Среднее значение Бохнера – Рисса - Bochner–Riesz mean

В Среднее значение Бохнера – Рисса это метод суммирования часто используется в гармонический анализ при рассмотрении конвергенции Ряд Фурье и Интегралы Фурье. Он был представлен Саломон Бохнер как модификация Рисса среднее.

Определение

Определять

${\displaystyle (\xi )_{+}={\begin{cases}\xi ,&{\mbox{if }}\xi >0\\0,&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}}$

Позволять ${\displaystyle f}$ периодическая функция, рассматриваемая как находящаяся на н-тор, ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$, и с коэффициентами Фурье ${\displaystyle {\hat {f}}(k)}$ за ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{n}}$. Тогда средние Бохнера – Рисса сложного порядка ${\displaystyle \delta }$, ${\displaystyle B_{R}^{\delta }f}$ из (где ${\displaystyle R>0}$ и ${\displaystyle {\mbox{Re}}(\delta )>0}$) определяются как

${\displaystyle B_{R}^{\delta }f(\theta )={\underset {|k|\leq R}{\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{n}}}}\left(1-{\frac {|k|^{2}}{R^{2}}}\right)_{+}^{\delta }{\hat {f}}(k)e^{2\pi ik\cdot \theta }.}$

Аналогично для функции ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с преобразованием Фурье ${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$, средние Бохнера – Рисса сложного порядка ${\displaystyle \delta }$, ${\displaystyle S_{R}^{\delta }f}$ (куда ${\displaystyle R>0}$ и ${\displaystyle {\mbox{Re}}(\delta )>0}$) определяются как

${\displaystyle S_{R}^{\delta }f(x)=\int _{|\xi |\leq R}\left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)_{+}^{\delta }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\,d\xi .}$

Приложение к операторам свертки

За ${\displaystyle \delta >0}$ и ${\displaystyle n=1}$, ${\displaystyle S_{R}^{\delta }}$ и ${\displaystyle B_{R}^{\delta }}$ можно записать как свертка операторы, где ядро ​​свертки приблизительная личность. Таким образом, в этих случаях, учитывая почти везде конвергенция средних Бохнера – Рисса для функций из ${\displaystyle L^{p}}$ пространств намного проще, чем проблема "регулярной" почти всюду сходимости рядов / интегралов Фурье (соответствующих ${\displaystyle \delta =0}$).

В более высоких измерениях ядра свертки становятся «хуже ведут себя»: в частности, для

${\displaystyle \delta \leq {\tfrac {n-1}{2}}}$

ядро больше не интегрируется. Соответственно затрудняется установление почти везде сходимости.

Гипотеза Бохнера – Рисса

Другой вопрос, для чего ${\displaystyle \delta }$ и который ${\displaystyle p}$ средние Бохнера – Рисса ${\displaystyle L^{p}}$ функция сходятся по норме. Этот вопрос имеет принципиальное значение для ${\displaystyle n\geq 2}$, поскольку сходимость по регулярной сферической норме (снова соответствующая ${\displaystyle \delta =0}$) не работает ${\displaystyle L^{p}}$ когда ${\displaystyle p\neq 2}$. Это было показано в статье 1971 г. Чарльз Фефферман.^[1]

В результате переноса ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ проблемы эквивалентны друг другу, и поэтому с помощью аргумента, использующего принцип равномерной ограниченности, для любого конкретного ${\displaystyle p\in (1,\infty )}$, ${\displaystyle L^{p}}$ сходимость по норме следует в обоих случаях именно для тех ${\displaystyle \delta }$ куда ${\displaystyle (1-|\xi |^{2})_{+}^{\delta }}$ это символ из ${\displaystyle L^{p}}$ ограниченный Множитель Фурье оператор.

За ${\displaystyle n=2}$, этот вопрос полностью решен, но для ${\displaystyle n\geq 3}$, на него был дан лишь частичный ответ. Случай ${\displaystyle n=1}$ здесь не интересен, поскольку следует сходимость ${\displaystyle p\in (1,\infty )}$ в самом сложном ${\displaystyle \delta =0}$ дело как следствие ${\displaystyle L^{p}}$ ограниченность Преобразование Гильберта и аргумент Марсель Рис.

Определять ${\displaystyle \delta (p)}$, «критический индекс», как

${\displaystyle max(n|1/p-1/2|-1/2,0)}$.

Тогда Гипотеза Бохнера – Рисса утверждает, что

${\displaystyle \delta >\delta (p)}$

является необходимым и достаточным условием ${\displaystyle L^{p}}$ ограниченный оператор множителя Фурье. Известно, что условие необходимо.^[2]

Рекомендации

1. Фефферман, Чарльз (1971). «Задача множителя для мяча». Анналы математики. 94 (2): 330–336. Дои:10.2307/1970864. JSTOR  1970864.
2. Чиатти, Паоло (2008). Темы математического анализа. World Scientific. п. 347. ISBN  9789812811066.

дальнейшее чтение

• Лу, Шаньчжэнь (2013). Средние Бохнера-Рисса на евклидовых пространствах (Первое изд.). World Scientific. ISBN  978-981-4458-76-4.
• Графакос, Лукас (2008). Классический анализ Фурье (Второе изд.). Берлин: Springer. ISBN  978-0-387-09431-1.
• Графакос, Лукас (2009). Современный анализ Фурье (Второе изд.). Берлин: Springer. ISBN  978-0-387-09433-5.
• Штейн, Элиас М. И Мерфи, Тимоти С. (1993). Гармонический анализ: методы вещественных переменных, ортогональность и колебательные интегралы. Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-03216-5.