Рисса среднее - Riesz mean

В математика, то Рисса среднее это определенный значить условий в серии. Их представил Марсель Рис в 1911 году как усовершенствование Чезаро среднее^[1][2]. Среднее значение Рисса не следует путать с Среднее значение Бохнера – Рисса или Сильное – среднее значение Рисса.

Определение

Учитывая серию ${displaystyle {s_{n}}}$, среднее Рисса ряда определяется выражением

${displaystyle s^{delta }(lambda )=sum _{nleq lambda }left(1-{frac {n}{lambda }}ight)^{delta }s_{n}}$

Иногда обобщенное среднее Рисса определяется как

${displaystyle R_{n}={frac {1}{lambda _{n}}}sum _{k=0}^{n}(lambda _{k}-lambda _{k-1})^{delta }s_{k}}$

Здесь ${displaystyle lambda _{n}}$ представляют собой последовательность с ${displaystyle lambda _{n} o infty }$ и с ${displaystyle lambda _{n+1}/lambda _{n} o 1}$ так как ${displaystyle n o infty }$. Помимо этого, ${displaystyle lambda _{n}}$ принимаются как произвольные.

Средства Рисса часто используются для исследования суммируемость последовательностей; типичные теоремы суммируемости обсуждают случай ${displaystyle s_{n}=sum _{k=0}^{n}a_{k}}$ для некоторой последовательности ${displaystyle {a_{k}}}$. Как правило, последовательность суммируема, когда предел ${displaystyle lim _{n o infty }R_{n}}$ существует, или предел ${displaystyle lim _{delta o 1,lambda o infty }s^{delta }(lambda )}$ существует, хотя рассматриваемые точные теоремы суммирования часто налагают дополнительные условия.

Особые случаи

Позволять ${displaystyle a_{n}=1}$ для всех ${displaystyle n}$. потом

${displaystyle sum _{nleq lambda }left(1-{frac {n}{lambda }}ight)^{delta }={frac {1}{2pi i}}int _{c-iinfty }^{c+iinfty }{frac {Gamma (1+delta )Gamma (s)}{Gamma (1+delta +s)}}zeta (s)lambda ^{s},ds={frac {lambda }{1+delta }}+sum _{n}b_{n}lambda ^{-n}.}$

Здесь нужно взять ${displaystyle c>1}$; ${displaystyle Gamma (s)}$ это Гамма-функция и ${displaystyle zeta (s)}$ это Дзета-функция Римана. Силовой ряд

${displaystyle sum _{n}b_{n}lambda ^{-n}}$

можно показать, что они сходятся для ${displaystyle lambda >1}$. Обратите внимание, что интеграл имеет форму обратной Преобразование Меллина.

Еще один интересный случай, связанный с теория чисел возникает, принимая ${displaystyle a_{n}=Lambda (n)}$ где ${displaystyle Lambda (n)}$ это Функция фон Мангольдта. потом

${displaystyle sum _{nleq lambda }left(1-{frac {n}{lambda }}ight)^{delta }Lambda (n)=-{frac {1}{2pi i}}int _{c-iinfty }^{c+iinfty }{frac {Gamma (1+delta )Gamma (s)}{Gamma (1+delta +s)}}{frac {zeta ^{prime }(s)}{zeta (s)}}lambda ^{s},ds={frac {lambda }{1+delta }}+sum _{ho }{frac {Gamma (1+delta )Gamma (ho )}{Gamma (1+delta +ho )}}+sum _{n}c_{n}lambda ^{-n}.}$

Опять же надо брать c > 1. Сумма больше ρ - сумма по нулям дзета-функции Римана, а

${displaystyle sum _{n}c_{n}lambda ^{-n},}$

сходится для λ > 1.

Встречающиеся здесь интегралы аналогичны Интеграл Норлунда – Райса; очень грубо, они могут быть связаны с этим интегралом через Формула Перрона.

использованная литература

• ^ М. Рисс, Comptes Rendus, 12 июня 1911 г.
• ^ Харди, Г. Х. и Литтлвуд, Дж. Э. (1916). «Вклад в теорию дзета-функции Римана и теорию распределения простых чисел» (PDF). Acta Mathematica. 41: 119–196. Дои:10.1007 / BF02422942. Архивировано из оригинал (PDF) 7 февраля 2012 г.
• Волков, И. (2001) [1994], «Метод суммирования Рисса», Энциклопедия математики, EMS Press