Уравнение Рейнольдса - Reynolds equation

В Уравнение Рейнольдса представляет собой уравнение в частных производных, определяющее распределение давления тонких пленок вязкой жидкости в Теория смазки. Не следует путать с Осборн Рейнольдс 'другие однофамильцы, Число Рейнольдса и Усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье – Стокса. Впервые он был выведен Осборном Рейнольдсом в 1886 году.^[1] Классическое уравнение Рейнольдса можно использовать для описания распределения давления практически в любом типе подшипник с жидкой пленкой; тип подшипника, в котором ограничивающие тела полностью разделены тонким слоем жидкости или газа.

Общее использование

Общее уравнение Рейнольдса:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h\left(u_{a}+u_{b}\right)}{2}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\rho h\left(v_{a}+v_{b}\right)}{2}}\right)+\rho \left(w_{a}-w_{b}\right)-\rho u_{a}{\frac {\partial h}{\partial x}}-\rho v_{a}{\frac {\partial h}{\partial y}}+h{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$

Где:

• ${\displaystyle p}$ давление пленки жидкости.
• ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ - координаты ширины и длины подшипника.
• ${\displaystyle z}$ - координата толщины пленки жидкости.
• ${\displaystyle h}$ толщина пленки жидкости.
• ${\displaystyle \mu }$ вязкость жидкости.
• ${\displaystyle \rho }$ плотность жидкости.
• ${\displaystyle u,v,w}$ - скорости ограничивающих тел в ${\displaystyle x,y,z}$ соответственно.
• ${\displaystyle a,b}$ индексы обозначают верхнее и нижнее ограничивающие тела соответственно.

Уравнение может использоваться либо с согласованными единицами измерения, либо безразмерный.

Уравнение Рейнольдса предполагает:

• Жидкость Ньютоновский.
• Силы вязкости жидкости преобладают над силами инерции жидкости. Это принцип Число Рейнольдса.
• Силы жидкого тела незначительны.
• Изменение давления в жидкой пленке пренебрежимо мало (т.е. ${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial z}}=0}$)
• Толщина пленки жидкости намного меньше ее ширины и длины, и поэтому эффекты кривизны незначительны. (т.е. ${\displaystyle h\ll l}$ и ${\displaystyle h\ll w}$).

Для некоторых простых геометрий подшипников и граничных условий уравнение Рейнольдса может быть решено аналитически. Однако часто уравнение приходится решать численно. Часто это связано с дискретизирующий геометрической области, а затем применяя конечную технику - часто FDM, FVM, или же МКЭ.

Вывод из Навье-Стокса

Полный вывод уравнения Рейнольдса из Уравнение Навье-Стокса можно найти в многочисленных учебниках по смазке.^[2][3]

Решение уравнения Рейнольдса.

В общем, уравнение Рейнольдса необходимо решать с использованием численных методов, таких как метод конечных разностей или конечных элементов. Однако в некоторых упрощенных случаях можно получить аналитические или приближенные решения.^[4]

Для случая твердой сферы с плоской геометрией, стационарного случая и граничного условия полусоммерфельдовской кавитации двумерное уравнение Рейнольдса может быть решено аналитически. Такое решение предложил лауреат Нобелевской премии. Петр Капица. Граничное условие полу-Зоммерфельда оказалось неточным, и это решение необходимо использовать с осторожностью.

В случае одномерного уравнения Рейнольдса доступно несколько аналитических или полуаналитических решений. В 1916 году Мартин получил решение в замкнутой форме^[5] для минимальной толщины пленки и давления для жесткого цилиндра и плоской геометрии. Это решение не является правильным для случаев, когда упругая деформация поверхностей вносит значительный вклад в толщину пленки. В 1949 г. Грубин получил приближенное решение^[6] для так называемой задачи о линейном контакте с упруго-гидродинамической смазкой (EHL), где он сочетал упругую деформацию и гидродинамический поток смазки. В этом решении предполагалось, что профиль давления следует Раствор Герца. Таким образом, модель является точной при высоких нагрузках, когда гидродинамическое давление стремится быть близким к контактному давлению Герца.^[7]

Приложения

Уравнение Рейнольдса используется для моделирования давления во многих приложениях. Например:

• Шарикоподшипники
• Воздушные подшипники
• Подшипники скольжения
• Пленочные демпферы в авиационных газовых турбинах
• Тазобедренные и коленные суставы человека
• Смазанные контакты шестерен

Адаптация уравнения Рейнольдса

В 1978 году Патир и Ченг представили модель среднего потока.^[8] который модифицирует уравнение Рейнольдса, чтобы учесть влияние шероховатость поверхности на частично смазанных контактах.

Рекомендации

1. Рейнольдс, О. (1886). «О теории смазки и ее применении в экспериментах мистера Бошампа Тауэра, включая экспериментальное определение вязкости оливкового масла». Философские труды Лондонского королевского общества. Королевское общество. 177: 157–234. Дои:10.1098 / рстл.1886.0005. JSTOR  109480.
2. Hamrock, Bernard J .; Шмид, Стивен Р .; Джейкобсон, Бо О. (2004). Основы смазки жидкой пленкой. Тейлор и Фрэнсис. ISBN  978-0-8247-5371-9.
3. Зери, Андраш З. (2010). Смазка жидкой пленкой. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-89823-2.
4. «Уравнение Рейнольдса: вывод и решение». tribonet.org. 12 ноября 2016 г.. Получено 10 сентября 2019.
5. Акчурин, Айдар (18 февраля 2016 г.). «Аналитическое решение одномерного уравнения Рейнольдса». tribonet.org. Получено 10 сентября 2019.
6. Акчурин, Айдар (22 февраля 2016 г.). «Полуаналитическое решение одномерного нестационарного уравнения Рейнольдса (приближение Грубина)». tribonet.org. Получено 10 сентября 2019.
7. Акчурин, Айдар (4 января 2017 г.). "Контактный калькулятор Hertz". tribonet.org. Получено 10 сентября 2019.
8. Патир, Надир; Ченг, Х.С. (1978). «Модель среднего потока для определения влияния трехмерной шероховатости на частичную гидродинамическую смазку». Журнал смазочных технологий. 100 (1): 12. Дои:10.1115/1.3453103. ISSN  0022-2305.