Правильная обобщенная декомпозиция - Proper generalized decomposition

В собственное обобщенное разложение (PGD) является итеративный численный метод для решения краевые задачи (BVPs), то есть уравнения в частных производных ограничен набором граничных условий.

Алгоритм PGD вычисляет приближение решения BVP путем последовательного обогащения. Это означает, что на каждой итерации новый компонент (или Режим) вычисляется и добавляется к приближению. Чем больше режимов получено, тем ближе приближение к теоретическому решению. Выбрав только первые режимы PGD, модель сокращенного заказа раствора получается. Из-за этого ПГД считается уменьшение размерности алгоритм. Кроме того, это рассматривается как обобщенная форма правильное ортогональное разложение.

Описание

Собственная обобщенная декомпозиция - это метод, характеризуемый (1) a вариационная формулировка задачи, (2) дискретизация домен в стиле метод конечных элементов, (3) предположение о возможности аппроксимации решения в виде разделенного представления и (4) числовое жадный алгоритм найти решение.^[1][2]

Наиболее реализуемой вариационной формулировкой в ​​PGD является Метод Бубнова-Галеркина,^[3][4] хотя существуют и другие реализации.^[5][3]

Дискретизация области - это четко определенный набор процедур, которые охватывают (а) создание сеток конечных элементов, (б) определение базовой функции на опорных элементах (также называемых функциями формы) и (в) отображение опорных элементов. на элементы сетки.

PGD ​​предполагает, что решение ты (многомерной) задачи можно аппроксимировать как выделенное представление вида

${\displaystyle \mathbf {u} \approx \mathbf {u} ^{N}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{d})=\sum _{i=1}^{N}\mathbf {X_{1}} _{i}(x_{1})\cdot \mathbf {X_{2}} _{i}(x_{2})\cdots \mathbf {X_{d}} _{i}(x_{d}),}$

где количество слагаемых N и функциональные продукты Икс₁(Икс₁), Икс₂(Икс₂), ..., Икс_d(Икс_d), каждая из которых зависит от переменной (или переменных), заранее неизвестны.

Решение ищется применением жадный алгоритм, обычно алгоритм с фиксированной точкой, в слабая формулировка проблемы. Для каждой итерации я алгоритма, a Режим решения вычисляется. Каждый режим состоит из набора числовых значений функциональных продуктов. Икс₁(Икс₁), ..., Икс_d(Икс_d), который обогащать приближение решения. Обратите внимание, что из-за жадного характера алгоритма используется термин «обогащение», а не «улучшение». Количество вычисляемых режимов, необходимых для получения приближения решения ниже определенного порога ошибки, зависит от критерия остановки итерационного алгоритма.

в отличие POD, Режимы PGD не обязательно ортогональный друг другу.

особенности

PGD ​​подходит для решения задач большой размерности, поскольку преодолевает ограничения классических подходов. В частности, ПГД позволяет избежать проклятие размерности, так как решение разделенных задач в вычислительном отношении намного дешевле, чем решение многомерных задач.

Следовательно, PGD позволяет повторно адаптировать параметрические задачи в многомерную структуру, задав параметры задачи как дополнительные координаты:

${\displaystyle \mathbf {u} \approx \mathbf {u} ^{N}(x_{1},\ldots ,x_{d};k_{1},\ldots ,k_{p})=\sum _{i=1}^{N}\mathbf {X_{1}} _{i}(x_{1})\cdots \mathbf {X_{d}} _{i}(x_{d})\cdot \mathbf {K_{1}} _{i}(k_{1})\cdots \mathbf {K_{p}} _{i}(k_{p}),}$

где серия функциональных продуктов K₁(k₁), K₂(k₂), ..., K_п(k_п), каждый из которых зависит от параметра (или параметров), был включен в уравнение.

В этом случае полученное приближение решения называется вычислительный Vademecum: общая метамодель, содержащая все частные решения для всех возможных значений задействованных параметров.^[6]

Разрезанное подпространственное обучение

В Разрезанное подпространственное обучение (SSL) метод использует иерархическое сопоставление для аппроксимации численного решения параметрических моделей. Что касается традиционного моделирования сокращенного порядка на основе проекций, использование коллокации обеспечивает ненавязчивый подход, основанный на разреженной адаптивной выборке параметрического пространства. Это позволяет восстановить низкоразмерную структуру подпространства параметрического решения, а также изучить функциональную зависимость от параметров в явном виде. Разреженное приближенное тензорное представление низкого ранга параметрического решения может быть построено с помощью стратегии приращения, которая требует только доступа к выходным данным детерминированного решателя. Отсутствие вмешательства делает этот подход напрямую применимым к сложным задачам, характеризующимся нелинейностью или неаффинными слабыми формами.^[7]

использованная литература

1. Амин Аммар, Бешир Мокдад, Франсиско Чинеста, Роланд Кёнингс (2006). "Новое семейство решателей для некоторых классов многомерных дифференциальных уравнений с частными производными, встречающихся в кинетической теории моделирования сложных жидкостей". Журнал механики неньютоновской жидкости.
2. Амин Аммар, Бешир Мокдад, Франсиско Чинеста, Роланд Кёнингс (2007). «Новое семейство решателей для некоторых классов многомерных уравнений в частных производных, встречающихся в кинетической теории моделирования сложных жидкостей. Часть II: Моделирование переходных процессов с использованием представлений, разделенных пространственно-временным разделением». Журнал механики неньютоновской жидкости.
3. Крофт, Томас Ллойд Дэвид (2015-04-09). Правильные обобщенные разложения: теория и приложения (кандидатская диссертация). Кардиффский университет.
4. Чинеста, Франциско; Кёнингс, Роланд; Лейг, Адриан (2014). Правильная обобщенная декомпозиция для расширенного численного моделирования: учебник. SpringerBriefs в прикладных науках и технологиях. Издательство Springer International. ISBN  978-3-319-02864-4.
5. Агуадо, Хосе Висенте (18 ноября 2018 г.). «Продвинутые стратегии для разделенной постановки задач в рамках надлежащей обобщенной декомпозиции».
6. Франсиско Чинеста, Адриен Лейг, Фелипе Бордо, Элиас Куэто, Дэвид Гонсалес, Амин Аммар, Антонио Уэрта (2013). «Вычислительный Vademecum на основе PGD для эффективного проектирования, оптимизации и управления». Архивы вычислительных методов в технике.
7. Борзаккьелло, Доменико; Агуадо, Хосе В .; Чинеста, Франциско (апрель 2019 г.). «Ненавязчивое обучение разреженному подпространству для параметризованных задач». Архивы вычислительных методов в технике. 26 (2): 303–326. Дои:10.1007 / s11831-017-9241-4. ISSN  1134-3060.