Квазидетерминант - Quasideterminant

В математике квазидетерминант заменяет детерминант за матрицы с некоммутативными записями. Квазидетерминанты примера 2 × 2 следующие:

${displaystyle left|{egin{array}{cc}a_{11}&a_{12}a_{21}&a_{22}end{array}}ight|_{11}=a_{11}-a_{12}{a_{22}}^{-1}a_{21}qquad left|{egin{array}{cc}a_{11}&a_{12}a_{21}&a_{22}end{array}}ight|_{12}=a_{12}-a_{11}{a_{21}}^{-1}a_{22}.}$

В общем, есть п² квазидетерминанты, определенные для п × п матрица (по одному на каждую позицию в матрице), но присутствие перевернутых членов выше должно заставить читателя задуматься: они не всегда определены, и даже когда они определены, они не сводятся к определителям при коммутации элементов. Скорее,

${displaystyle left|Aight|_{ij}=(-1)^{i+j}{frac {det A}{det A^{ij}}},}$

куда ${displaystyle A^{ij}}$ означает удалить яй ряд и j-й столбец из А.

В ${displaystyle 2 imes 2}$ приведенные выше примеры были введены между 1926 и 1928 гг. Ричардсон^[1][2] и Гейтинг,^[3] но они были маргинализованы в то время, потому что они не были полиномами в записях ${displaystyle A}$. Эти примеры были заново открыты и получили новую жизнь в 1991 году. И. М. Гельфанд и ПРОТИВ. Ретах.^[4][5] Там они разрабатывают квазидетерминантные версии многих знакомых детерминантных свойств. Например, если ${displaystyle B}$ построен из ${displaystyle A}$ путем изменения масштаба ${displaystyle i}$-й ряд (слева) по ${displaystyle left.ho ight.}$, тогда ${displaystyle left|Bight|_{ij}=ho left|Aight|_{ij}}$. Аналогично, если ${displaystyle B}$ построен из ${displaystyle A}$ добавив (слева) кратное ${displaystyle k}$-й ряд в другой ряд, затем ${displaystyle left|Bight|_{ij}=left|Aight|_{ij},,(forall j;forall keq i)}$. Они даже разрабатывают квазитерминантную версию Правило Крамера.

Определение

(определение изображения)

Позволять ${displaystyle A}$ быть ${displaystyle n imes n}$ матрица над (не обязательно коммутативным) кольцом ${displaystyle R}$ и исправить ${displaystyle 1leq i,jleq n}$. Позволять ${displaystyle a_{ij}}$обозначим (${displaystyle i,j}$) -вход ${displaystyle A}$, позволять ${displaystyle r_{i}^{j}}$ обозначить ${displaystyle i}$-й ряд ${displaystyle A}$ с колонной ${displaystyle j}$ удалил, и пусть ${displaystyle c_{j}^{i}}$ обозначить ${displaystyle j}$-й столбец ${displaystyle A}$ с рядом ${displaystyle i}$ удалено. (${displaystyle i,j}$) -квазидетерминант ${displaystyle A}$ определяется, если подматрица ${displaystyle A^{ij}}$ обратима над ${displaystyle R}$. В этом случае,

${displaystyle left|Aight|_{ij}=a_{ij}-r_{i}^{j},{igl (}A^{ij}{igr )}^{-1},c_{j}^{i}.}$

Напомним формулу (для коммутативных колец), связывающую ${displaystyle A^{-1}}$ к определителю, а именно ${displaystyle (A^{-1})_{ji}=(-1)^{i+j}{frac {det A^{ij}}{det A}}}$. Приведенное выше определение является обобщением в том смысле, что (даже для некоммутативных колец)

${displaystyle {igl (}A^{-1}{igr )}_{!ji}=left|Aight|_{ij}^{,-1}}$

всякий раз, когда обе стороны имеют смысл.

Идентичности

Одно из важнейших свойств квазидетерминанта - это то, что Гельфанд и Ретах называют «принципом наследственности». Он позволяет брать квазидетерминант поэтапно (и не имеет коммутативного аналога). Для иллюстрации предположим

${displaystyle left({egin{array}{cc}A_{11}&A_{12}A_{21}&A_{22}end{array}}ight)}$

это блочная матрица разложение ${displaystyle n imes n}$ матрица ${displaystyle A}$ с ${displaystyle A_{11}}$ а ${displaystyle k imes k}$ матрица. Если (${displaystyle i,j}$) -вход ${displaystyle A}$ лежит в пределах ${displaystyle A_{11}}$, это говорит, что

${displaystyle left|Aight|_{ij}=left|A_{11}-A_{12},{A_{22}}^{-1},A_{21}ight|_{ij}.}$

То есть квазидетерминант квазидетерминанта является квазидетерминантом. Говоря менее лаконично: В отличие от определителей, квазидетерминанты обрабатывают матрицы с элементами блочной матрицы не иначе, чем обычные матрицы (чего не могут сделать определители, поскольку блочные матрицы обычно не коммутируют друг с другом). То есть, хотя точная форма указанного выше тождества довольно удивительна, существование немного такая идентичность в меньшей степени. Другие личности из газет ^[4][5] являются (i) так называемыми «гомологическими отношениями», утверждающими, что два квазидетерминанта в общей строке или столбце тесно связаны друг с другом, и (ii) Сильвестр формула.

(i) Два квазидетерминанта, разделяющие общую строку или столбец, удовлетворяют

${displaystyle left|Aight|_{ij}|A^{il}|_{kj}^{,-1}=-left|Aight|_{il}|A^{ij}|_{kl}^{,-1}}$

или же

${displaystyle |A^{kj}|_{il}^{,-1}left|Aight|_{ij}=-|A^{ij}|_{kl}^{,-1}left|Aight|_{kj},}$

соответственно для всех вариантов ${displaystyle ieq k}$, ${displaystyle jeq l}$ так что определены участвующие квазидетерминанты.

(ii) Как и принцип наследственности, тождество Сильвестра - это способ рекурсивного вычисления квазидетерминанта. Чтобы упростить обозначения, мы покажем частный случай. Позволять ${displaystyle A_{0}}$ быть левым вверху ${displaystyle k imes k}$ подматрица ${displaystyle n imes n}$ матрица ${displaystyle A}$ и зафиксируем координату (${displaystyle i,j}$) в ${displaystyle A_{0}}$. Позволять ${displaystyle B=(b_{pq})}$ быть ${displaystyle (n-k) imes (n-k)}$ матрица, с ${displaystyle b_{pq}}$ определяется как (${displaystyle p,q}$) -квазидетерминант ${displaystyle (k+1) imes (k+1)}$ матрица, образованная примыканием к ${displaystyle A_{0}}$ первый ${displaystyle k}$ столбцы строки ${displaystyle p}$, первый ${displaystyle k}$ строки столбца ${displaystyle q}$, а запись ${displaystyle a}$_{${displaystyle pq}$}. Тогда есть

${displaystyle left|Bight|_{ij}=left|Aight|_{ij}.}$

Со времени появления первых статей Гельфанда и Ретаха на эту тему появилось гораздо больше тождеств, большинство из которых являются аналогами классических детерминантных тождеств. Важным источником является статья Кроба и Леклерка 1995 г. ^[6] Чтобы выделить один, мы рассматриваем идентификаторы расширения строки / столбца. Исправить строку ${displaystyle i}$ расширяться. Напомним детерминантную формулу ${displaystyle det A=sum _{l}(-1)^{i+l}a_{il}cdot det A^{il}}$. Ну, бывает, что квазидетерминанты удовлетворяют

${displaystyle left|Aight|_{ij}=a_{ij}-sum _{leq j}a_{il}cdot |A^{ij}|_{kl}^{,-1}|A^{il}|_{kj}}$

(расширение по столбцу ${displaystyle j}$), и

${displaystyle left|Aight|_{ij}=a_{ij}-sum _{keq i}|A^{kj}|_{il}|A^{ij}|_{kl}^{,-1}cdot a_{kj}}$

(расширение по строке ${displaystyle i}$).

Связь с другими детерминантами

Квазидетерминант, безусловно, не единственный существующий аналог детерминанта для некоммутативных параметров - возможно, наиболее известными примерами являются Определитель Дьедонне и квант определитель. Однако они каким-то образом связаны с квазидетерминантом. Например,

${displaystyle {det }_{q}A={igl |}A{igr |}_{11},left|A^{11}ight|_{22},left|A^{12,12}ight|_{33},cdots ,|a_{nn}|_{nn},}$

с множителями в правой части, коммутирующими друг с другом. Другие известные примеры, такие как Березинцы, Мур и детерминанты исследования, Детерминанты Капелли, и детерминанты типа Картье-Фоата также выражаются через квазидетерминанты. Гельфанд, как известно, определяет (некоммутативный) детерминант как «хороший», если он может быть выражен как произведение квазиминаторов.

Приложения

Перефразируя свою обзорную статью 2005 года с С. Гельфандом и Р. Вильсоном,^[7] Гельфанд и Ретах выступают за принятие квазидетерминантов в качестве «главного организующего инструмента в некоммутативной алгебре, наделяя их той же ролью, которую детерминанты играют в коммутативной алгебре». Квазидетерминант активно используется в таких областях математики, как интегрируемые системы,^[8][9] теория представлений,^[10][11] алгебраическая комбинаторика,^[12] теория некоммутативные симметрические функции, ^[13] теория полиномы над телами, ^[14] и некоммутативная геометрия.^[15][16][17]

Некоторые из вышеперечисленных приложений используют квазиплюккеровские координаты, которые параметризуют некоммутативные грассманианы и флаги во многом так же, как Координаты Плюккера делать Грассманианы и флаги над коммутативными полями. Более подробную информацию об этом можно найти в статье обзора.^[7]

Смотрите также

• Теорема Мак-Магона Мастер

Рекомендации

1. A.R. Ричардсон, Детерминанты гиперкомплекса, Посланник математики. 55 (1926), нет. 1.
2. A.R. Ричардсон, Одновременные линейные уравнения над алгеброй с делением, Proc. Лондонская математика. Soc. 28 (1928), нет. 2.
3. A. Heyting, Die theorie der linearen gleichungen in Einer zahlenspezies mit nichtkommutativer multiplikation, Математика. Анна. 98 (1928), нет. 1.
4. И. Гельфанд, В. Ретах, Определители матриц над некоммутативными кольцами, Функц. Анальный. Appl. 25 (1991), нет. 2.
5. Гельфанд И., Ретах В. Теория некоммутативных определителей и характеристические функции графов. Функц. Анальный. Appl. 26 (1992), нет. 4.
6. Д. Кроб, Б. Леклерк, Минорные тождества для квазидетерминантов и квантовых детерминантов, Comm. Математика. Phys. 169 (1995), нет. 1.
7. И. Гельфанд, С. Гельфанд, В. Ретах, Р.Л. Вильсон, Квазидетерминанты. Adv. Математика. 193 (2005), нет. 1. (eprint )
8. П. Этингоф, И. Гельфанд, В. Ретах, Неабелевы интегрируемые системы, квазидетерминанты и лемма Марченко. Математика. Res. Lett. 5 (1998), нет. 1-2.
9. C.R. Gilson, J.J.C. Ниммо, К. Соман, О прямом подходе к квазидетерминантным решениям некоммутативно модифицированного уравнения КП, J. Phys. A: Математика. Теор. 41 (2008), нет. 8. (eprint )
10. Молев А. Янгианы и их приложения. Справочник по алгебре, Vol. 3, Северная Голландия, Амстердам, 2003 г. (eprint )
11. Дж. Брундан, А. Клещев, Параболические представления янгиана Y (gl_n), Comm. Математика. Phys. 254 (2005). (eprint )
12. М. Конвалинка, И. Пак. Некоммутативные расширения основной теоремы Мак-Магона. Adv. Математика. 216 (2007), нет. 1. (eprint )
13. И. Гельфанд, Д. Кроб, А. Ласку, Б. Леклерк, В. Ретах, Ж.-Й. Тибон, Некоммутативные симметрические функции. Adv. Математика. 112 (1995), нет. 2. (eprint )
14. И. Гельфанд, В. Ретах, Некоммутативная теорема Виета и симметрические функции. Математические семинары Гельфанда, 1993--1995.
15. З. Шкода, Некоммутативная локализация в некоммутативной геометрии, в «Некоммутативная локализация в алгебре и топологии», Лондонская математика. Soc. Конспект лекций, 330, г. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2006. (eprint )
16. А. Лаув, Квантовые и квазиплюккеровские координаты, J. Алгебра (296) 2006, нет. 2. (eprint )
17. А. Беренштейн, В. Ретах, Некоммутативные двойные клетки Брюа и их факторизации. IMRN 2005. (eprint )