Формула суммирования Абельса - Abels summation formula - Wikipedia

Еще одно понятие, иногда известное под этим названием, - суммирование по частям.

В математика, Формула суммирования Абеля, представлен Нильс Хенрик Абель, интенсивно используется в теория чисел и изучение специальные функции вычислить серии.

Формула

Позволять ${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}$ быть последовательность из настоящий или же сложные числа. Определите функцию частичной суммы ${\displaystyle A}$ к

${\displaystyle A(t)=\sum _{0\leq n\leq t}a_{n}}$

для любого реального числа ${\displaystyle t}$. Исправить реальные числа ${\displaystyle x<y}$, и разреши ${\displaystyle \phi }$ быть непрерывно дифференцируемый функция на ${\displaystyle [x,y]}$. Потом:

${\displaystyle \sum _{x<n\leq y}a_{n}\phi (n)=A(y)\phi (y)-A(x)\phi (x)-\int _{x}^{y}A(u)\phi '(u)\,du.}$

Формула получается путем применения интеграция по частям для Интеграл Римана – Стилтьеса. к функциям ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle \phi }$.

Вариации

Принимая левую конечную точку за ${\displaystyle -1}$ дает формулу

${\displaystyle \sum _{0\leq n\leq x}a_{n}\phi (n)=A(x)\phi (x)-\int _{0}^{x}A(u)\phi '(u)\,du.}$

Если последовательность ${\displaystyle (a_{n})}$ индексируется, начиная с ${\displaystyle n=1}$, то можно формально определить ${\displaystyle a_{0}=0}$. Предыдущая формула становится

${\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\phi (n)=A(x)\phi (x)-\int _{1}^{x}A(u)\phi '(u)\,du.}$

Распространенный способ применения формулы суммирования Абеля - это взять предел одной из этих формул как ${\displaystyle x\to \infty }$. Полученные формулы:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\phi (n)&=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}A(x)\phi (x){\bigr )}-\int _{0}^{\infty }A(u)\phi '(u)\,du,\\\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\phi (n)&=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}A(x)\phi (x){\bigr )}-\int _{1}^{\infty }A(u)\phi '(u)\,du.\end{aligned}}}$

Эти уравнения верны, если оба предела в правой части существуют и конечны.

Особенно полезным случаем является последовательность ${\displaystyle a_{n}=1}$ для всех ${\displaystyle n\geq 0}$. В этом случае, ${\displaystyle A(x)=\lfloor x+1\rfloor }$. Для этой последовательности формула суммирования Абеля упрощается до

${\displaystyle \sum _{0\leq n\leq x}\phi (n)=\lfloor x+1\rfloor \phi (x)-\int _{0}^{x}\lfloor u+1\rfloor \phi '(u)\,du.}$

Аналогично для последовательности ${\displaystyle a_{0}=0}$ и ${\displaystyle a_{n}=1}$ для всех ${\displaystyle n\geq 1}$, формула принимает вид

${\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}\phi (n)=\lfloor x\rfloor \phi (x)-\int _{1}^{x}\lfloor u\rfloor \phi '(u)\,du.}$

Приняв предел как ${\displaystyle x\to \infty }$, мы нашли

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }\phi (n)&=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}\lfloor x+1\rfloor \phi (x){\bigr )}-\int _{0}^{\infty }\lfloor u+1\rfloor \phi '(u)\,du,\\\sum _{n=1}^{\infty }\phi (n)&=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}\lfloor x\rfloor \phi (x){\bigr )}-\int _{1}^{\infty }\lfloor u\rfloor \phi '(u)\,du,\end{aligned}}}$

предполагая, что оба члена в правой части существуют и конечны.

Формула суммирования Абеля может быть обобщена на случай, когда ${\displaystyle \phi }$ считается непрерывным только в том случае, если интеграл интерпретируется как Интеграл Римана – Стилтьеса.:

${\displaystyle \sum _{x<n\leq y}a_{n}\phi (n)=A(y)\phi (y)-A(x)\phi (x)-\int _{x}^{y}A(u)\,d\phi (u).}$

Принимая ${\displaystyle \phi }$ быть функцией частичной суммы, связанной с некоторой последовательностью, это приводит к суммирование по частям формула.

Примеры

Гармонические числа

Если ${\displaystyle a_{n}=1}$ за ${\displaystyle n\geq 1}$ и ${\displaystyle \phi (x)=1/x,}$ тогда ${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor }$ и формула дает

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,du.}$

Левая часть - это номер гармоники ${\displaystyle H_{\lfloor x\rfloor }}$.

Представление дзета-функции Римана

Исправить комплексное число ${\displaystyle s}$. Если ${\displaystyle a_{n}=1}$ за ${\displaystyle n\geq 1}$ и ${\displaystyle \phi (x)=x^{-s},}$ тогда ${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor }$ и формула становится

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s}}}+s\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\,du.}$

Если ${\displaystyle \Re (s)>1}$, то предел при ${\displaystyle x\to \infty }$ существует и дает формулу

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\,du.}$

Это может быть использовано для вывода теоремы Дирихле о том, что ${\displaystyle \zeta (s)}$ имеет простой столб с остаток 1 в s = 1.

Взаимная дзета-функция Римана

Технику из предыдущего примера можно применить и к другим Серия Дирихле. Если ${\displaystyle a_{n}=\mu (n)}$ это Функция Мёбиуса и ${\displaystyle \phi (x)=x^{-s}}$, тогда ${\displaystyle A(x)=M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$ является Функция Мертенса и

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(u)}{u^{1+s}}}\,du.}$

Эта формула верна для ${\displaystyle \Re (s)>1}$.

Смотрите также

• Суммирование по частям
• Интеграция по частям

Рекомендации

• Апостол, Том (1976), Введение в аналитическую теорию чисел, Тексты для бакалавриата по математике, Springer-Verlag.