Тест Шура - Schur test

В математический анализ, то Тест Шура, названный в честь немецкого математика Иссай Шур, является ограничением ${displaystyle L^{2} o L^{2}}$ норма оператора из интегральный оператор с точки зрения его Ядро Шварца (видеть Теорема о ядре Шварца ).

Вот одна из версий.^[1] Позволять ${displaystyle X,,Y}$ быть двумя измеримые пространства (Такие как ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$). Позволять ${displaystyle ,T}$ быть интегральный оператор с неотрицательным ядром Шварца ${displaystyle ,K(x,y)}$, ${displaystyle xin X}$, ${displaystyle yin Y}$:

${displaystyle Tf(x)=int _{Y}K(x,y)f(y),dy.}$

Если существуют реальные функции ${displaystyle ,p(x)>0}$ и ${displaystyle ,q(y)>0}$ и числа ${displaystyle ,alpha ,eta >0}$ такой, что

${displaystyle (1)qquad int _{Y}K(x,y)q(y),dyleq alpha p(x)}$

за почти все ${displaystyle ,x}$ и

${displaystyle (2)qquad int _{X}p(x)K(x,y),dxleq eta q(y)}$

почти для всех ${displaystyle ,y}$, тогда ${displaystyle ,T}$ распространяется на непрерывный оператор ${displaystyle T:L^{2} o L^{2}}$ с норма оператора

${displaystyle Vert TVert _{L^{2} o L^{2}}leq {sqrt {alpha eta }}.}$

Такие функции ${displaystyle ,p(x)}$, ${displaystyle ,q(y)}$ называются тестовыми функциями Шура.

В исходной версии ${displaystyle ,T}$ матрица и ${displaystyle ,alpha =eta =1}$.^[2]

Обычное употребление и неравенство Юнга

Обычно тест Шура используется для ${displaystyle ,p(x)=q(y)=1.}$ Тогда получаем:

${displaystyle Vert TVert _{L^{2} o L^{2}}^{2}leq sup _{xin X}int _{Y}|K(x,y)|,dycdot sup _{yin Y}int _{X}|K(x,y)|,dx.}$

Это неравенство справедливо независимо от того, работает ли ядро ​​Шварца ${displaystyle ,K(x,y)}$ неотрицательно или нет.

Аналогичное заявление о ${displaystyle L^{p} o L^{q}}$ операторные нормы известны как Неравенство Юнга для интегральных операторов:^[3]

если

${displaystyle sup _{x}{Big (}int _{Y}|K(x,y)|^{r},dy{Big )}^{1/r}+sup _{y}{Big (}int _{X}|K(x,y)|^{r},dx{Big )}^{1/r}leq C,}$

куда ${displaystyle r}$ удовлетворяет ${displaystyle {frac {1}{r}}=1-{Big (}{frac {1}{p}}-{frac {1}{q}}{Big )}}$, для некоторых ${displaystyle 1leq pleq qleq infty }$, то оператор ${displaystyle Tf(x)=int _{Y}K(x,y)f(y),dy}$ распространяется на непрерывный оператор ${displaystyle T:L^{p}(Y) o L^{q}(X)}$, с ${displaystyle Vert TVert _{L^{p} o L^{q}}leq C.}$

Доказательство

С использованием Неравенство Коши – Шварца и неравенства (1) получаем:

${displaystyle {egin{aligned}|Tf(x)|^{2}=left|int _{Y}K(x,y)f(y),dyight|^{2}&leq left(int _{Y}K(x,y)q(y),dyight)left(int _{Y}{frac {K(x,y)f(y)^{2}}{q(y)}}dyight)&leq alpha p(x)int _{Y}{frac {K(x,y)f(y)^{2}}{q(y)}},dy.end{aligned}}}$

Интегрируя указанное выше соотношение в ${displaystyle x}$, с помощью Теорема Фубини, и применяя неравенство (2), получим:

${displaystyle Vert TfVert _{L^{2}}^{2}leq alpha int _{Y}left(int _{X}p(x)K(x,y),dxight){frac {f(y)^{2}}{q(y)}},dyleq alpha eta int _{Y}f(y)^{2}dy=alpha eta Vert fVert _{L^{2}}^{2}.}$

Следует, что ${displaystyle Vert TfVert _{L^{2}}leq {sqrt {alpha eta }}Vert fVert _{L^{2}}}$ для любого ${displaystyle fin L^{2}(Y)}$.

Смотрите также

• Неравенство Харди – Литтлвуда – Соболева.

Рекомендации

1. Пол Ричард Халмос и Виакалатур Шанкар Сандер, Ограниченные интегральные операторы на ${displaystyle L^{2}}$ пробелы, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (Результаты по математике и смежным областям), т. 96., Springer-Verlag, Berlin, 1978. Теорема 5.2.
2. И. Шур, Bemerkungen zur Theorie der Beschränkten Bilinearformen mit unendlich vielen Veränderlichen, J. Reine Angew. Математика. 140 (1911), 1-28.
3. Теорема 0.3.1 в: К. Д. Согге, Интегральные операторы Фурье в классическом анализе, Издательство Кембриджского университета, 1993. ISBN  0-521-43464-5