Разрывает машину - Rips machine - Wikipedia

В геометрическая теория групп, то Разрывает машину это метод изучения действие из группы на р-деревья. Он был представлен в неопубликованной работе Элияху Рипс примерно в 1991 г.

An р-дерево уникально линейно связанный метрическое пространство в котором каждая дуга изометрична некоторому действительному интервалу. Рипс доказал гипотезу Морган и Шелен (1991) что любой конечно порожденная группа действовать свободно на р-дерево - это бесплатный продукт свободных абелевых и поверхностных групп (Bestvina & Feighn 1995 ).

Действия групп поверхностей на R-деревьях

К Теория Басса – Серра, группа, свободно действующая на симплициальном дереве, свободна. Это больше не верно для р-деревья, как Морган и Шелен (1991) показал, что фундаментальные группы поверхностей Эйлерова характеристика меньше -1 также свободно действуют на р-деревья. Они доказали, что фундаментальная группа связной замкнутой поверхности S свободно действует на R-дереве тогда и только тогда, когда S не является одной из трех неориентируемых поверхностей эйлеровой характеристики ≥ − 1.

Приложения

Машина Рипса сопоставляет устойчивое изометрическое действие конечно порожденной группы грамм определенное приближение "нормальной формы" этого действия устойчивым действием грамм на симплициальном дереве и, следовательно, расщепление грамм в смысле теории Басса – Серра. Групповые действия на настоящие деревья возникают естественно в нескольких контекстах в геометрическая топология: например, как граничные точки Пространство Тейхмюллера^[1] (Каждая точка на границе Терстона пространства Тейхмюллера представлена ​​измеренным геодезическим слоем на поверхности; эта слоистость поднимается до универсального покрытия поверхности, и естественно двойственный объект к этому лифту является ${\displaystyle \mathbb {R} }$-дерево, наделенное изометрическим действием фундаментальной группы поверхности), как Пределы Громова-Хаусдорфа из, с соответствующим изменением масштаба, Клейнианская группа действия,^[2][3] и так далее. Использование ${\displaystyle \mathbb {R} }$-деревья обеспечивают существенные сокращения в современных доказательствах Теорема Терстона о гиперболизации за 3-многообразия Хакена.^[3][4] По аналогии, ${\displaystyle \mathbb {R} }$-деревья играют ключевую роль в изучении Каллер -Фогтманн космическое пространство^[5][6] а также в других областях геометрическая теория групп; Например, асимптотические конусы групп часто имеют древовидную структуру и приводят к групповым действиям на настоящие деревья.^[7][8] Использование ${\displaystyle \mathbb {R} }$-деревья вместе с теорией Басса – Серра являются ключевым инструментом в работе Селы по решению проблемы изоморфизма для (без кручения) словесно-гиперболические группы, Версия Селы теории JSJ-разложения и работа Селы по гипотезе Тарского для свободных групп и теории ограничить группы.^[9][10]

Рекомендации

1. Ричард Скора. Расщепление поверхностей. Бюллетень Американского математического общества (N.S.), т. 23 (1990), нет. 1. С. 85–90.
2. Младен Бествина. Вырождения гиперболического пространства. Математический журнал герцога. т. 56 (1988), нет. 1. С. 143–161.
3. М. Капович. Гиперболические многообразия и дискретные группы.Успехи в математике, 183. Birkhäuser. Бостон, Массачусетс, 2001. ISBN  0-8176-3904-7
4. Ж.-П. Отал. Теорема гиперболизации для расслоенных трехмерных многообразий.Перевод с французского оригинала 1996 года Лесли Д. Кей. Тексты и монографии SMF / AMS, 7. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд; Société Mathématique de France, Париж. ISBN  0-8218-2153-9
5. Маршал Коэн и Мартин Лустиг. Действия очень малых групп на ${\displaystyle \mathbb {R} }$-деревья и твист-автоморфизмы Дена. Топология, т. 34 (1995), нет. 3. С. 575–617.
6. Гилберт Левитт и Мартин Лустиг. Неприводимые автоморфизмы F_п имеют динамику север-юг в компактифицированном космическом пространстве. Journal de l'Institut de Mathématiques de Jussieu, vol. 2 (2003), нет. 1. С. 59–72.
7. Корнелия Другу и Марк Сапир. Древовидные пространства и асимптотические конусы групп. (С приложением Денис Осин и Марк Сапир.) Топология, т. 44 (2005), нет. 5. С. 959–1058.
8. Корнелия Друту и ​​Марк Сапир. Группы, действующие на древовидных пространствах и расщепления относительно гиперболических групп. Успехи в математике, т. 217 (2008), нет. 3. С. 1313–1367.
9. Злил Села. Диофантова геометрия над группами и элементарная теория свободных и гиперболических групп. Труды Международного конгресса математиков, Vol. II (Пекин, 2002), стр. 87–92, Higher Ed. Press, Пекин, 2002; ISBN  7-04-008690-5
10. Злил Села. Диофантова геометрия над группами. Диаграммы Маканина-Разборова. Публикации Mathématiques. Institut de Hautes Études Scientifiques, № 93 (2001), стр. 31–105.

• Бествина, Младен; Файн, Марк (1995), "Стабильные действия групп на реальных деревьях", Inventiones Mathematicae, 121 (2): 287–321, Дои:10.1007 / BF01884300, ISSN  0020-9910, МИСТЕР  1346208
• Gaboriau, D .; Levitt, G .; Паулин, Ф. (1994), "Псевдогруппы изометрий р и теоремы Рипса о свободных действиях на р-деревья ", Израильский математический журнал, 87 (1): 403–428, Дои:10.1007 / BF02773004, ISSN  0021-2172, МИСТЕР  1286836
• Капович, Михаил (2009) [2001], Гиперболические многообразия и дискретные группы, Modern Birkhäuser Classics, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Дои:10.1007/978-0-8176-4913-5, ISBN  978-0-8176-4912-8, МИСТЕР  1792613
• Морган, Джон В .; Шален, Питер Б. (1991), "Свободные действия поверхностных групп на р-деревья ", Топология, 30 (2): 143–154, Дои:10.1016 / 0040-9383 (91) 90002-Л, ISSN  0040-9383, МИСТЕР  1098910
• Шален, Питер Б. (1987), «Дендрология групп: введение», в Герстене, С. М. (ред.), Очерки теории групп, Математика. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 265–319, ISBN  978-0-387-96618-2, МИСТЕР  0919830

внешняя ссылка