Остаточное пересечение - Residual intersection

В алгебраическая геометрия, проблема остаточное пересечение спрашивает следующее:

Учитывая подмножество Z на перекрестке ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{r}X_{i}}$ разновидностей, понять дополнение Z на перекрестке; т.е. остаточный набор к Z.

Пересечение определяет класс ${\displaystyle (X_{1}\cdots X_{r})}$, то продукт пересечения, в группе Чоу окружающего пространства, и в этой ситуации проблема состоит в том, чтобы понять класс, остаточный класс к Z:

${\displaystyle (X_{1}\cdots X_{r})-(X_{1}\cdots X_{r})^{Z}}$

куда ${\displaystyle -^{Z}}$ означает часть, поддерживаемую на Z; классически степень поддерживаемой детали Z называется эквивалентность из Z.

Двумя основными приложениями являются решения задач перечислительной геометрии (например, Коническая задача Штейнера ) и вывод многоточечная формула, формула, позволяющая подсчитывать или перечислять точки в волокне, даже если они бесконечно близко.

Проблема остаточного пересечения восходит к 19 веку.^{[нужна цитата ]} Современная формулировка проблем и решений принадлежит Фултону и Макферсону. Если быть точным, они развивают теория пересечений путем решения проблем остаточных пересечений (а именно, с помощью Класс Сегре из нормальный конус до пересечения.) Обобщение на ситуацию, когда предположение о регулярности вложения ослаблено, связано с (Клейман 1981 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFKleiman1981 (помощь).

Формулы

Формула квиллена избыточного пересечения

Формула в топологической постановке возникает из-за (Квиллен 1971 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFQuillen1971 (помощь).

Теперь предположим, что нам даны Y ″ → Y' и предположим я': Икс' = Икс ×_Y Y' → Y' регулярна коразмерности d' так что можно определить я'^! как прежде. Позволять F быть лишним пучком я и я^'; то есть это откат к ИКС" частного N обычным пучком я'. Позволять е(F) быть Класс Эйлера (верх Черн класс ) из F, который мы рассматриваем как гомоморфизм из А_k−d' (ИКС") к А_k−d(ИКС"). потом

Формула превышения пересечения — ${\displaystyle i^{!}=e(F){i'}^{!}}$

куда я^! определяется морфизмом Y ″ → Y' → Y.

Наконец, можно обобщить приведенную выше конструкцию и формулу на полные морфизмы пересечения; это расширение обсуждается в п. 6.6. а также гл. 17 из loc. соч.

Доказательство: Формулу пересечения можно вывести из довольно явной формы гомоморфизма Гизина. Позволять E быть векторным расслоением на Икс ранга р и q: п(E ⊕ 1) → Икс то проективный пучок (здесь 1 означает тривиальное линейное расслоение). Как обычно, мы тождественны п(E ⊕ 1) как несвязное объединение п(E) и E. Тогда существует точная тавтологическая последовательность

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-1)\to q^{*}E\oplus 1\to \xi \to 0}$

на п(E ⊕ 1). Мы утверждаем, что гомоморфизм Гизина задается как

${\displaystyle A_{k}(E)\to A_{k-r}(X),\,x\mapsto q_{*}(e(\xi ){\overline {x}})}$

куда е(ξ) = c_р(ξ) - класс Эйлера ξ и ${\displaystyle {\overline {x}}}$ является элементом А_k(п(E ⊕ 1)) это ограничивает Икс. Поскольку инъекция q^*: А_k−р(Икс) → А_k(п(E ⊕ 1)) разбивается, мы можем написать

${\displaystyle {\overline {x}}=q^{*}y+z}$

куда z класс цикла, поддерживаемый на п(EПо формуле суммы Уитни имеем: c(q^*E) = (1 − c₁(О(1)))c(ξ) и так

${\displaystyle e(\xi )=\sum _{0}^{r}c_{1}({\mathcal {O}}(1))^{i}c_{r-i}(q^{*}E).}$

Тогда получаем:

${\displaystyle q_{*}(e(\xi )q^{*}y)=\sum _{i=0}^{r}s_{i-r}(E\oplus 1)c_{r-i}(E)y}$

куда s_я(E ⊕ 1) является я-й Класс Сегре. Поскольку нулевой член класса Сегре является тождеством, а его отрицательные члены равны нулю, приведенное выше выражение равно y. Далее, поскольку ограничение ξ на п(E) имеет никуда не исчезающий раздел и z это класс цикла, поддерживаемый на п(E), следует, что е(ξ)z = 0. Следовательно, записывая π для отображения проекции E и j для включения E к п(E⊕1) получаем:

${\displaystyle \pi ^{*}q_{*}(e(\xi ){\overline {x}})=\pi ^{*}(y)=j^{*}q^{*}y=j^{*}({\overline {x}}-z)=j^{*}({\overline {x}})=x}$

где предпоследнее равенство, как и раньше, связано с причиной поддержки. Это завершает доказательство явного вида гомоморфизма Гизина.

Остальное формально и просто. Мы используем точную последовательность

${\displaystyle 0\to \xi '\to \xi \to r^{*}F\to 0}$

куда р это карта проекции для. Письмо п по закрытию специализации V, по формуле суммы Уитни и формуле проекции имеем:

${\displaystyle i^{!}(V)=r_{*}(e(\xi )P)=r_{*}(e(r^{*}F)e(\xi ')P)=e(F)r_{*}(e(\xi ')P)=e(F){i'}^{!}(V).}$

${\displaystyle \square }$

Частным случаем формулы является формула самопересечения, в котором говорится: учитывая регулярное вложение я: Икс → Y с нормальной связкой N,

${\displaystyle i^{*}i_{*}=e(N).}$

(Чтобы получить это, возьмите Y' = Y ″ = Икс.) Например, из этого и формула проекции, когда Икс, Y гладкие, можно вывести формулу:

${\displaystyle i_{*}(x)i_{*}(y)=i_{*}(e(N)xy).}$

в чау-ринге Y.

Позволять ${\displaystyle f:{\widetilde {Y}}\to Y}$ быть раздутием по замкнутой подсхеме Икс, ${\displaystyle {\widetilde {X}}}$ исключительный дивизор и ${\displaystyle g:{\widetilde {g}}:{\widetilde {X}}\to X}$ ограничение ж. Предполагать ж можно записать как закрытое погружение с последующим гладким морфизмом (например, Y квазипроективно). Тогда из ${\displaystyle f^{*}i_{*}=i^{!}g^{*}}$, получается:

Ключевая формула Жуанолоу — ${\displaystyle f^{*}i_{*}={i'}_{*}e(F)g^{*}}$.

Примеры

На протяжении всего раздела примеров базовое поле является алгебраически замкнутым и имеет нулевую характеристику. Все приведенные ниже примеры (кроме первого) взяты из (Фултон 1998 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFFulton1998 (помощь).

Пример: пересечение двух плоских кривых, содержащих один и тот же компонент

Позволять ${\displaystyle C_{1}=Z(x_{0}x_{1})}$ и ${\displaystyle C_{2}=Z(x_{0}x_{2})}$ быть двумя плоскими кривыми в ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$. Установить теоретически, их пересечение

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{1}\cap C_{2}&=Z(x_{1},x_{2})\cup Z(x_{0})\\&=[1:0:0]\cup \{[0:a:b]\in \mathbb {P} ^{2}\}\\&=Z_{1}\cup Z_{2}\end{aligned}}}$

является объединением точки и вложенной ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$. К Теорема Безу, ожидается, что это пересечение должно содержать ${\displaystyle 4}$ точек, поскольку это пересечение двух коник, поэтому для интерпретации этого пересечения требуется остаточное пересечение. потом

${\displaystyle (C_{1}\cap C_{2})^{Z_{1}}=\left\{{\frac {c(N_{C_{1}/\mathbb {P} ^{2}})c(N_{C_{2}/\mathbb {P} ^{2}})}{c(N_{Z_{1}/\mathbb {P} ^{2}})}}\right\}_{0}\in A_{0}(Z_{1})}$${\displaystyle (C_{1}\cap C_{2})^{Z_{2}}=\left\{{\frac {c(N_{C_{1}/\mathbb {P} ^{2}})c(N_{C_{2}/\mathbb {P} ^{2}})}{c(N_{Z_{2}/\mathbb {P} ^{2}})}}\right\}_{1}\in A_{1}(Z_{2})}$

С ${\displaystyle C_{1},C_{2}}$ оба имеют степень ${\displaystyle 2}$ гиперповерхностей, их нормальный пучок является обратным ${\displaystyle {\mathcal {O}}(2)}$, следовательно, числитель двух остаточных компонент равен

${\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {O}}(2))c({\mathcal {O}}(2))&=(1+2[H])(1+2[H])\\&=1+4[H]+4[H]^{2}\end{aligned}}}$

Потому что ${\displaystyle Z_{1}}$ задается исчезающим локусом ${\displaystyle Z(x_{1},x_{2})}$ его нормальный комплект ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)\oplus {\mathcal {O}}(1)}$, следовательно

${\displaystyle {\begin{aligned}c(N_{Z_{1}/\mathbb {P} ^{2}})&=c({\mathcal {O}}(1)\oplus {\mathcal {O}}(1))\\&=(1+[H])(1+[H])\\&=1+2[H]+[H]^{2}\\&=1\end{aligned}}}$

поскольку ${\displaystyle Z_{1}}$ это измерение ${\displaystyle 0}$. Аналогично числитель также ${\displaystyle 1}$, следовательно, остаточное пересечение имеет степень ${\displaystyle 1}$, как и ожидалось, поскольку ${\displaystyle Z_{1}}$ полное пересечение, заданное исчезающим множеством ${\displaystyle Z(x_{1},x_{2})}$. Кроме того, нормальный набор ${\displaystyle Z_{2}}$ является ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ поскольку это дано исчезающим локусом ${\displaystyle Z(x_{0})}$, так

${\displaystyle c(N_{Z_{2}}/X)=1+[H]}$

Инвертирование ${\displaystyle c(N_{Z_{2}}/X)}$ дает серию

${\displaystyle {\frac {1}{1+[H]}}=1-[H]+[H]^{2}}$

следовательно

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {c(N_{C_{1}/\mathbb {P} ^{2}})c(N_{C_{2}/\mathbb {P} ^{2}})}{c(N_{Z_{2}/\mathbb {P} ^{2}})}}=&(1+4[H]+4[H]^{2})(1-[H]+[H]^{2})\\=&(1-[H]+[H]^{2})\\&+(4[H]-4[H]^{2})\\&+4[H]^{2}\\=&1+3[H]+[H]^{2}\\=&1+3[H]\end{aligned}}}$

давая остаточное пересечение ${\displaystyle 3[H]}$ за ${\displaystyle Z_{2}}$. Продвижение вперед этих двух классов дает ${\displaystyle 4[H]^{2}}$ в ${\displaystyle A^{*}(\mathbb {P} ^{2})}$, по желанию.

Пример: степень кривой на трех поверхностях

Позволять ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}\subset \mathbb {P} ^{3}}$ быть тремя поверхностями. Предположим теоретико-схемное пересечение ${\displaystyle \bigcap X_{i}}$ несвязное объединение гладкой кривой C и нульмерная схема S. Спрашивается: какова степень S? На это можно ответить #formula.

Пример: касательные коники к заданным пяти линиям

Плоские коники параметризованы ${\displaystyle \mathbb {P} ^{{\binom {2+2}{2}}-1}=\mathbb {P} ^{5}}$. Учитывая пять общих линий ${\displaystyle \ell _{1},\ldots ,\ell _{5}\subset \mathbb {P} ^{2}}$, позволять ${\displaystyle H_{\ell _{i}}\subset \mathbb {P} ^{5}}$ - гиперповерхности коник, касающихся ${\displaystyle \ell _{i}}$; можно показать, что эти гиперповерхности имеют степень два.

В пересечение ${\displaystyle \bigcap _{i}H_{\ell _{i}}}$ содержит Веронезе поверхность ${\displaystyle Z\simeq \mathbb {P} ^{2}}$ состоящий из двойных линий; это теоретико-схемная связная компонента ${\displaystyle \bigcap _{i}H_{\ell _{i}}}$. Позволять ${\displaystyle h=c_{1}({\mathcal {O}}_{Z}(1))}$быть классом гиперплоскости = первый класс Черна из О(1) в Кольцо для чау-чау из Z. Сейчас же, ${\displaystyle Z=\mathbb {P} ^{2}\hookrightarrow \mathbb {P} ^{5}}$ такой, что ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{5}}(1)}$ отступает к ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(2)}$ и так нормальный комплект к ${\displaystyle H_{\ell _{i}}}$ ограниченный Z является

${\displaystyle N_{H_{\ell _{i}}/\mathbb {P} ^{5}}|_{Z}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{5}}(H_{\ell _{i}})|_{Z}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{5}}(2)|_{Z}={\mathcal {O}}_{Z}(4).}$

Итак, общая Черн класс из этого

${\displaystyle c(N_{H_{\ell _{i}}/\mathbb {P} ^{5}}|_{Z})=1+4h.}$

Точно так же, используя этот нормальный пакет для обычного ${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$ является ${\displaystyle T_{Y}|_{X}/T_{X}}$ так же хорошо как Последовательность Эйлера, получаем, что полный класс Черна нормального расслоения ${\displaystyle Z\hookrightarrow \mathbb {P} ^{5}}$ является

${\displaystyle c(N_{Z/\mathbb {P} ^{5}})=c(T_{\mathbb {P} ^{5}}|_{Z})/c(T_{Z})=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{5}}(1)^{\oplus 6}|_{Z})/c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(1)^{\oplus 3})=(1+2h)^{6}/(1+h)^{3}.}$

Таким образом Класс Сегре из ${\displaystyle Z\hookrightarrow \mathbb {P} ^{5}}$ является

${\displaystyle s(Z,\mathbb {P} ^{5})=c(N_{Z/\mathbb {P} ^{5}})^{-1}=1-9h+51h^{2}.}$

Следовательно, эквивалентность Z является

${\displaystyle \deg((1+4h)^{5}(1-9h+51h^{2}))=160-180+51=31.}$

К Теорема Безу, степень ${\displaystyle \bigcap _{i}H_{\ell _{i}}}$ является ${\displaystyle 2^{5}=32}$ и, следовательно, остаточное множество состоит из единственной точки, соответствующей единственной конической касательной ко всем данным пяти прямым.

В качестве альтернативы эквивалентность Z можно вычислить #formula?; поскольку ${\displaystyle \deg(c_{1}(T_{\mathbb {P} ^{2}}))=\deg(c_{2}(T_{\mathbb {P} ^{2}}))=3}$ и ${\displaystyle \deg(Z)=4}$, это:

${\displaystyle 3+4(3)+(40-10(6)+21)\deg(Z)=31.}$

Пример: касательные коники к заданным пяти коникам

Смотрите также: Коническая задача Штейнера

Предположим, нам даны пять плоских коник ${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{5}\subset \mathbb {P} ^{2}}$ на общих должностях. Можно поступить точно так же, как в предыдущем примере. Итак, пусть ${\displaystyle H_{C_{i}}\subset \mathbb {P} ^{5}}$ - гиперповерхность коник, касающихся ${\displaystyle C_{i}}$; можно показать, что он имеет степень 6. Пересечение ${\displaystyle \bigcap _{i}H_{C_{i}}}$ содержит поверхность Веронезе Z двойных линий.

Пример: функториальность построения уточненного гомоморфизма Гизина

Функциональность - это название раздела, к которому относится: учитывая два регулярных вложения ${\displaystyle X{\overset {i}{\hookrightarrow }}Y{\overset {j}{\hookrightarrow }}Z}$,

${\displaystyle (j\circ i)^{!}=j^{!}\circ i^{!}}$

где равенство имеет следующий смысл:

Примечания

Рекомендации

• Уильям Фултон (1998), «Глава 9, а также Раздел 17.6», Теория пересечения, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-62046-4, МИСТЕР  1644323
• С. Л. Клейман, Многоточечные формулы I. Итерация, Acta Math. 147 (1981), 13–49.
• Квиллен, Элементарные доказательства некоторых результатов теории кобордизмов с использованием операций Стинрода, 1971
• Зив Ран, "Криволинейная перечислительная геометрия", Препринт, Чикагский университет, 1983.

дальнейшее чтение

• Теория пересечений с приложениями к инвариантам Громова-Виттена