Алгебра Рота – Бакстера - Rota–Baxter algebra

В математика, а Алгебра Рота – Бакстера является ассоциативная алгебра вместе с конкретным линейная карта р который удовлетворяет Тождество Роты – Бакстера. Впервые он появился в работе американского математика. Глен Э. Бакстер^[1] в сфере теория вероятности. Работа Бакстера была исследована под разными углами Джан-Карло Рота,^[2][3][4] Пьер Картье,^[5] и Фредерик В. Аткинсон,^[6] среди прочего. Вывод Бакстера этого тождества, который позже носил его имя, явился результатом некоторых фундаментальных результатов известного теоретика теории вероятностей. Фрэнк Спитцер в случайная прогулка теория.^[7][8]

В 1980-х годах оператор Рота-Бакстера веса 0 в контексте алгебр Ли был переоткрыт как операторная форма классической Уравнение Янга – Бакстера,^[9] назван в честь известных физиков Чен-Нин Ян и Родни Бакстер.

Изучение алгебр Рота – Бакстера пережило в этом столетии возрождение, начавшееся с нескольких разработок в алгебраическом подходе к перенормировке пертурбативной квантовой теории поля.^[10] дендриформные алгебры, ассоциативный аналог классического уравнения Янга – Бакстера^[11] и смешиваемые конструкции перемешанного продукта.^[12]

Определение и первые свойства

Позволять k коммутативное кольцо и пусть ${displaystyle lambda }$ быть данным. Линейный оператор р на k-алгебра А называется Оператор веса Рота – Бакстера. ${displaystyle lambda }$ если он удовлетворяет Соотношение веса Рота – Бакстера ${displaystyle lambda }$:

${displaystyle R(x)R(y)=R(R(x)y)+R(xR(y))+lambda R(xy)}$

для всех ${displaystyle x,yin A}$. Тогда пара ${displaystyle (A,R)}$ или просто А называется Алгебра веса Рота – Бакстера ${displaystyle lambda }$. В некоторой литературе ${displaystyle heta =-lambda }$ используется, и в этом случае приведенное выше уравнение становится

${displaystyle R(x)R(y)+ heta R(xy)=R(R(x)y)+R(xR(y)),}$

называется Уравнение веса Рота-Бакстера ${displaystyle heta }$. Также используются термины алгебра операторов Бакстера и алгебра Бакстера.

Позволять ${displaystyle R}$ быть Рота – Бакстером веса ${displaystyle lambda }$. потом ${displaystyle -lambda Id-R}$ также является оператором Рота – Бакстера веса ${displaystyle lambda }$. Далее, для ${displaystyle mu }$ в k, ${displaystyle mu R}$ является оператором Рота-Бакстера веса ${displaystyle mu lambda }$.

Примеры

Интеграция по частям

Интеграция по частям является примером алгебры Роты – Бакстера веса 0. Пусть ${displaystyle C(R)}$ быть алгеброй непрерывные функции от реальной линии к реальной линии. Позволять :${displaystyle f(x)in C(R)}$ - непрерывная функция. Определять интеграция как оператор Рота – Бакстера

${displaystyle I(f)(x)=int _{0}^{x}f(t)dt;.}$

Позволять G (х) = Я (г) (х) и F (х) = Я (е) (х). Тогда формулу интегрирования для деталей можно записать в терминах этих переменных как

${displaystyle F(x)G(x)=int _{0}^{x}f(t)G(t)dt+int _{0}^{x}F(t)g(t)dt;.}$

Другими словами

${displaystyle I(f)(x)I(g)(x)=I(fI(g)(t))(x)+I(I(f)(t)g)(x);,}$

что показывает, что я является алгеброй Рота – Бакстера веса 0.

Личность Спитцера

Появившаяся личность Спитцера названа в честь американского математика. Фрэнк Спитцер. Он считается замечательной ступенькой в ​​теории сумм независимых случайных величин в теории вероятностей флуктуаций. Его естественно понять в терминах операторов Рота – Бакстера.

Тождество Боненбласта – Спитцера

Примечания

1. Бакстер, Г. (1960). «Аналитическая задача, решение которой следует из простого алгебраического тождества». Pacific J. Math. 10 (3): 731–742. Дои:10.2140 / pjm.1960.10.731. МИСТЕР  0119224.
2. Рота, Г.-К. (1969). "Алгебры Бакстера и комбинаторные тождества, I, II". Бык. Амер. Математика. Soc. 75 (2): 325–329. Дои:10.1090 / S0002-9904-1969-12156-7.; там же. 75, 330–334, (1969). Печатается на: Джан-Карло Рота по комбинаторике: вводные статьи и комментарии, J. P. S. Kung Ed., Contemp. Математики, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1995.
3. Г.-К. Рота, Операторы Бакстера, введение, В: Джан-Карло Рота о комбинаторике, вводные статьи и комментарии, J.P.S. Kung Ed., Contemp. Математики, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1995.
4. Г.-К. Рота и Д. Смит, Теория флуктуаций и алгебры Бакстера, Instituto Nazionale di Alta Matematica, IX, 179–201, (1972). Печатается на: Джан-Карло Рота по комбинаторике: вводные статьи и комментарии, J. P. S. Kung Ed., Contemp. Математики, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1995.
5. Картье, П. (1972). «О строении свободных алгебр Бакстера». Успехи в математике. 9 (2): 253–265. Дои:10.1016/0001-8708(72)90018-7.
6. Аткинсон, Ф. В. (1963). «Некоторые аспекты функционального уравнения Бакстера». J. Math. Анальный. Приложение. 7: 1–30. Дои:10.1016 / 0022-247X (63) 90075-1.
7. Спитцер, Ф. (1956). «Комбинаторная лемма и ее приложение к теории вероятностей». Пер. Амер. Математика. Soc. 82 (2): 323–339. Дои:10.1090 / S0002-9947-1956-0079851-X.
8. Спитцер, Ф. (1976). «Принципы случайных блужданий». Тексты для выпускников по математике. 34 (Второе изд.). Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag.
9. Семенов-Тян-Шанский, М.А. (1983). "Что такое классический р-матрица? ". Func. Анальный. Приложение. 17 (4): 259–272. Дои:10.1007 / BF01076717.
10. Connes, A .; Креймер, Д. (2000). «Перенормировка в квантовой теории поля и проблема Римана-Гильберта. I. Структура алгебры Хопфа графов и основная теорема». Comm. Математика. Phys. 210 (1): 249–273. arXiv:hep-th / 9912092. Дои:10.1007 / s002200050779.
11. Агиар, М. (2000). «Инфинитезимальные алгебры Хопфа». Contemp. Математика. Современная математика. 267: 1–29. Дои:10.1090 / conm / 267/04262. ISBN  9780821821268.
12. Guo, L .; Кейгер, В. (2000). "Алгебры Бакстера и перемешанные произведения". Adv. Математика. 150: 117–149. arXiv:математика / 0407155. Дои:10.1006 / aima.1999.1858.

внешняя ссылка

• Ли Го. ЧТО ТАКОЕ ... алгебра Рота-Бакстера? Уведомления AMS, декабрь 2009 г., том 56, выпуск 11