Формула Перрона - Perrons formula - Wikipedia

В математика, и особенно в аналитическая теория чисел, Формула Перрона формула из-за Оскар Перрон рассчитать сумму арифметическая функция, посредством обратного Преобразование Меллина.

Заявление

Позволять ${\displaystyle \{a(n)\}}$ быть арифметическая функция, и разреши

${\displaystyle g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}$

быть соответствующим Серия Дирихле. Предположим, что ряд Дирихле равномерно сходящийся за ${\displaystyle \Re (s)>\sigma }$. Тогда формула Перрона

${\displaystyle A(x)={\sum _{n\leq x}}'a(n)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }g(z){\frac {x^{z}}{z}}\,dz.}$

Здесь штрих у суммирования означает, что последний член суммы необходимо умножить на 1/2, когда Икс является целое число. Интеграл не сходится Интеграл Лебега; это понимается как Главное значение Коши. Формула требует, чтобы c > 0, c > σ и Икс > 0.

Доказательство

Простой набросок доказательства получается, если взять Формула суммы Абеля

${\displaystyle g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }A(x)x^{-(s+1)}dx.}$

Это не что иное, как Преобразование Лапласа при замене переменной ${\displaystyle x=e^{t}.}$ Обращая его, мы получаем формулу Перрона.

Примеры

Из-за своей общей связи с рядами Дирихле формула обычно применяется ко многим теоретико-числовым суммам. Так, например, имеется знаменитое интегральное представление для Дзета-функция Римана:

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s+1}}}\,dx}$

и аналогичная формула для Дирихле L-функции:

${\displaystyle L(s,\chi )=s\int _{1}^{\infty }{\frac {A(x)}{x^{s+1}}}\,dx}$

куда

${\displaystyle A(x)=\sum _{n\leq x}\chi (n)}$

и ${\displaystyle \chi (n)}$ это Dirichlet персонаж. Другие примеры можно найти в статьях на Функция Мертенса и функция фон Мангольдта.

Обобщения

Формула Перрона - это просто частный случай дискретной свертки Меллина

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a(n)f(n/x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }F(s)G(s)x^{s}ds}$

куда

${\displaystyle G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}$

и

${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(x)x^{s-1}dx}$

преобразование Меллина. Формула Перрона - это всего лишь частный случай тестовой функции ${\displaystyle f(1/x)=\theta (x-1),}$ за ${\displaystyle \theta (x)}$ то Ступенчатая функция Хевисайда.

Рекомендации

• Страница 243 из Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел, Тексты для бакалавриата по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3, МИСТЕР  0434929, Zbl  0335.10001
• Вайсштейн, Эрик В. «Формула Перрона». MathWorld.
• Тененбаум, Джеральд (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел. Кембриджские исследования в области высшей математики. 46. Перевод C.B. Thomas. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-41261-7. Zbl  0831.11001.