больше континуума) с сигма-алгеброй произведения ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}=\bigotimes _{t\in \mathbb {R} }{\mathcal {F}}_{t}}$ куда ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\left\{\emptyset ,\left\{0\right\},\left\{1\right\},\left\{0,1\right\}\right\}}$ для каждого ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$. Фактически, в этом случае "большинство" спроектированных множеств не измеримы, поскольку мощность ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ является ${\displaystyle \aleph _{0}\cdot 2^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}}$, а мощность проектируемых множеств равна ${\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}}$. Существуют также примеры борелевских множеств на плоскости, проекция которых на действительную прямую не является борелевским множеством, как показал Суслин.^[2]

Теорема об измеримой проекции

Следующая теорема дает достаточное условие измеримости проекции измеримых множеств.

Позволять ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}\right)}$ измеримое пространство и пусть ${\displaystyle \left(Y,{\mathcal {B}}\right)}$ быть полировать пространство куда ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ это его борелевская сигма-алгебра. Тогда для каждого множества в сигма-алгебре произведения ${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {B}}}$, проектируемый набор на ${\displaystyle X}$ это универсально измеримый набор относительно ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.^[4]

Важным частным случаем этой теоремы является то, что проекция любого борелевского множества ot ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-k}}$ куда ${\displaystyle k<n}$ измеримо по Лебегу, хотя это не обязательно борелевское множество. Кроме того, это означает, что предыдущий пример неизмеримого по Лебегу множества ${\displaystyle \mathbb {R} }$ который является проекцией некоторого измеримого множества ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, является единственным подобным примером.

Смотрите также

• Аналитический набор
• Теория описательных множеств

Рекомендации

1. Лебег, Х. (1905) Sur les fonctions représentables analytiquement. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Vol. 1, 139–216.
2. Мощовакис, Яннис Н. (1980). Описательная теория множеств. Северная Голландия. п. 2. ISBN  0-444-70199-0.
3. Лоутер, Джордж (8 ноября 2016 г.). "Измеримая проекция и теорема дебюта". Почти уверен. Получено 21 марта 2018.
4. * Крауэль, Ганс (2003). Случайные вероятностные меры на польских пространствах. МОНОГРАФИИ СТОХАСТИКИ. Лондон: CRC Press. п. 13. ISBN  0415273870.

внешняя ссылка

• "Теорема измеримой проекции", PlanetMath