Полученная некоммутативная алгебраическая геометрия - Derived noncommutative algebraic geometry

В математике производная некоммутативная алгебраическая геометрия,^[1] производная версия некоммутативная алгебраическая геометрия, является геометрическим исследованием производные категории и связанные конструкции триангулированных категорий с использованием категориальных инструментов. Некоторые основные примеры включают ограниченную производную категорию когерентных пучков на гладком многообразии, ${\displaystyle D^{b}(X)}$, называемая ее производной категорией, или производной категорией совершенных комплексов на алгебраическом многообразии, обозначаемой ${\displaystyle D_{\operatorname {perf} }(X)}$. Например, производная категория когерентных пучков ${\displaystyle D^{b}(X)}$ на гладком проективном многообразии может использоваться как инвариант основного многообразия во многих случаях (если ${\displaystyle X}$ имеет обильный (анти-) канонический пучок). К сожалению, изучение производных категорий как самих геометрических объектов не имеет стандартного названия.

Производная категория проективной прямой

Производная категория ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ является одним из мотивирующих примеров для производных некоммутативных схем из-за его простой категориальной структуры. Напомним, что Последовательность Эйлера из ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ это короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-2)\to {\mathcal {O}}(-1)^{\oplus 2}\to {\mathcal {O}}\to 0}$

если мы рассмотрим два члена справа как комплекс, то мы получим выделенный треугольник

${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)^{\oplus 2}{\overset {\phi }{\rightarrow }}{\mathcal {O}}\to \operatorname {Cone} (\phi ){\overset {+1}{\rightarrow }}.}$

поскольку ${\displaystyle \operatorname {Cone} (\phi )\cong {\mathcal {O}}(-2)[+1]}$ мы построили этот пучок ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-2)}$ используя только категориальные инструменты. Мы могли бы повторить это снова, напрягая последовательность Эйлера плоским пучком ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)}$, и снова применим конструкцию конуса. Если мы возьмем двойственные пучки, то мы сможем построить все линейные расслоения в ${\displaystyle \operatorname {Coh} (\mathbb {P} ^{1})}$ используя только его триангулированную структуру. Оказывается, правильный способ изучения производных категорий от его объектов и триангулированной структуры - это исключительные коллекции.

Полуортогональные разложения и исключительные коллекции

Основная статья: полуортогональное разложение

Технические инструменты для кодирования этой конструкции - полуортогональные разложения и исключительные коллекции.^[2] А полуортогональное разложение триангулированной категории ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ представляет собой набор полных триангулированных подкатегорий ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1},\ldots ,{\mathcal {T}}_{n}}$ такие, что выполняются следующие два свойства

(1) Для объектов ${\displaystyle T_{i}\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {T}}_{i})}$ у нас есть ${\displaystyle \operatorname {Hom} (T_{i},T_{j})=0}$ за ${\displaystyle i>j}$

(2) Подкатегории ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{i}}$ генерировать ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, то есть каждый объект ${\displaystyle T\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {T}})}$ можно разложить на последовательность ${\displaystyle T_{i}\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {T}})}$,

${\displaystyle 0=T_{n}\to T_{n-1}\to \cdots \to T_{1}\to T_{0}=T}$

такой, что ${\displaystyle \operatorname {Cone} (T_{i}\to T_{i-1})\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {T}}_{i})}$. Обратите внимание, что это аналогично фильтрации объекта в абелевой категории, так что коядра живут в определенной подкатегории.

Мы можем немного специализироваться на этом, рассмотрев исключительные коллекции объектов, которые генерируют свои собственные подкатегории. Объект ${\displaystyle E}$ в триангулированной категории называется исключительный если выполняется следующее свойство

${\displaystyle \operatorname {Hom} (E,E[+\ell ])={\begin{cases}k&{\text{if }}\ell =0\\0&{\text{if }}\ell \neq 0\end{cases}}}$

где ${\displaystyle k}$ является основным полем векторного пространства морфизмов. Коллекция исключительных предметов ${\displaystyle E_{1},\ldots ,E_{r}}$ является исключительная коллекция длины ${\displaystyle r}$ если для любого ${\displaystyle i>j}$ и любой ${\displaystyle \ell }$, у нас есть

${\displaystyle \operatorname {Hom} (E_{i},E_{j}[+\ell ])=0}$

и является сильная исключительная коллекция если кроме того, для любого ${\displaystyle \ell \neq 0}$ и любой ${\displaystyle i,j}$, у нас есть

${\displaystyle \operatorname {Hom} (E_{i},E_{j}[+\ell ])=0}$

Затем мы можем разложить нашу триангулированную категорию на семиотогональное разложение

${\displaystyle {\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {T}}',E_{1},\ldots ,E_{r}\rangle }$

где ${\displaystyle {\mathcal {T}}'=\langle E_{1},\ldots ,E_{r}\rangle ^{\perp }}$, подкатегория объектов в ${\displaystyle E\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {T}})}$ такой, что ${\displaystyle \operatorname {Hom} (E,E_{i}[+\ell ])=0}$. Если вдобавок ${\displaystyle {\mathcal {T}}'=0}$ то сильный исключительный набор называется полный.

Теорема Бейлинсона

Бейлинсон представил первый пример полноценной исключительной коллекции. В производной категории ${\displaystyle D^{b}(\mathbb {P} ^{n})}$ линейные пакеты ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-n),{\mathcal {O}}(-n+1),\ldots ,{\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}}$ сформировать полную сильную исключительную коллекцию.^[2] Он доказывает теорему в двух частях. Во-первых, эти объекты представляют собой исключительную коллекцию, а во-вторых, показаны диагональные ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\Delta }}$ из ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n}}$ имеет разрешение, композиции которого являются тензорами отката исключительных объектов.

Техническая лемма

Исключительная коллекция пучков ${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots ,E_{r}}$ на ${\displaystyle X}$ заполнено, если существует разрешение

${\displaystyle 0\to p_{1}^{*}E_{1}\otimes p_{2}^{*}F_{1}\to \cdots \to p_{1}^{*}E_{n}\otimes p_{2}^{*}F_{n}\to {\mathcal {O}}_{\Delta }\to 0}$

в ${\displaystyle D^{b}(X\times X)}$ где ${\displaystyle F_{i}}$ - произвольные когерентные пучки на ${\displaystyle X}$.

Теорема восстановления Орлова

Если ${\displaystyle X}$ является гладким проективным многообразием с обильным (анти-) каноническим пучком, и существует эквивалентность производных категорий ${\displaystyle F:D^{b}(X)\to D^{b}(Y)}$, то существует изоморфизм основных многообразий.^[3]

Эскиз доказательства

Доказательство начинается с анализа двух индуцированных функторов Серра на ${\displaystyle D^{b}(Y)}$ и найти между ними изморфизм. В частности, он показывает, что есть объект ${\displaystyle \omega _{Y}=F(\omega _{X})}$ который действует как дуализирующий пучок на ${\displaystyle Y}$. Изоморфизм между этими двумя функторами дает изоморфизм множества базовых точек производных категорий. Тогда нужно проверить изморфизм ${\displaystyle F(\omega _{X}^{\otimes k})\cong \omega _{Y}^{\otimes k}}$, для любого ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$, задающий изоморфизм канонических колец

${\displaystyle A(X)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }H^{0}(X,\omega _{X}^{\otimes k})\cong \bigoplus _{k=0}^{\infty }H^{0}(Y,\omega _{Y}^{\otimes k})}$

Если ${\displaystyle \omega _{Y}}$ можно показать, что они (анти) обильные, тогда проекция этих колец даст изоморфизм ${\displaystyle X\to Y}$. Все подробности содержатся в записках Долгачева.

Провал реконструкции

Эта теорема неверна в случае ${\displaystyle X}$ Калаби-Яу, так как ${\displaystyle \omega _{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}}$, или является продуктом разновидности, которая Калаби-Яу. Абелевы разновидности представляют собой класс примеров, в которых теорема восстановления может никогда держать. Если ${\displaystyle X}$ является абелевой разновидностью и ${\displaystyle {\hat {X}}}$ это двойное, Преобразование Фурье – Мукаи с ядром ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, расслоение Пуанкаре,^[4] дает эквивалентность

${\displaystyle FM_{\mathcal {P}}:D^{b}(X)\to D^{b}({\hat {X}})}$

производных категорий. Поскольку абелево многообразие, как правило, не изоморфно своему двойственному, существуют производные эквивалентные производные категории без изоморфных основных многообразий.^[5] Есть альтернативная теория тензорная триангулированная геометрия где мы рассматриваем не только триангулированную категорию, но и моноидальную структуру, т.е. тензорное произведение. Эта геометрия имеет полную теорему восстановления с использованием спектра категорий.^[6]

Эквивалентности на K3 поверхностях

K3 поверхности - еще один класс примеров, когда реконструкция не удается из-за их свойства Калаби-Яу. Существует критерий для определения того, являются ли две поверхности K3 производными эквивалентными: производная категория поверхности K3 ${\displaystyle D^{b}(X)}$ выводится эквивалентным другому K3 ${\displaystyle D^{b}(Y)}$ тогда и только тогда, когда существует изометрия Ходжа ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )\to H^{2}(Y,\mathbb {Z} )}$, то есть изоморфизм Структура Ходжа.^[3] Более того, эта теорема отражается и в мире мотивов, где мотивы Чжоу изоморфны тогда и только тогда, когда существует изометрия структур Ходжа.^[7]

Автоэквивалентности

Одним из хороших приложений доказательства этой теоремы является идентификация автоэквивалентностей производной категории гладкого проективного многообразия с обильным (анти-) каноническим пучком. Это дается

${\displaystyle \operatorname {Auteq} (D^{b}(X))\cong (\operatorname {Pic} (X)\rtimes \operatorname {Aut} (X))\times \mathbb {Z} }$

Где автоэквивалентность ${\displaystyle F}$ задается автоморфизмом ${\displaystyle f:X\to X}$, затем тенсор линейным пучком ${\displaystyle {\mathcal {L}}\in \operatorname {Pic} (X)}$ и наконец составили со сдвигом. Обратите внимание, что ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$ действует на ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$ через карту поляризации, ${\displaystyle g\mapsto g^{*}(L)\otimes L^{-1}}$.^[8]

Связь с мотивами

Ограниченная производная категория ${\displaystyle D^{b}(X)}$ широко использовался в SGA6 для построения теории пересечений с ${\displaystyle K(X)}$ и ${\displaystyle Gr_{\gamma }K(X)\otimes \mathbb {Q} }$. Поскольку эти объекты тесно связаны с Кольцо для чау-чау из ${\displaystyle X}$, его мотив чау Орлов задал следующий вопрос: если задан вполне точный функтор

${\displaystyle F:D^{b}(X)\to D^{b}(Y)}$

есть ли индуцированная карта по мотивам чау

${\displaystyle f:M(X)\to M(Y)}$

такой, что ${\displaystyle M(X)}$ это слагаемое ${\displaystyle M(Y)}$?^[9] В случае поверхностей K3 аналогичный результат был подтвержден, поскольку производные эквивалентные поверхности K3 имеют изометрию структур Ходжа, которая дает изоморфизм мотивов.

Производная категория особенностей

На гладком многообразии существует эквивалентность производной категории ${\displaystyle D^{b}(X)}$ и толстый^[10][11] полная триангуляция ${\displaystyle D_{\operatorname {perf} }(X)}$ идеальных комплексов. За отделенный, Нётерян схемы конечных Измерение Крулля (называется ELF состояние)^[12] это не так, и Орлов пользуется этим фактом, определяя производную категорию особенностей. Для схемы ELF ${\displaystyle X}$ его производная категория особенностей определяется как

${\displaystyle D_{sg}(X):=D^{b}(X)/D_{\text{perf}}(X)}$^[13]

для подходящего определения локализация триангулированных категорий.

Построение локализации

Хотя локализация категорий определена для класса морфизмов ${\displaystyle \Sigma }$ в категории, замкнутой относительно композиции, мы можем построить такой класс из триангулированной подкатегории. Учитывая полную триангулированную подкатегорию ${\displaystyle {\mathcal {N}}\subset {\mathcal {T}}}$ класс морфизмов ${\displaystyle \Sigma ({\mathcal {N}})}$, ${\displaystyle s}$ в ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ где ${\displaystyle s}$ вписывается в выдающийся треугольник

${\displaystyle X{\xrightarrow {s}}Y\to N\to X[+1]}$

с ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {T}}}$ и ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$. Можно проверить, что это образует мультипликативную систему, используя аксиому октаэдра для выделенных треугольников. Данный

${\displaystyle X{\xrightarrow {s}}Y{\xrightarrow {s'}}Z}$

с выделенными треугольниками

${\displaystyle X{\xrightarrow {s}}Y\to N\to X[+1]}$

${\displaystyle Y{\xrightarrow {s'}}Z\to N'\to Y[+1]}$

где ${\displaystyle N,N'\in {\mathcal {N}}}$, то выделяются треугольники

${\displaystyle X\to Z\to M\to X[+1]}$

${\displaystyle N\to M\to N'\to N[+1]}$ где ${\displaystyle M\in {\mathcal {N}}}$ поскольку ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ закрывается под расширениями. Эта новая категория имеет следующие свойства

• Он канонически триангулирован, где треугольник в ${\displaystyle {\mathcal {T}}/{\mathcal {N}}}$ выделяется, если он изоморфен образу треугольника в ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$
• Категория ${\displaystyle {\mathcal {T}}/{\mathcal {N}}}$ обладает следующим универсальным свойством: любой точный функтор ${\displaystyle F:{\mathcal {T}}\to {\mathcal {T}}'}$ где ${\displaystyle F(N)\cong 0}$ где ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$, то он однозначно факторизуется через фактор-функтор ${\displaystyle Q:{\mathcal {T}}\to {\mathcal {T}}/{\mathcal {N}}}$, значит существует морфизм ${\displaystyle {\tilde {F}}:{\mathcal {T}}/{\mathcal {N}}\to {\mathcal {T}}'}$ такой, что ${\displaystyle {\tilde {F}}\circ Q\simeq F}$.

Свойства категории сингулярности

• Если ${\displaystyle X}$ является регулярной схемой, то всякий ограниченный комплекс когерентных пучков совершенен. Следовательно, категория особенностей тривиальна.
• Любая связная связка ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ который имеет поддержку от ${\displaystyle \operatorname {Sing} (X)}$ идеально. Следовательно, нетривиальные когерентные пучки в ${\displaystyle D_{sg}(X)}$ иметь поддержку на ${\displaystyle \operatorname {Sing} (X)}$.
• В частности, объекты в ${\displaystyle D_{sg}(X)}$ изоморфны ${\displaystyle {\mathcal {F}}[+k]}$ для какой-то связной связки ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

Модели Ландау – Гинзбурга.

Концевич предложил модель для моделей Ландау – Гинзбурга, которая была разработана до следующего определения:^[14] а Модель Ландау – Гинзбурга. это гладкий сорт ${\displaystyle X}$ вместе с морфизмом ${\displaystyle W:X\to \mathbb {A} ^{1}}$ который плоский. Есть три связанных категории, которые можно использовать для анализа D-бран в модели Ландау – Гинзбурга с использованием матричных факторизаций из коммутативной алгебры.

Связанные категории

Согласно этому определению, есть три категории, которые могут быть связаны с любой точкой. ${\displaystyle w_{0}\in \mathbb {A} ^{1}}$, а ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-ценовая категория ${\displaystyle DG_{w_{0}}(W)}$, точная категория ${\displaystyle \operatorname {Pair} _{w_{0}}(W)}$, и триангулированная категория ${\displaystyle DB_{w_{0}}(W)}$, каждый из которых имеет объекты

${\displaystyle {\overline {P}}=(p_{1}:P_{1}\to P_{0},p_{0}:P_{0}\to P_{1})}$ где ${\displaystyle p_{0}\circ p_{1},p_{1}\circ p_{0}}$ умножаются на ${\displaystyle W-w_{0}}$.

Также есть функтор сдвига ${\displaystyle [+1]}$ Отправить ${\displaystyle {\overline {P}}}$ к

${\displaystyle {\overline {P}}[+1]=(-p_{0}:P_{0}\to P_{1},-p_{1}:P_{1}\to P_{0})}$.

Разница между этими категориями заключается в их определении морфизмов. Самый общий из которых ${\displaystyle DG_{w_{0}}(W)}$ чьи морфизмы являются ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-градуированный комплекс

${\displaystyle \operatorname {Hom} ({\overline {P}},{\overline {Q}})=\bigoplus _{i,j}\operatorname {Hom} (P_{i},Q_{j})}$

где оценка дается ${\displaystyle (i-j){\bmod {2}}}$ и дифференциал, действующий по степени ${\displaystyle d}$ однородные элементы

${\displaystyle Df=q\circ f-(-1)^{d}f\circ p}$

В ${\displaystyle \operatorname {Pair} _{w_{0}}(W)}$ морфизмы - это степень ${\displaystyle 0}$ морфизмы в ${\displaystyle DG_{w_{0}}(W)}$. В заключение, ${\displaystyle DB_{w_{0}}(W)}$ имеет морфизмы в ${\displaystyle \operatorname {Pair} _{w_{0}}(W)}$ по модулю нулевых гомотопий. Более того, ${\displaystyle DB_{w_{0}}(W)}$ может быть наделен триангулированной структурой с помощью ступенчатой ​​конструкции конуса в ${\displaystyle \operatorname {Pair} _{w_{0}}(W)}$. Данный ${\displaystyle {\overline {f}}:{\overline {P}}\to {\overline {Q}}}$ есть код отображения ${\displaystyle C(f)}$ с картами

${\displaystyle c_{1}:Q_{1}\oplus P_{0}\to Q_{0}\oplus P_{1}}$ где ${\displaystyle c_{1}={\begin{bmatrix}q_{0}&f_{1}\\0&-p_{1}\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle c_{0}:Q_{0}\oplus P_{1}\to Q_{1}\oplus P_{0}}$ где ${\displaystyle {\displaystyle c_{0}={\begin{bmatrix}q_{1}&f_{0}\\0&-p_{0}\end{bmatrix}}}}$

Тогда диаграмма ${\displaystyle {\overline {P}}\to {\overline {Q}}\to {\overline {R}}\to {\overline {P}}[+1]}$ в ${\displaystyle DB_{w_{0}}(W)}$ выделенный треугольник, если он изоморфен конусу из ${\displaystyle \operatorname {Pair} _{w_{0}}(W)}$.

Категория D-бран

Используя конструкцию ${\displaystyle DB_{w_{0}}(W)}$ мы можем определить категорию D-бран типа B на ${\displaystyle X}$ с суперпотенциалом ${\displaystyle W}$ как категория продукта

${\displaystyle DB(W)=\prod _{w\in \mathbb {A} _{1}}DB_{w_{0}}(W).}$

Это связано с категорией сингулярности следующим образом: если задан суперпотенциал ${\displaystyle W}$ с изолированными особенностями только при ${\displaystyle 0}$, обозначим ${\displaystyle X_{0}=W^{-1}(0)}$. Тогда существует точная эквивалентность категорий

${\displaystyle DB_{w_{0}}(W)\cong D_{sg}(X_{0})}$

заданный функтором, индуцированным из функтора коядра ${\displaystyle \operatorname {Cok} }$ отправка пары ${\displaystyle {\overline {P}}\mapsto \operatorname {Coker} (p_{1})}$. В частности, поскольку ${\displaystyle X}$ регулярно, Теорема Бертини показывает ${\displaystyle DB(W)}$ является лишь конечным продуктом категорий.

Вычислительные инструменты

Периодичность Кнёррера

Есть преобразование Фурье-Мукаи ${\displaystyle \Phi _{Z}}$ на производных категориях двух родственных разновидностей, дающих эквивалентность их категорий особенности. Эта эквивалентность называется Периодичность Кнёррера. Его можно построить следующим образом: учитывая плоский морфизм ${\displaystyle f:X\to \mathbb {A} ^{1}}$ из выделенной регулярной нётеровой схемы конечной размерности Крулля существует ассоциированная схема ${\displaystyle Y=X\times \mathbb {A} ^{2}}$ и морфизм ${\displaystyle g:Y\to \mathbb {A} ^{1}}$ такой, что ${\displaystyle g=f+xy}$ где ${\displaystyle xy}$ координаты ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$-фактор. Рассмотрим волокна ${\displaystyle X_{0}=f^{-1}(0)}$, ${\displaystyle Y_{0}=g^{-1}(0)}$, а индуцированный морфизм ${\displaystyle x:Y_{0}\to \mathbb {A} ^{1}}$. И волокно ${\displaystyle Z=x^{-1}(0)}$. Затем идет укол ${\displaystyle i:Z\to Y_{0}}$ и проекция ${\displaystyle q:Z\to X_{0}}$ формирование ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$-пучок. Преобразование Фурье-Мукаи

${\displaystyle \Phi _{Z}(\cdot )=\mathbf {R} i_{*}q^{*}(\cdot )}$

индуцирует эквивалентность категорий

${\displaystyle D_{sg}(X_{0})\to D_{sg}(Y_{0})}$

называется Периодичность Кнёррера. Есть еще одна форма этой периодичности, когда ${\displaystyle xy}$ заменяется полиномом ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$.^[15][16] Эти теоремы периодичности являются основными вычислительными методами, поскольку они позволяют сократить анализ категорий особенностей.

Расчеты

Если взять модель Ландау – Гинзбурга ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{2k+1},W)}$ где ${\displaystyle W=z_{0}^{n}+z_{1}^{2}+\cdots +z_{2k}^{2}}$, то единственный слой особого слоя ${\displaystyle W}$ это происхождение. Тогда категория D-бран модели Ландау – Гинзбурга эквивалентна категории особенности ${\displaystyle D_{\text{sing}}(\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [z]/(z^{n})))}$. Над алгеброй ${\displaystyle A=\mathbb {C} [z]/(z^{n})}$ есть неразложимые объекты

${\displaystyle V_{i}=\operatorname {Coker} (A{\xrightarrow {z^{i}}}A)=A/z^{i}}$

чьи морфизмы можно полностью понять. Для любой пары ${\displaystyle i,j}$ есть морфизмы ${\displaystyle \alpha _{j}^{i}:V_{i}\to V_{j}}$ где

• за ${\displaystyle i\geq j}$ это естественные проекции
• за ${\displaystyle i<j}$ это умножение на ${\displaystyle z^{j-i}}$

где любой другой морфизм представляет собой композицию и линейную комбинацию этих морфизмов. Есть много других случаев, которые можно вычислить явно, используя таблицу особенностей, найденную в оригинальной статье Кнёррера.^[16]

Смотрите также

• Производная категория
• Триангулированная категория
• Идеальный комплекс
• Полуортогональное разложение
• Преобразование Фурье – Мукаи
• Условие устойчивости Бриджеланда
• Гомологическая зеркальная симметрия
• Примечания к производным категориям - http://www.math.lsa.umich.edu/~idolga/deved9.pdf

использованная литература

1. https://arxiv.org/abs/0710.1937; в справке отмечается, что название «производная некоммутативная алгебраическая геометрия» может быть нестандартным. Некоторые авторы (например, Орлов, Дмитрий (октябрь 2018). «Производные некоммутативные схемы, геометрические реализации и конечномерные алгебры». Российские математические обзоры. 73 (5): 865–918. arXiv:1808.02287. Bibcode:2018RuMaS..73..865O. Дои:10.1070 / RM9844. ISSN  0036-0279.) описывают эту область как исследование производные некоммутативные схемы.
2. Лю, Ицзя. «Полуортогональные разложения производных категорий». Супершкола по производным категориям. С. 35, 37, 38, 41.
3. Долгачев Игорь. Производные категории (PDF). С. 105–112.
4. Связка Пуанкаре ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ на ${\displaystyle X\times {\hat {X}}}$ - линейное расслоение, тривиальное на ${\displaystyle \{0\}\times {\hat {X}}}$ и ${\displaystyle X\times \{0\}}$ и имеет свойство ${\displaystyle {\mathcal {P}}|_{X\times \{x\}}}$ это линейный пучок, представленный точкой ${\displaystyle x\in {\hat {X}}}$.
5. Мукаи, Сигэру (1981). «Двойственность между D (X) и D (X ^) с ее приложением к пучкам Пикара». Nagoya Math. J. 81: 153–175. Дои:10.1017 / S002776300001922X - через Project Euclid.
6. Балмер, Пол (2010). «Тензорная триангулированная геометрия» (PDF). Материалы Международного конгресса математиков..
7. Хайбрехтс, Даниэль (2018). «Мотивы изогенных поверхностей К3». arXiv:1705.04063 [math.AG ].
8. Брион, Мишель. «Заметки о группах автоморфизмов проективных многообразий» (PDF). п. 8. В архиве (PDF) из оригинала 13 февраля 2020 г.
9. Орлов, Дмитрий (2011). «Производные категории связных связок и мотивов». Российские математические обзоры. 60 (6): 1242–1244. arXiv:математика / 0512620. Дои:10.1070 / RM2005v060n06ABEH004292.
10. Это означает, что он закрыт под расширениями. Учитывая любые два объекта ${\displaystyle {\mathcal {E}}',{\mathcal {E}}''}$ в подкатегории любой объект ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ вписывается в точную последовательность ${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0}$ также находится в подкатегории. В триангулированном случае это соответствует тем же условиям, но вместо точной последовательности это выделенный треугольник. ${\displaystyle {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to {\mathcal {E}}[+1]}$
11. Thomason, R.W .; Тробо, Томас. "Высшая алгебраическая K-теория схем и производных категорий" (PDF). В архиве (PDF) с оригинала 30 января 2019 г.
12. Который он использует из-за его хороших свойств: в частности, каждый ограниченный комплекс когерентных пучков ${\displaystyle C^{\bullet }}$ имеет разрешение от ограниченного сверху комплекса ${\displaystyle P^{\bullet }{\xrightarrow {\simeq }}C^{\bullet }}$ такой, что ${\displaystyle P^{\bullet }}$ является комплексом локально свободных пучков конечного типа.
13. Орлов, Дмитрий (2003). «Триангулированные категории особенностей и D-браны в моделях Ландау – Гинзбурга». arXiv:математика / 0302304.
14. Капустин, Антон; Ли, И (2003-12-03). «D-браны в моделях Ландау – Гинзбурга и алгебраическая геометрия». Журнал физики высоких энергий. 2003 (12): 005. arXiv:hep-th / 0210296. Bibcode:2003JHEP ... 12..005K. Дои:10.1088/1126-6708/2003/12/005. ISSN  1029-8479.
15. Браун, Майкл К .; Дикерхофф, Тобиас (15.09.2019). "Топологическая K-теория эквивариантных категорий особенностей". п. 11. arXiv:1611.01931 [math.AG ].
16. Knörrer, Хорст. "Модули Коэна-Маколея на особенностях гиперповерхностей I".