Полуортогональное разложение - Semiorthogonal decomposition

В математике полуортогональное разложение способ разделить триангулированная категория на более простые части. Один из способов получить полуортогональное разложение - это исключительная коллекция, особая последовательность объектов в триангулированной категории. Для алгебраическое многообразие Икс, было плодотворным изучение полуортогональных разложений ограниченного производная категория из когерентные пучки, ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}$.

Полуортогональное разложение

Алексей Бондал и Михаил Капранов (1989) определил полуортогональное разложение триангулированной категории ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ быть последовательностью ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}}$ из строго полный триангулированные подкатегории, такие что:^[1]

• для всех ${\displaystyle 1\leq i<j\leq n}$ и все объекты ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}}$ и ${\displaystyle A_{j}\in {\mathcal {A}}_{j}}$, каждый морфизм из ${\displaystyle A_{j}}$ к ${\displaystyle A_{i}}$ равно нулю. То есть «нет морфизмов справа налево».
• ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ генерируется ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}}$. То есть наименьшая строго полная триангулированная подкатегория категории ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ содержащий ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}}$ равно ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$.

Обозначение ${\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}\rangle }$ используется для полуортогонального разложения.

Полуортогональная декомпозиция подразумевает, что каждый объект ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ имеет каноническую «фильтрацию», чьи градуированные части (последовательно) попадают в подкатегории ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}}$. То есть для каждого объекта Т из ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, есть последовательность

${\displaystyle 0=T_{n}\to T_{n-1}\to \cdots \to T_{0}=T}$

морфизмов в ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ так что конус из ${\displaystyle T_{i}\to T_{i-1}}$ в ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}$, для каждого я. Более того, эта последовательность единственна с точностью до единственного изоморфизма.^[2]

Можно также рассматривать «ортогональные» разложения триангулированной категории, требуя, чтобы не было морфизмов из ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}$ к ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{j}}$ для любого ${\displaystyle i\neq j}$. Однако это свойство слишком сильно для большинства целей. Например, для (неприводимого) гладкий; плавный проективное разнообразие Икс через поле, ограниченный производная категория ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}$ из когерентные пучки никогда не имеет нетривиального ортогонального разложения, тогда как он может иметь полуортогональное разложение, как показано в примерах ниже.

Полуортогональное разложение триангулированной категории можно рассматривать как аналог конечной фильтрация из абелева группа. В качестве альтернативы можно рассмотреть полуортогональное разложение ${\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\rangle }$ как ближе к разделить точную последовательность, потому что точная последовательность ${\displaystyle 0\to {\mathcal {A}}\to {\mathcal {T}}\to {\mathcal {T}}/{\mathcal {A}}\to 0}$ триангулированных категорий разбивается на подкатегорию ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {T}}}$, изоморфно отображая ${\displaystyle {\mathcal {T}}/{\mathcal {A}}}$.

Используя это наблюдение, полуортогональное разложение ${\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}\rangle }$ подразумевает прямая сумма разделение Группы Гротендика:

${\displaystyle K_{0}({\mathcal {T}})\cong K_{0}({\mathcal {A}}_{1})\oplus \cdots \oplus K_{0}({\mathcal {A_{n}}}).}$

Например, когда ${\displaystyle {\mathcal {T}}={\text{D}}^{\text{b}}(X)}$ - ограниченная производная категория когерентных пучков на гладком проективном многообразии Икс, ${\displaystyle K_{0}({\mathcal {T}})}$ можно отождествить с группой Гротендика ${\displaystyle K_{0}(X)}$ из алгебраические векторные расслоения на Икс. В этой геометрической ситуации, используя это ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}$ исходит из dg-категория, полуортогональное разложение фактически дает разбиение всех алгебраические K-группы из Икс:

${\displaystyle K_{i}(X)\cong K_{i}({\mathcal {A}}_{1})\oplus \cdots \oplus K_{i}({\mathcal {A_{n}}})}$

для всех я.^[3]

Допустимая подкатегория

Один из способов получить полуортогональное разложение - по допустимой подкатегории. По определению полная триангулированная подкатегория ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {T}}}$ является оставлено допустимым если функтор включения ${\displaystyle i\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {T}}}$ есть левый присоединенный функтор, написано ${\displaystyle i^{*}}$. Точно так же ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {T}}}$ является право допустимо если у включения есть правый сопряженный, записывается ${\displaystyle i^{!}}$, и это допустимый если он допустим как слева, так и справа.

Правая допустимая подкатегория ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {T}}}$ определяет полуортогональное разложение

${\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {B}}^{\perp },{\mathcal {B}}\rangle }$,

где

${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\perp }:=\{T\in {\mathcal {T}}:\operatorname {Hom} ({\mathcal {B}},T)=0\}}$

это право ортогональный из ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ в ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$.^[2] Наоборот, каждое полуортогональное разложение ${\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\rangle }$ возникает таким образом, в том смысле, что ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ допустимо справа и ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}^{\perp }}$. Аналогично, для любого полуортогонального разложения ${\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\rangle }$, подкатегория ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ допустимо слева, и ${\displaystyle {\mathcal {B}}={}^{\perp }{\mathcal {A}}}$, где

${\displaystyle {}^{\perp }{\mathcal {A}}:=\{T\in {\mathcal {T}}:\operatorname {Hom} (T,{\mathcal {A}})=0\}}$

это лево ортогональный из ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Если ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ - ограниченная производная категория гладкого проективного многообразия над полем k, то каждая допустимая слева или справа подкатегория ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ на самом деле допустимо.^[4] По результатам Бондал и Мишель Ван ден Берг, в целом это справедливо для ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ любая правильная собственная триангулированная категория, идемпотентно-полный.^[5]

Более того, для правильной собственной идемпотентно полной триангулированной категории ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$полная триангулированная подкатегория допустима тогда и только тогда, когда она регулярна и идемпотентно-полна. Эти свойства присущи подкатегории.^[6] Например, для Икс гладкое проективное многообразие и Y подмногообразие, не равное Икс, подкатегория ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}$ объектов, поддерживаемых на Y не допускается.

Исключительная коллекция

Позволять k быть полем, и пусть ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ быть k-линейная триангулированная категория. Объект E из ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ называется исключительный если Hom (E,E) = k и Hom (E,E[т]) = 0 для всех ненулевых целых чисел т, где [т] это функтор сдвига в ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$. (В производной категории гладкого сложный проективное разнообразие Икс, первого порядка деформационное пространство объекта E является ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{1}(E,E)\cong \operatorname {Hom} (E,E[1])}$, и поэтому исключительный объект особенно жесткий. Отсюда следует, например, что существует не более счетно много исключительных объектов в ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}$, с точностью до изоморфизма. Это помогает объяснить название.)

Триангулированная подкатегория, порожденная исключительным объектом E эквивалентна производной категории ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(k)}$ конечномерных k-векторные пространства, простейшая триангулированная категория в данном контексте. (Например, каждый объект этой подкатегории изоморфен конечной прямой сумме сдвигов E.)

Алексей Городенцев и Алексей Рудаков (1987) определили исключительная коллекция быть последовательностью исключительных объектов ${\displaystyle E_{1},\ldots ,E_{m}}$ такой, что ${\displaystyle \operatorname {Hom} (E_{j},E_{i}[t])=0}$ для всех я < j и все целые числа т. (То есть «нет морфизмов справа налево».) В правильной триангулированной категории ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ над k, например, ограниченная производная категория когерентных пучков на гладком проективном многообразии, каждый исключительный набор порождает допустимую подкатегорию и, таким образом, определяет полуортогональное разложение:

${\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}},E_{1},\ldots ,E_{m}\rangle ,}$

где ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\langle E_{1},\ldots ,E_{m}\rangle ^{\perp }}$, и ${\displaystyle E_{i}}$ обозначает полную триангулированную подкатегорию, порожденную объектом ${\displaystyle E_{i}}$.^[7] Исключительная коллекция называется полный если подкатегория ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ равно нулю. (Таким образом, полная исключительная коллекция разбивает всю триангулированную категорию на конечное число копий ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(k)}$.)

В частности, если Икс гладкое проективное многообразие такое, что ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}$ имеет полную исключительную коллекцию ${\displaystyle E_{1},\ldots ,E_{m}}$, то Группа Гротендик алгебраических векторных расслоений на Икс это свободная абелева группа по классам этих объектов:

${\displaystyle K_{0}(X)\cong \mathbb {Z} \{E_{1},\ldots ,E_{m}\}.}$

Гладкое комплексное проективное многообразие Икс с полной исключительной коллекцией должен иметь тривиальный Теория Ходжа, в том смысле, что ${\displaystyle h^{p,q}(X)=0}$ для всех ${\displaystyle p\neq q}$; кроме того, карта классов цикла ${\displaystyle CH^{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X,\mathbb {Q} )}$ должен быть изоморфизм.^[8]

Примеры

Оригинальный образец полной исключительной коллекции был обнаружен Александр Бейлинсон (1978): производная категория проективное пространство над полем имеет полную исключительную коллекцию

${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(\mathbf {P} ^{n})=\langle O,O(1),\ldots ,O(n)\rangle }$,

где O (j) для целых чисел j являются линейные расслоения на проективном пространстве.^[9] Полные исключительные коллекции также построены на всех гладких проективных торические многообразия, поверхности дель Пеццо, много проективные однородные многообразия, и некоторые другие Разновидности Фано.^[10]

В более общем смысле, если Икс - гладкое проективное многообразие положительной размерности такое, что когерентные когомологии пучков группы ${\displaystyle H^{i}(X,O_{X})}$ равны нулю для я > 0, то объект ${\displaystyle O_{X}}$ в ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}$ является исключительным, а значит, индуцирует нетривиальное полуортогональное разложение ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)=\langle (O_{X})^{\perp },O_{X}\rangle }$. Это относится ко всем Сорт Фано над полем характеристика ноль, Например. Это также относится к некоторым другим сортам, таким как Поверхности Энриквес и некоторые поверхности общий тип.

С другой стороны, многие естественные триангулированные категории «неразложимы». В частности, для гладкого проективного многообразия Икс чья канонический пакет ${\displaystyle K_{X}}$ является без базовых точек, каждое полуортогональное разложение ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)=\langle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\rangle }$ тривиально в том смысле, что ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ или ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ должно быть равно нулю.^[11] Например, это относится ко всем разновидностям, которые Калаби-Яу в том смысле, что его каноническое расслоение тривиально.

Смотрите также

• Полученная некоммутативная алгебраическая геометрия

Заметки

1. Huybrechts (2006), Определение 1.59.
2. Бондал и Капранов (1990), Предложение 1.5.
3. Орлов (2016), раздел 1.2.
4. Кузнецов (2007), леммы 2.10, 2.11, 2.12.
5. Орлов (2016), теорема 3.16.
6. Орлов (2016), предложения 3.17 и 3.20.
7. Хайбрехтс (2006), лемма 1.58.
8. Марколли и Табуада (2015), Предложение 1.9.
9. Хайбрехтс (2006), следствие 8.29.
10. Кузнецов (2014), раздел 2.2.
11. Кузнецов (2014), раздел 2.5.

использованная литература

• Бондал, Алексей; Капранов Михаил (1990), "Представимые функторы, функторы Серра и реконструкции", Математика Известий СССР, 35: 519–541, Дои:10.1070 / IM1990v035n03ABEH000716, Г-Н  1039961
• Хайбрехтс, Даниэль (2006), Преобразования Фурье – Мукаи в алгебраической геометрии, Oxford University Press, ISBN  978-0199296866, Г-Н  2244106
• Кузнецов Александр (2007), «Гомологическая проективная двойственность», Публикации Mathématiques de l'IHÉS, 105: 157–220, arXiv:математика / 0507292, Дои:10.1007 / s10240-007-0006-8, Г-Н  2354207
• Кузнецов Александр (2014), «Полуортогональные разложения в алгебраической геометрии», Материалы Международного конгресса математиков (Сеул, 2014 г.), 2, Сеул: Kyung Moon Sa, стр. 635-660, arXiv:1404.3143, Г-Н  3728631
• Марколли, Матильда; Табуада, Гонсало (2015), «От исключительных коллекций до мотивационных разложений через некоммутативные мотивы», Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 701: 153–167, arXiv:1202.6297, Дои:10.1515 / crelle-2013-0027, Г-Н  3331729
• Орлов, Дмитрий (2016), "Гладкие и собственные некоммутативные схемы и склейка DG-категорий", Успехи в математике, 302: 59–105, arXiv:1402.7364, Дои:10.1016 / j.aim.2016.07.014, Г-Н  3545926