Класс Сегре - Segre class

В математика, то Класс Сегре это характеристический класс используется при изучении шишки, обобщение векторные пучки. Для векторных расслоений общий класс Сегре обратен полному Черн класс, и таким образом предоставляет эквивалентную информацию; Преимущество класса Сегре состоит в том, что он обобщается на более общие конусы, в то время как класс Черна - нет. Класс Сегре был введен в неособом случае Бениамино Сегре  (1953 В современном лечении теория пересечений в алгебраической геометрии, как разработано, например, в окончательной книге Фултона^[1], Классы Сегре играют фундаментальную роль.

Определение

Предполагать ${displaystyle C}$ это конус над ${displaystyle X}$, ${displaystyle q}$ это проекция из проективное завершение ${displaystyle mathbb {P} (Coplus 1)}$ из ${displaystyle C}$ к ${displaystyle X}$, и ${displaystyle {mathcal {O}}(1)}$ это пучок антитавтологических линий на ${displaystyle mathbb {P} (Coplus 1)}$. Просмотр журнала Черн класс ${displaystyle c_{1}({mathcal {O}}(1))}$ как групповой эндоморфизм Группа чау из ${displaystyle mathbb {P} (Coplus 1)}$, общий класс Сегре ${displaystyle C}$ дан кем-то:

${displaystyle s(C)=q_{*}left(sum _{igeq 0}c_{1}({mathcal {O}}(1))^{i}[mathbb {P} (Coplus 1)]ight).}$

В ${displaystyle i}$й класс Сегре ${displaystyle s_{i}(C)}$ это просто ${displaystyle i}$-й оцененный кусок ${displaystyle s(C)}$. Если ${displaystyle C}$ имеет чистое измерение ${displaystyle r}$ над ${displaystyle X}$ тогда это определяется как:

${displaystyle s_{i}(C)=q_{*}left(c_{1}({mathcal {O}}(1))^{r+i}[mathbb {P} (Coplus 1)]ight).}$

Причина использования ${displaystyle mathbb {P} (Coplus 1)}$ скорее, чем ${displaystyle mathbb {P} (C)}$ состоит в том, что это делает полный класс Сегре устойчивым при добавлении тривиального расслоения ${displaystyle {mathcal {O}}}$.

Если Z замкнутая подсхема алгебраической схемы Икс, тогда ${displaystyle s(Z,X)}$ обозначим класс Сегре нормальный конус к ${displaystyle Zhookrightarrow X}$.

Связь с классами Черна для векторных расслоений

Для голоморфное векторное расслоение ${displaystyle E}$ через комплексное многообразие ${displaystyle M}$ общий класс Сегре ${displaystyle s(E)}$ является обратным к полному Черн класс ${displaystyle c(E)}$см. например^[2]

Явно для всего класса Черна

${displaystyle c(E)=1+c_{1}(E)+c_{2}(E)+cdots ,}$

получает общий класс Сегре

${displaystyle s(E)=1+s_{1}(E)+s_{2}(E)+cdots ,}$

куда

${displaystyle c_{1}(E)=-s_{1}(E),quad c_{2}(E)=s_{1}(E)^{2}-s_{2}(E),quad dots ,quad c_{n}(E)=-s_{1}(E)c_{n-1}(E)-s_{2}(E)c_{n-2}(E)-cdots -s_{n}(E)}$

Позволять ${displaystyle x_{1},dots ,x_{k}}$ быть корнями Черна, т.е. формальными собственными значениями ${displaystyle {frac {iOmega }{2pi }}}$ куда ${displaystyle Omega }$ кривизна связь на ${displaystyle E}$.

Тогда как класс Черна c (E) записывается как

${displaystyle c(E)=prod _{i=1}^{k}(1+x_{i})=c_{0}+c_{1}+cdots +c_{k},}$

куда ${displaystyle c_{i}}$ является элементарный симметричный многочлен степени ${displaystyle i}$ в переменных ${displaystyle x_{1},dots ,x_{k}}$

Сегре для двойной комплект ${displaystyle E^{vee }}$ имеющий корни Черна ${displaystyle -x_{1},dots ,-x_{k}}$ записывается как

${displaystyle s(E^{vee })=prod _{i=1}^{k}{frac {1}{1-x_{i}}}=s_{0}+s_{1}+cdots }$

Расширяя приведенное выше выражение в степени ${displaystyle x_{1},dots x_{k}}$ можно видеть, что ${displaystyle s_{i}(E^{vee })}$ представлен полный однородный симметричный многочлен из ${displaystyle x_{1},dots x_{k}}$

Характеристики

Вот несколько основных свойств.

• Для любого конуса C (например, векторное расслоение), ${displaystyle s(Coplus 1)=s(C)}$.^[3]
• Для конуса C и векторное расслоение E,

  ${displaystyle c(E)s(Coplus E)=s(C).}$^[4]

• Если E - векторное расслоение, то^[5]

  ${displaystyle s_{i}(E)=0}$ за ${displaystyle i<0}$.

  ${displaystyle s_{0}(E)}$ - тождественный оператор.

  ${displaystyle s_{i}(E)circ s_{j}(F)=s_{j}(F)circ s_{i}(E)}$ для другого векторного пучка F.

• Если L - линейное расслоение, то ${displaystyle s_{1}(L)=-c_{1}(L)}$, за вычетом первого класса Черна L.^[5]
• Если E векторное расслоение ранга ${displaystyle e+1}$, то для линейного пучка L,

  ${displaystyle s_{p}(Eotimes L)=sum _{i=0}^{p}(-1)^{p-i}{inom {e+p}{e+i}}s_{i}(E)c_{1}(L)^{p-i}.}$^[6]

Ключевым свойством класса Сегре является бирациональная инвариантность: она содержится в следующем. Позволять ${displaystyle p:X o Y}$ быть правильный морфизм между алгебраические схемы такой, что ${displaystyle Y}$ неприводима, и каждая неприводимая компонента ${displaystyle X}$ карты на ${displaystyle Y}$. Тогда для каждой замкнутой подсхемы ${displaystyle Wsubset Y}$, ${displaystyle V=p^{-1}(W)}$ и ${displaystyle p_{V}:V o W}$ ограничение ${displaystyle p}$,

${displaystyle {p_{V}}_{*}(s(V,X))=operatorname {deg} (p),s(W,Y).}$^[7]

Аналогично, если ${displaystyle f:X o Y}$ это плоский морфизм постоянной относительной размерности между чисто-размерными алгебраическими схемами, то для каждой замкнутой подсхемы ${displaystyle Wsubset Y}$, ${displaystyle V=f^{-1}(W)}$ и ${displaystyle f_{V}:V o W}$ ограничение ${displaystyle f}$,

${displaystyle {f_{V}}^{*}(s(W,Y))=s(V,X).}$^[8]

Базовый пример бинациональной инвариантности дает раздутие. Позволять ${displaystyle pi :{widetilde {X}} o X}$ быть взрывом какой-то замкнутой подсхемы Z. Поскольку исключительный делитель ${displaystyle E:=pi ^{-1}(Z)hookrightarrow {widetilde {X}}}$ является эффективным дивизором Картье, и нормальный конус (или нормальное расслоение) к нему есть ${displaystyle {mathcal {O}}_{E}(E):={mathcal {O}}_{X}(E)|_{E}}$,

${displaystyle {egin{aligned}s(E,{widetilde {X}})&=c({mathcal {O}}_{E}(E))^{-1}[E]&=[E]-Ecdot [E]+Ecdot (Ecdot [E])+cdots ,end{aligned}}}$

где мы использовали обозначения ${displaystyle Dcdot alpha =c_{1}({mathcal {O}}(D))alpha }$.^[9] Таким образом,

${displaystyle s(Z,X)=g_{*}left(sum _{k=1}^{infty }(-1)^{k-1}E^{k}ight)}$

куда ${displaystyle g:E=pi ^{-1}(Z) o Z}$ дан кем-то ${displaystyle pi }$.

Примеры

Пример 1

Позволять Z - гладкая кривая, являющаяся полным пересечением эффективных дивизоров Картье ${displaystyle D_{1},dots ,D_{n}}$ на разнообразии Икс. Предположим размер Икс является п + 1. Тогда класс Сегре нормальный конус ${displaystyle C_{Z/X}}$ к ${displaystyle Zhookrightarrow X}$ является:^[10]

${displaystyle s(C_{Z/X})=[Z]-sum _{i=1}^{n}D_{i}cdot [Z].}$

Действительно, например, если Z регулярно встраивается в Икс, то, поскольку ${displaystyle C_{Z/X}=N_{Z/X}}$ нормальный пучок и ${displaystyle N_{Z/X}=igoplus _{i=1}^{n}N_{D_{i}/X}|_{Z}}$ (видеть Нормальный конус # Свойства ), у нас есть:

${displaystyle s(C_{Z/X})=c(N_{Z/X})^{-1}[Z]=prod _{i=1}^{d}(1-c_{1}({mathcal {O}}_{X}(D_{i})))[Z]=[Z]-sum _{i=1}^{n}D_{i}cdot [Z].}$

Пример 2

Ниже приведен пример 3.2.22. из (Фултон 1998 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFFulton1998 (помощь). Он восстанавливает некоторые классические результаты из книги Шуберта о перечислительная геометрия.

Просмотр двойного проективного пространства ${displaystyle {reve {mathbb {P} ^{3}}}}$ как Расслоение Грассмана ${displaystyle p:{reve {mathbb {P} ^{3}}} o *}$ параметризация 2-х плоскостей в ${displaystyle mathbb {P} ^{3}}$, рассмотрим тавтологическую точную последовательность

${displaystyle 0 o S o p^{*}mathbb {C} ^{3} o Q o 0}$

куда ${displaystyle S,Q}$ - тавтологические подслои и фактор-расслоения. С ${displaystyle E=operatorname {Sym} ^{2}(S^{*}otimes Q^{*})}$, то проективный пучок ${displaystyle q:X=mathbb {P} (E) o {reve {mathbb {P} ^{3}}}}$ это разнообразие коник в ${displaystyle mathbb {P} ^{3}}$. С ${displaystyle eta =c_{1}(Q^{*})}$, у нас есть ${displaystyle c(S^{*}otimes Q^{*})=2eta +2eta ^{2}}$ и так, используя Класс Черна # Формулы вычисления,

${displaystyle c(E)=1+8eta +30eta ^{2}+60eta ^{3}}$

и поэтому

${displaystyle s(E)=1+8h+34h^{2}+92h^{3}}$

куда ${displaystyle h=-eta =c_{1}(Q).}$ Коэффициенты в ${displaystyle s(E)}$ имеют перечислительное геометрическое значение; например, 92 - это количество конусов, пересекающих 8 общих линий.

Смотрите также: Остаточное пересечение # Пример: коники, касательные к заданным пяти коникам.

Пример 3

Позволять Икс быть поверхностью и ${displaystyle A,B,D}$ эффективные делители Картье на нем. Позволять ${displaystyle Zsubset X}$ быть теоретико-схемное пересечение из ${displaystyle A+D}$ и ${displaystyle B+D}$ (рассматривая эти делители как замкнутые подсхемы). Для простоты предположим ${displaystyle A,B}$ встретиться только в одной точке п с той же кратностью м и это п гладкая точка Икс. потом^[11]

${displaystyle s(Z,X)=[D]+(m^{2}[P]-Dcdot [D]).}$

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим взрыв ${displaystyle pi :{widetilde {X}} o X}$ из Икс вдоль п и разреши ${displaystyle g:{widetilde {Z}}=pi ^{-1}Z o Z}$, строгое преобразование Z. По формуле при #Характеристики,

${displaystyle s(Z,X)=g_{*}([{widetilde {Z}}])-g_{*}({widetilde {Z}}cdot [{widetilde {Z}}]).}$

С ${displaystyle {widetilde {Z}}=pi ^{*}D+mE}$ куда ${displaystyle E=pi ^{-1}P}$, приведенная выше формула дает результат.

Кратность по подмногообразию

Позволять ${displaystyle (A,{mathfrak {m}})}$ быть местным кольцом разнообразия Икс на замкнутом подмногообразии V коразмерность п (Например, V может быть закрытой точкой). потом ${displaystyle operatorname {length} _{A}(A/{mathfrak {m}}^{t})}$ является многочленом степени п в т для больших т; т.е. его можно записать как ${displaystyle {e(A)^{n} over n!}t^{n}+}$ члены более низкой степени и целое число ${displaystyle e(A)}$ называется множественность из А.

Класс Сегре ${displaystyle s(V,X)}$ из ${displaystyle Vsubset X}$ кодирует эту кратность: коэффициент ${displaystyle [V]}$ в ${displaystyle s(V,X)}$ является ${displaystyle e(A)}$.^[12]

Рекомендации

1. Фултон В. (1998). Теория пересечения, стр.50. Спрингер, 1998.
2. Фултон, стр.50. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFFulton (помощь)
3. Фултон, Пример 4.1.1. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFFulton (помощь)
4. Фултон, Пример 4.1.5. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFFulton (помощь)
5. Фултон, Предложение 3.1. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFFulton (помощь)
6. Фултон, Пример 3.1.1. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFFulton (помощь)
7. Фултон, Предложение 4.2. (а) ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFFulton (помощь)
8. Фултон, Предложение 4.2. (б) ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFFulton (помощь)
9. Фултон, § 2.5. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFFulton (помощь)
10. Фултон, Пример 9.1.1. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFFulton (помощь)
11. Фултон, Пример 4.2.2. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFFulton (помощь)
12. Фултон, Пример 4.3.1. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFFulton (помощь)

• Сегре, Бениамино (1953), «Новые методы и результаты в геометрии sulle varietà algebriche», Анна. Мат. Pura Appl. (на итальянском), 35 (4): 1–127, МИСТЕР  0061420