Набор резольвент - Resolvent set

В линейная алгебра и теория операторов, то набор резольвент из линейный оператор это набор из сложные числа для которого оператор в некотором смысле "хорошо воспитанный ". Резольвентный набор играет важную роль в резольвентный формализм.

Определения

Позволять Икс быть Банахово пространство и разреши ${\displaystyle L\colon D(L)\rightarrow X}$ - линейный оператор с домен ${\displaystyle D(L)\subseteq X}$. Пусть id обозначает оператор идентификации на Икс. Для любого ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$, позволять

${\displaystyle L_{\lambda }=L-\lambda \,\mathrm {id} .}$

Комплексное число ${\displaystyle \lambda }$ считается обычное значение если

1. ${\displaystyle L_{\lambda }}$ является инъективный, т. е. ограничение ${\displaystyle L_{\lambda }}$ к своему имиджу имеет обратный ${\displaystyle R(\lambda ,L)}$, который:
2. это ограниченный линейный оператор;
3. определяется на плотный подпространство из Икс, то есть, ${\displaystyle L_{\lambda }}$ имеет плотный ассортимент.

В набор резольвент из L - множество всех регулярных значений L:

${\displaystyle \rho (L)=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \lambda {\mbox{ is a regular value of }}L\}.}$

В спектр это дополнять резольвентного набора:

${\displaystyle \sigma (L)=\mathbb {C} \setminus \rho (L).}$

Спектр может быть далее разложен на точечный / дискретный спектр (где условие 1 не выполняется), непрерывный спектр (где условия 1 и 3 выполняются, но условие 2 не выполняется) и спектр остаточного / сжатия (где условие 1 выполняется, но условие 3 не выполняется). .

Если ${\displaystyle L}$ это закрытый оператор, то и каждый ${\displaystyle L_{\lambda }}$, а условие 3 можно заменить требованием, чтобы ${\displaystyle L_{\lambda }}$ является сюръективный.

Характеристики

• Резольвентный набор ${\displaystyle \rho (L)\subseteq \mathbb {C} }$ ограниченного линейного оператора L является открытый набор.
• В более общем смысле резольвентное множество плотно определенного замкнутого неограниченного оператора является открытым множеством.

Рекомендации

• Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных. Тексты по прикладной математике 13 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. xiv + 434. ISBN  0-387-00444-0. МИСТЕР2028503 (См. Раздел 8.3)

внешняя ссылка

• Войцеховский, М. (2001) [1994], «Резольвентный набор», Энциклопедия математики, EMS Press

Смотрите также

• Резольвентный формализм
• Спектр (функциональный анализ)
• Разложение спектра (функциональный анализ)