Теорема Рунге – Гросса - Runge–Gross theorem

В квантовая механика, конкретно теория функционала плотности, зависящая от времени, то Теорема Рунге – Гросса (Теорема RG) показывает, что для система многих тел развивающиеся из данного начального волновая функция, существует взаимно однозначное сопоставление между потенциалом (или потенциалами), в котором система развивается, и плотностью (или плотностями) системы. Потенциалы, при которых выполняется теорема, определены с точностью до аддитивной чисто временной функции: такие функции изменяют только фазу волновой функции и оставляют неизменной плотность. Чаще всего теорема РГ применяется к молекулярным системам, в которых электронная плотность, ρ(р,т) изменяется в ответ на внешнее скалярный потенциал, v(р,т), например изменяющееся во времени электрическое поле.^[1]

Теорема Рунге – Гросса обеспечивает формальную основу теории функционала плотности, зависящей от времени. Это показывает, что плотность может использоваться как фундаментальная переменная при описании квантовых системы многих тел вместо волновой функции, и что все свойства системы функционалы плотности.

Теорема была опубликована Эрих Рунге [де ] и Эберхард К. У. Гросс [де ] в 1984 г.^[2] По состоянию на январь 2011 года оригинал статьи цитировался более 1700 раз.^[3]

Обзор

Теорема Рунге – Гросса первоначально была получена для электронов, движущихся в скалярное внешнее поле.^[2] Для такого поля, обозначенного v и количество электрона, N, которые вместе определяют Гамильтониан ЧАС_v, и начальное условие на волновую функцию Ψ (т = т₀) = Ψ₀, эволюция волновой функции определяется Уравнение Шредингера

${displaystyle {hat {H}}_{v}(t)|Psi (t)angle =i{frac {partial }{partial t}}|Psi (t)angle .}$

В любой момент времени N-электронная волновая функция, которая зависит от 3N пространственные и N вращение координаты, определяет электронная плотность через интеграцию как

${displaystyle ho (mathbf {r} ,t)=Nsum _{s_{1}}cdots sum _{s_{N}}int mathrm {d} mathbf {r} _{2} cdots int mathrm {d} mathbf {r} _{N} |Psi (mathbf {r} _{1},s_{1},mathbf {r} _{2},s_{2},...,mathbf {r} _{N},s_{N},t)|^{2}.}$

Два внешних потенциала, различающиеся только аддитивной зависящей от времени, пространственно независимой функцией, c(т), порождают волновые функции, отличающиеся только фазовый фактор ехр (-IC(т)), а значит, и той же электронной плотности. Эти конструкции обеспечивают отображение внешнего потенциала на электронную плотность:

${displaystyle v(mathbf {r} ,t)+c(t)ightarrow e^{-ic(t)}|Psi (t)angle ightarrow ho (mathbf {r} ,t).}$

Теорема Рунге – Гросса показывает, что это отображение обратимо по модулю c(т). Эквивалентно, что плотность является функционалом внешнего потенциала и исходной волновой функции в пространстве потенциалов, различающихся более чем на добавление c(т):

${displaystyle ho (mathbf {r} ,t)=ho [v,Psi _{0}](mathbf {r} ,t)leftrightarrow v(mathbf {r} ,t)=v[ho ,Psi _{0}](mathbf {r} ,t)}$

Доказательство

Учитывая два скалярных потенциала, обозначенных как v(р,т) и v'(р,т), которые отличаются более чем аддитивным чисто зависящим от времени членом, доказательство следует, показывая, что плотности, соответствующие каждому из двух скалярных потенциалов, полученных путем решения уравнения Шредингера, различаются.

Доказательство в значительной степени опирается на предположение, что внешний потенциал может быть разложен за Серия Тейлор о начальном времени. Доказательство также предполагает, что плотность равна нулю на бесконечности, что делает его справедливым только для конечных систем.

Доказательство Рунге – Гросса сначала показывает, что существует взаимно однозначное отображение между внешними потенциалами и плотностями тока с помощью Уравнение движения Гейзенберга для плотности тока, чтобы связать производные плотности тока по времени с пространственными производными внешнего потенциала. Учитывая этот результат, уравнение неразрывности используется на втором этапе, чтобы связать производные по времени электронной плотности с производными по времени внешнего потенциала.

Предположение, что два потенциала различаются более чем на аддитивный пространственно независимый член и могут быть расширены в ряд Тейлора, означает, что существует целое число k ≥ 0, такие что

${displaystyle u_{k}(mathbf {r} )equiv left.{frac {partial ^{k}}{partial t^{k}}}{ig (}v(mathbf {r} ,t)-v'(mathbf {r} ,t){ig )}ight|_{t=t_{0}}}$

не постоянна в пространстве. Это условие используется во всем аргументе.

Шаг 1

От Уравнение движения Гейзенберга, временная эволюция плотность тока, j(р,т), под действием внешнего потенциала v(р,т), определяющий гамильтониан ЧАС_v, является

${displaystyle i{frac {partial mathbf {j} (mathbf {r} ,t)}{partial t}}=langle Psi (t)|[{hat {mathbf {j} }}(mathbf {r} ),{hat {H}}_{v}(t)]|Psi (t)angle .}$

Представляя два потенциала v и v', отличающиеся более чем на дополнительный пространственно постоянный член, и соответствующие им плотности тока j и j'уравнение Гейзенберга влечет

${displaystyle {egin{aligned}ileft.{frac {partial }{partial t}}{ig (}mathbf {j} (mathbf {r} ,t)-mathbf {j} '(mathbf {r} ,t){ig )}ight|_{t=t_{0}}&=langle Psi (t_{0})|[{hat {mathbf {j} }}(mathbf {r} ),{hat {H}}_{v}(t_{0})-{hat {H}}_{v'}(t_{0})]|Psi (t_{0})angle ,&=langle Psi (t_{0})|[{hat {mathbf {j} }}(mathbf {r} ),{hat {V}}(t_{0})-{hat {V}}'(t_{0})]|Psi (t_{0})angle ,&=iho (mathbf {r} ,t_{0})abla {ig (}v(mathbf {r} ,t_{0})-v'(mathbf {r} ,t_{0}){ig )}.end{aligned}}}$

Последняя строка показывает, что если два скалярных потенциала различаются в начальный момент времени более чем на пространственно независимую функцию, то плотности тока, которые генерируют потенциалы, будут отличаться бесконечно мало после т₀. Если два потенциала не различаются при т₀, но ты_k(р) ≠ 0 для некоторого значения k, то повторное применение уравнения Гейзенберга показывает, что

${displaystyle i^{k+1}left.{frac {partial ^{k+1}}{partial t^{k+1}}}{ig (}mathbf {j} (mathbf {r} ,t)-mathbf {j} '(mathbf {r} ,t){ig )}ight|_{t=t_{0}}=iho (mathbf {r} ,t)abla i^{k}left.{frac {partial ^{k}}{partial t^{k}}}{ig (}v(mathbf {r} ,t)-v'(mathbf {r} ,t){ig )}ight|_{t=t_{0}},}$

обеспечение того, чтобы плотность тока была бесконечно отличной от нуля после т₀.

Шаг 2

Электронная плотность и плотность тока связаны соотношением уравнение неразрывности формы

${displaystyle {frac {partial ho (mathbf {r} ,t)}{partial t}}+abla cdot mathbf {j} (mathbf {r} ,t)=0.}$

Повторное применение уравнения неразрывности к разности плотностей ρ и ρ', и плотности тока j и j', дает

${displaystyle {egin{aligned}left.{frac {partial ^{k+2}}{partial t^{k+2}}}(ho (mathbf {r} ,t)-ho '(mathbf {r} ,t))ight|_{t=t_{0}}&=-abla cdot left.{frac {partial ^{k+1}}{partial t^{k+1}}}{ig (}mathbf {j} (mathbf {r} ,t)-mathbf {j} '(mathbf {r} ,t){ig )}ight|_{t=t_{0}},&=-abla cdot [ho (mathbf {r} ,t_{0})abla left.{frac {partial ^{k}}{partial t^{k}}}{ig (}v(mathbf {r} ,t_{0})-v'(mathbf {r} ,t_{0}){ig )}ight|_{t=t_{0}}],&=-abla cdot [ho (mathbf {r} ,t_{0})abla u_{k}(mathbf {r} )].end{aligned}}}$

Две плотности будут различаться, если правая часть (RHS) отлична от нуля для некоторого значения k. Не обращение в нуль правой руки следует из сокращение до абсурда аргумент. Предполагая, что вопреки нашему желаемому результату,

${displaystyle abla cdot (ho (mathbf {r} ,t_{0})abla u_{k}(mathbf {r} ))=0,}$

проинтегрируем по всему пространству и применим теорему Грина.

${displaystyle {egin{aligned}0&=int mathrm {d} mathbf {r} u_{k}(mathbf {r} )abla cdot (ho (mathbf {r} ,t_{0})abla u_{k}(mathbf {r} )),&=-int mathrm {d} mathbf {r} ho (mathbf {r} ,t_{0})(abla u_{k}(mathbf {r} ))^{2}+{frac {1}{2}}int mathrm {d} mathbf {S} cdot ho (mathbf {r} ,t_{0})(abla u_{k}^{2}(mathbf {r} )).end{aligned}}}$

Второй член - это поверхностный интеграл по бесконечной сфере. Предполагая, что плотность равна нулю на бесконечности (в конечных системах плотность убывает до нуля экспоненциально) и что ∇ты_k²(р) растет медленнее, чем уменьшается плотность,^[4] поверхностный интеграл обращается в нуль и из-за неотрицательности плотности

${displaystyle ho (mathbf {r} ,t_{0})(abla u_{k}(mathbf {r} ))^{2}=0,}$

подразумевая, что ты_k - константа, что противоречит исходному предположению и завершает доказательство.

Расширения

Доказательство Рунге – Гросса справедливо для чистых электронных состояний в присутствии скалярного поля. Первое расширение теоремы RG было на зависящую от времени ансамбли, который использовал Уравнение Лиувилля связать гамильтониан и матрица плотности.^[5] Доказательство теоремы РГ для многокомпонентных систем, в которых более одного типа частиц рассматриваются в рамках полной квантовой теории, было представлено в 1986 году.^[6] Учет магнитных эффектов требует введения векторный потенциал (А(р)) которые вместе со скалярным потенциалом однозначно определяют плотность тока.^[7][8] Зависящие от времени теории функционала плотности сверхпроводимость были введены в 1994 и 1995 гг.^[9][10] Здесь скаляр, вектор и спаривание (D(т)) карта потенциалов между током и аномальный (Δ_IP(р,т)) плотности.

Рекомендации

1. Marques, Miguel A. L .; Эберхард К. У. Гросс (2003). Карлос Фиолхайс; Фернандо Ногейра; Мигель Маркес (ред.). Функциональная теория плотности, зависящая от времени, в учебнике по функциональной теории плотности. Springer. С. 144–151. ISBN  978-3-540-03083-6.
2. Рунге, Эрих; Э. К. У. Гросс (1984). "Теория функций плотности для систем, зависящих от времени". Phys. Rev. Lett. 52 (12): 997–1000. Bibcode:1984ПхРвЛ..52..997Р. Дои:10.1103 / PhysRevLett.52.997.
3. Сеть знаний ISI цитируемый справочный поиск, 7 января 2011 г.
4. Дхара, Асиш К .; Свапан К. Гош (1987). «Плотно-функциональная теория для нестационарных систем». Phys. Ред. А. 35 (1): 442–444. Bibcode:1987PhRvA..35..442D. Дои:10.1103 / PhysRevA.35.442. PMID  9897975.
5. Ли, Тие-чэн; Пэй-цин Тонг (1985). "Теорема Хоэнберга-Кона для нестационарных ансамблей". Phys. Ред. А. 31 (3): 1950–1951. Bibcode:1985ПхРвА..31.1950Л. Дои:10.1103 / PhysRevA.31.1950. PMID  9895712.
6. Ли, Тие-Ченг; Пэй-цин Тонг (1986). «Зависящая от времени теория функционала плотности для многокомпонентных систем». Phys. Ред. А. 34 (1): 529–532. Bibcode:1986ПхРвА..34..529Л. Дои:10.1103 / PhysRevA.34.529. PMID  9897279.
7. Ghosh, Swapan K .; Асиш К. Дхара (1988). «Плотностно-функциональная теория многоэлектронных систем, подверженных влиянию электрических и магнитных полей, зависящих от времени». Phys. Ред. А. 38 (3): 1149–1158. Bibcode:1988ПхРвА..38.1149Г. Дои:10.1103 / PhysRevA.38.1149. PMID  9900485.
8. Виньяле, Джованни (2004). «Отображение плотности тока в векторные потенциалы в теории функционала плотности тока, зависящей от времени». Phys. Ред. B. 70 (20): 201102. arXiv:cond-mat / 0407682. Bibcode:2004ПхРвБ..70т1102В. Дои:10.1103 / PhysRevB.70.201102.
9. Wacker, O. -J .; Р. Кюммель; Э. К. У. Гросс (1994). "Зависящая от времени теория функций плотности сверхпроводников". Phys. Rev. Lett. 73 (21): 2915–2918. Bibcode:1994PhRvL..73.2915W. Дои:10.1103 / PhysRevLett.73.2915. PMID  10057228.
10. Rajagopal, A.K .; Ф. А. Буот (1995). «Функциональная теория, зависящая от времени для сверхпроводников». Phys. Ред. B. 52 (9): 6769–6774. Bibcode:1995PhRvB..52.6769R. Дои:10.1103 / PhysRevB.52.6769. PMID  9981905.